数据挖掘（6）聚类分析

news2025/1/19 14:39:49

一、什么是聚类分析

1.1概述

无指导的，数据集中类别未知
类的特征：
- 类不是事先给定的，而是根据数据的相似性、距离划分的
- 聚类的数目和结构都没有事先假定。
挖掘有价值的客户:
- 找到客户的黄金客户
- ATM的安装位置

1.2区别·

二、距离和相似系数

2.1概述

原则: 组内数据有较高相似度、不同组数据不相似
相似性的度量(统计学角度):
1. Q型聚类:对样本聚类(行聚类)
2. R型聚类:对变量聚类(列聚类)

2.2Q型聚类(样本聚类、行聚类)

1.样本资料矩阵:

2.定义距离的准则:

3.变量的类型

间隔尺度变量(数值型变量):可加可比
有序尺度变量(叙述型变量):不可加可比
名义尺度变量(名义型变量):不可加不可比

4.间隔尺度变量(数值型变量)

缺点:数据集中存在变量取值范围相差十分悬殊，会造成大数吃小数现象。

数值与指标量纲有关

度量值的标准化:

将初始测量值转换为无单位变量。
常用零均值规范化

特例:比例数值变量

5.有序尺度变量

只可以不可加:比如各种排名、等级
步骤

6.名义尺度变量(符号变量)

两种类型
1. 二元变量:
  - 只有两个取值变量:如男女、开关、01
2. 名义变量:
  - 二元变量推广:如颜色变量(R,G,B)
二元变量计算:
1. 差异矩阵法:
2. 恒定的相似度
  1. 对称的二元变量：取值01内容同等价值、相同权值
    - 如:男女
  2. 简单匹配系数
    - $d_{ij}=\frac{r+s}{q+r+s+t}$
    - 取值不一样(01或10)的个数在所有变量的比重
3. 非恒定的相似度
  1. 非对称二元变量:取值01内容重要程度不同
    - 如:病毒阴阳性
  2. Jaccard相关系数
    - $d_{ij}=\frac{r+s}{q+r+s}$
    - 取值不一样(01或10)的个数在所有变量(除去取值为00)的比重
4. 相似度系数例子(小题计算):
5. 名义变量计算(最常用):

7.混合数据类型

现实数据库中包含多类型的数据
如何计算？
1. 将变量按类型分组，对每种类型的变量单独聚类分析，但实际中，往往不可行。
2. 将所有的变量一起处理，只进行一次聚类分析。
相似度计算

2.3R型聚类(变量聚类、列聚类)

相似系数:
- 夹角余弦
- 相关系数
夹角余弦
- 值越大越好
变量间相似系数
相似系数
相似矩阵

三、类的定义和类间距离

3.1类的定义

定义1:任意元素，间距离满足:
1. 适合:团簇状
定义2:任意元素,间距离满足(类内平均距离)
1. 适合:团簇状
定义3:对于任意元素,存在使得其满足(不要求任意两个元素)
1. 适合:长条状

3.2类间距离

最近距离
1. $w_k$ 与 $w_1$ 最近距离为 $D_{kl}=min[d_{ij}]$
2. $w_l$ 是 $w_q$ 和 $w_p$ ，合并得到的 $D_{kl}=\min[D_{kp},D_{kq}]$
3. 实际中不多见，避免极大值影响
4. 例子
  1. 计算类间距离，然后将最小的两个进行合并
最远距离
1. $w_k$ 与 $w_1$ 最远距离为 $D_{kl}=max[d_{ij}]$
2. $w_l$ 是 $w_q$ 和 $w_p$ ，合并得到的 $D_{kl}=\max[D_{kp},D_{kq}]$
3. 可能被极大值扭曲，删除后再聚类
4. 例题:与上面的类似，每次选取距离最小的，合并的时候取的是max
平均距离
中间距离
重心距离
1. 一个类空间的位置用重心表示，两个类重心之间距离为二者的距离
2. 对异常值不敏感，结果能稳定

四、基于划分的聚类方法

4.1划分方法

将n个对象划分成k类，且满足:
- 每个聚类内至少包含一个对象
- 每个对象必须属于一个类(模糊划分计划可以放宽要求)
划分方法:
1. k-均值:每个聚类用该聚类中对象的平均值表示
2. k-中心点:每个聚类用接近聚类重心的一个对象(真实存在的点)表示

4.2k-均值聚类算法

用类均值表示
不适合处理离散型属性，适合处理连续型属性
算法流程:
1. 选取聚类中心:随机从n个数据选择k个对象作为初始聚类中心
2. 对剩余的每个对象，根据各个聚类中心的距离，将其赋给最近的聚类。
3. 重新计算每个聚类的平均值(中心)
4. 不断重复，直到准则函数收敛(减小)
收敛准则函数:误差平方和最小
缺点:
1. 局部最优，不是全局最优
2. 结果与k的取值有关
3. 不适合发现大小很不相同的簇、凹状的簇
  *
4. 只有在簇的平均值被定义的情况下才能使用，不适合有类属性的数据。
5. 对噪声、异常点敏感。
示意图例子：

4.3k-中心点聚类算法

k-中心点与k-均值算法区别
簇中心评价准则
k-均值簇中对象均值(可以是虚点) 误差平方和
k-中心点接近簇中心的一个对象表示(实际存在的点)
绝对误差
基本策略
1. 随意选择一个代表对象作为中心点，将剩余对象按最小距离划分进簇中。
2. 重复利用非中心对象代替中心对象，若改善聚类的整体距离，则进行替代。
3. 用代价函数进行估算质量: $C_{pjo}=d(i,p)-d(j,p)$
替代的四种情况

簇中心	评价准则
k-均值	簇中对象均值(可以是虚点)	误差平方和
k-中心点	接近簇中心的一个对象表示(实际存在的点)	绝对误差

如何判断非代表对象 $O_{random}$ 是否能替代当前代表对象 $O_j$ ,需要对每个非中心点P考虑
替换的总代价: ${CC}_{jo}=\sum_{j=1}^nC_{pjo}$
若总代价为负，则可以替代

4.算法步骤

选取聚类中心:随机从n个数据对象选择k个
循环3-5，知道聚类不发生变化
对剩余的每个对象，根据各个聚类中心的距离，将其划分给最近的聚类。
选择任意非中心对象 $O_{random}$ 计算与中心对象 $O_j$ 交换的成本S。
若成本S为负，则交换中心对象。

五、基于层次的聚类方法

5.1 总述

给定的数据对象集合进行层次分解，根据层次分解的方式，层次的方法被分为凝聚、分裂。
凝聚层次法(agnes算法)
- 自底向上
- 一开始将每个对象作为单独的一组，然后合并相近的组，直到合为一组或到达终止条件
分裂层次法(dinan算法)
- 自底向下
- 所有对象置于一个簇，在迭代的每一步，一个簇被分裂为更下的簇，直到每个对象单独为一个簇或到达某个终止条件
计算距离方法

5.2agnes算法

步骤:
1. 每个对象当做一个初始簇
2. repeant 3-4
3. 根据两个簇中最近数据点找到最近的两个簇
4. 合并两个簇，生成新的簇集合
5. until 达到定义的簇的数目
例子
特点:
- 算法简单，合并会出现问题：一旦合并就不能撤销，可能会对后续操作产生影响。
- 复杂度比较大O(n^2)

5.3diana算法

簇的直径:一个簇中的任意两个数据点的距离中的最大值
平均相异度(平均距离):

算法步骤

将所有对象当做一个初始簇
for(int i = 1; i <= k; i++){
    在所以簇中挑选出最大直径的簇C
    找出C中与其他点平近距离最大的一个点p放入splinter group,剩余点放入old party
    Repeat
        在old party中找出到splinter group比到old party更近的点，加入splinter group
    Until 没有新的点被分到splinter group
    splinter group 与 old party 就被分解为两个新的簇
}