思维导图：

 6.7 案例分析与实现

#### 案例6.2: 六度空间理论

【案例分析】

- **背景介绍**：  
六度空间理论提及在任意两人之间最多仅有6个人的连接。尽管这一理论被广泛提及并得到了某种程度的验证，但从科学角度看，它仍然只是一个假说。

- **早期验证**：  
很多社会学家使用E-mail进行的验证研究。其中，最著名的是2001年由美国哥伦比亚大学的Duncan J. Watts所进行的实验。他们的研究表明，要通过邮件与某人联系，平均需要经过5～7个中间人。

- **研究局限性**：  
  1. 使用E-mail保持社会关系的人群是有限的；
  2. 跟踪E-mail的路径需要大量资源；
  3. 研究依赖于志愿者的积极性，可能会有遗漏。

- **现代通信方法**：  
电话和短信是现代主流的通信方式，与E-mail相比，由于运营商的存在，其通信路径更容易跟踪。但由于数据保密，我们很难获取实际的通信数据。

- **理论模型**：  
我们可以将人际关系视为一个不带权值的无向图G。在此模型中，六度空间理论可以被描述为：在图G中，任意两个顶点之间的路径长度不超过7。

【案例实现】

- **算法6.14 六度空间理论的验证**：

  - **初始化**：  
    设定一个变量`Visit Num`来记录路径长度不超过7的顶点数。初始化为0。数组`level`记录各个层次的顶点数。选择一个起始点`Start`，标记为已访问，并将其放入队列Q。

  - **广度优先搜索**：  
    当Q非空且循环次数小于7时，执行以下操作：
    1. 取出队头顶点u；
    2. 检查u的所有未访问的邻接点w；
    3. 将w标记为已访问，路径长度不超过7的顶点数`Visit Num`加1，相应的层次顶点数也加1；
    4. 将w入队。

  - **输出结果**：  
    当退出循环后，输出从顶点`Start`到其他所有顶点的路径长度不超过7的百分比。

**笔记总结**：六度空间理论是一个有趣且广为人知的假说。尽管它在某种程度上得到了验证，但从科学的角度来看仍存在局限性。现代的通信方式为其验证提供了新的机会，但也带来了新的挑战。

**笔记：六度空间理论的验证算法描述**

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**算法名称**: 六度空间理论的验证

**方法**: 通过广度优先搜索 (BFS) 遍历图 G 来验证六度空间理论。

**输入**: 图 G, 指定的始点 Start

**主要步骤**:
1. 初始化 `Visit Num` 为 0，用于记录路径长度不超过 7 的顶点个数。
2. 标记顶点 Start 已被访问，并将其添加到队列 Q。
3. 初始化第一层人队的顶点个数为 1。
4. 使用循环进行广度优先搜索遍历：
   - 对于每个长度在 1 到 6 范围内的路径，只要队列不为空，执行以下操作：
     1. 队头顶点 u 出队。
     2. 检查 u 的所有邻接点 w。
     3. 如果 w 尚未被访问，则标记 w 为六度顶点，并增加 `Visit Num` 和该层的顶点数。
     4. 将 w 添加到队列 Q。
5. 输出从顶点 Start 到其他顶点的路径长度不超过 7 的路径的百分比。

**算法分析**:
- 时间复杂度: 假设图 G 中有 10 亿人，即图的顶点个数 n = 10亿。若平均每人认识 150 人，则边数 e 约为 75 x 10^8。该算法的时间复杂度为 O(n+e)。
- 空间复杂度: 该算法需要数组 `visited` 和队列 Q，因此空间复杂度为 O(m)。
- 假设：平均每个人都认识其他 150 个人（基于“150定律”）。

**其他方法**:
算法6.14 使用广度优先搜索方法进行验证，实际上也可以使用求解最短路径的方法（如迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法）进行理论验证。

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