网络社区挖掘-图论部分的基本知识笔记

1 网络社区挖掘定义

网络社区挖掘是指利用数据挖掘技术和机器学习算法，分析社交网络、在线社区或互联网上的各种交互数据，以揭示其中隐藏的模式、关系和信息。这些社区可以是社交媒体平台、在线论坛、博客、微博等，人们在这些平台上进行交流、分享信息和建立连接。
通常包含:

社区发现（Community Detection）：识别社交网络中具有紧密连接的群体，帮助了解社区结构和成员之间的关系。
信息传播分析（Information Diffusion Analysis）：研究在社交网络中信息是如何传播和扩散的，以及影响传播的因素。
用户行为分析（User Behavior Analysis）：分析用户在网络社区中的行为，包括发帖、评论、点赞等，以了解用户兴趣和行为模式。
情感分析（Sentiment Analysis）：分析社交网络中文本数据的情感色彩，了解用户对特定话题或事件的情感倾向。
影响力分析（Influence Analysis）：确定社交网络中具有影响力的个体，可以是个人、组织或事件，了解他们对社区的影响程度。

2 图论的基本知识

网络社区挖掘，离不开图论知识，这属于笔者的知识盲区，不得不补充学习，如下列出基本的知识架构图。

2.1 基本概念

2.1.1 图的定义：节点（顶点）和边的集合。

图（Graph）是由节点（顶点）和连接这些节点的边（或弧）组成的数学结构
图可以用数学表示，例如，一个图可以用G=(V, E)表示，其中V是节点的集合，E是边的集合。

节点（顶点）（V）：图中的基本单元，通常用来表示实体或对象。
边（Edge）（E）：连接图中两个节点的线段，用来表示节点之间的关系。边可以是有向的（箭头表示方向）或无向的（没有方向）。
有向图（Directed Graph）：图中的边有方向性，即从一个节点到另一个节点有一个确定的方向
无向图（Undirected Graph）：图中的边没有方向性，即连接两个节点的边没有起点和终点之分。
简单图（Simple Graph）：无自环（节点没有与自身相连的边）且无重边（同一对节点之间最多只有一条边）的图。
多重图（Multigraph）：允许两个节点之间有多条边的图。
自环（Loop）：连接节点和其自身的边。
子图（Subgraph）：图G的子集，包括G的一些节点和边，且这些边的两个端点都在子图中。
完全图（Complete Graph）：所有节点之间都有边相连的图。

2.1.2 图的类型：无向图、有向图、加权图、带标签图等。

图的来源：
【图论与图学习（一）：图的基本概念】

无向图（Undirected Graph）：
定义：图中的边没有方向，即连接两个节点的边没有起点和终点之分。
解释：无向图中的边表示两个节点之间的双向关系，信息在节点之间可以双向传递。
有向图（Directed Graph）：
定义：图中的边有方向性，即从一个节点到另一个节点有一个确定的方向。
解释：有向图中的边有明确的方向，表示了一种单向关系，信息在节点之间只能按照边的方向传递。
加权图（Weighted Graph）：
定义：图中的边具有权重（权值），表示连接两个节点的边的强度、成本或距离。
解释：加权图用于表示实际问题中的带权关系，例如网络中的通信成本、道路网中的距离等。
带标签图（Labeled Graph）：
定义：图中的节点或边带有标签或标识，用于表示节点或边的特定属性或信息。
解释：带标签的图可用于表示网络中的实体具有特定特征，或者用于在图上附加额外的信息，例如在社交网络中标记不同用户的兴趣爱好。
多重图（Multigraph）：
定义：允许两个节点之间有多条边的图，即图中可能存在多条连接同一对节点的边。
解释：多重图允许在同两个节点之间建立多种关系，用于表示不同性质的连接关系。
无向完全图（Complete Undirected Graph）：
定义：任意两个不同节点之间都有且仅有一条边连接的无向图。
解释：无向完全图中的每对节点之间都存在边，表示了一种高度密集的关系。
有向完全图（Complete Directed Graph）：
定义：任意两个不同节点之间都有两条边，一条指向另一个节点，一条反向指向的有向图。
解释：有向完全图中的每对节点之间都存在正向和反向两条边，表示了一种高度密集的单向关系。

2.1.3 度数：节点的连接数。

无向图中的度数：无向图中节点的度数是指与该节点相连的边的数量。例如，如果一个无向图中的节点A连接着3条边，那么节点A的度数就是3。

有向图中的入度和出度：

入度（In-Degree）：有向图中，一个节点收到的边的数量称为入度。入度表示有多少条边指向该节点。
出度（Out-Degree）：有向图中，一个节点发出的边的数量称为出度。出度表示该节点有多少条边指向其他节点。

2.1.4 路径和环：路径是节点序列，环是起点和终点相同的路径。

路径（Path）：在图中，路径是指图中的节点按照边的连接顺序形成的序列。路径是一个节点序列，其中路径上的相邻节点由图中的边连接。路径可以是简单路径，即路径上的节点不重复；或者是通路（Trail），允许节点和边重复。
环（Cycle）：环是一种特殊的路径，它形成一个回路，即路径的起点和终点相同。环是一个简单路径，除了起点和终点相同之外，路径上的其他节点不重复。

举个例子，考虑一个简单无向图，其中的节点为A、B、C、D，边为{A, B}、{B, C}、{C, D}、{D, A}。在这个图中：

A到B再到C形成了一个路径：A -> B -> C。
A到B再到C再到D再回到A形成了一个环：A -> B -> C -> D -> A。

2.2 图的表示

2.2.1 邻接矩阵和邻接表：不同的方法来表示图的结构。

邻接矩阵（Adjacency Matrix）：

邻接矩阵是一个二维数组，用来表示图中的节点之间的连接关系。对于一个有N个节点的图，邻接矩阵是一个N × N的矩阵，其中的元素 $a [i] [j]$ 表示节点i和节点j之间是否有边连接。如果有连接，则a[i][j]的值通常为1（或者其他非零值，具体取决于问题的要求）；如果没有连接，则a[i][j]的值为0。

优势：

对于稠密图（边数接近节点数的平方），邻接矩阵是一种非常高效的表示方法，因为大部分元素为0，节省了存储空间。
可以快速判断两个节点之间是否有边直接相连，时间复杂度为 $O (1)$ 。
劣势：

对于稀疏图（边数远小于节点数的平方），邻接矩阵会浪费大量的空间，因为大部分元素为0。
插入或删除边的操作相对较慢，需要更新整个矩阵。

邻接表（Adjacency List）：

邻接表是一种以链表形式存储图的表示方法。对于每个节点，用一个链表（或数组）存储与该节点直接相连的所有节点。

优势：

对于稀疏图，邻接表是一种非常高效的表示方法，因为它只存储了实际存在的边，节省了存储空间。
插入或删除边的操作相对较快，只需要更新相关链表。
劣势：

对于密集图，邻接表可能会占用较多的空间，因为它需要存储大量的链表头和指针。
判断两个节点之间是否有边需要遍历链表，时间复杂度取决于链表长度。
选择邻接矩阵还是邻接表通常取决于图的密度和具体的应用需求。在实际应用中，程序员和算法设计者根据问题的特性来选择适合的表示方法。

2.2.1 关联矩阵：用于有向图的表示。

关联矩阵（Incidence Matrix）是用于有向图的一种表示方法，它将图中的节点和边关系映射到一个二维矩阵中。对于一个有向图，关联矩阵的行代表节点，列代表边，矩阵中的元素表示节点与边的关系。通常，关联矩阵中的元素可以是1、-1或0，具体取决于图的方向。

如果节点i是边j的起始节点，则在矩阵中， $a [i] [j] = 1$ 。
如果节点i是边j的结束节点，则在矩阵中， $a [i] [j] = - 1$ 。
如果节点i与边j没有关系，则在矩阵中， $a [i] [j] = 0$ 。

例子：
假设有一个有向图如下：

在这里插入图片描述

	1	2	3
A	1	-1	0
B	-1	0	1
C	0	1	-1
D	0	0	-1

在这个关联矩阵中，行代表节点（A、B、C、D），列代表边（1、2、3），矩阵中的元素表示节点与边的关系。

以下东西属于代码部分，只做简单提要======================================================================================================================================================================

2.3 图的遍历

2.3.1 深度优先搜索（DFS）：递归或栈的方式。[伪代码]

递归

DFS(node):
    if node is not visited:
        Mark node as visited
        Process(node)
        for each neighbor in neighbors of node:
            if neighbor is not visited:
                DFS(neighbor)

栈

DFS(startNode):
    stack = new Stack()
    stack.push(startNode)
    while stack is not empty:
        currentNode = stack.pop()
        if currentNode is not visited:
            Mark currentNode as visited
            Process(currentNode)
            for each neighbor in neighbors of currentNode:
                if neighbor is not visited:
                    stack.push(neighbor)

一般来说，递归调用比较吃内存，DFS一般使用栈方式

2.3.2 广度优先搜索（BFS）：队列的方式。[伪代码]

广度优先搜索（Breadth-First Search，BFS）是一种图遍历算法，它从起始节点开始，逐层地向外扩展，先访问离起始节点最近的节点，然后是离起始节点更远的节点。BFS通常使用队列（Queue）来辅助实现，保证节点的访问顺序是按照距离递增的顺序进行的。

BFS(startNode):
    queue = new Queue()
    queue.enqueue(startNode)
    mark startNode as visited
    while queue is not empty:
        currentNode = queue.dequeue()
        process currentNode
        for each neighbor in neighbors of currentNode:
            if neighbor is not visited:
                queue.enqueue(neighbor)
                mark neighbor as visited

在这个算法中，队列保证了节点的访问顺序，先进先出（FIFO）的特性使得离起始节点近的节点优先被访问，从而实现了广度优先的遍历。

2.3.3 广度优先搜索（BFS） VS 深度优先搜索（DFS）

1. 遍历顺序的不同：
  BFS（广度优先搜索）：从起始节点开始，逐层地向外扩展。首先访问离起始节点最近的节点，然后是离起始节点更远的节点。
  DFS（深度优先搜索）：从起始节点开始，沿着一条分支尽可能深地访问，直到无法继续为止，然后回溯到上一个节点，再继续访问其他分支。
1. 数据结构的不同：
  BFS：使用队列（Queue）作为辅助数据结构，保证了节点的访问顺序是按照距离递增的顺序进行的。
  DFS：可以使用递归调用或者栈（Stack）作为辅助数据结构，递归实现时利用函数调用栈，栈实现时手动管理节点的访问顺序。
1. 空间复杂度：
  BFS：在最坏情况下，BFS需要存储所有节点，因此空间复杂度较高，特别是在处理大规模图时。
  DFS：在DFS的递归实现中，系统会自动维护函数调用栈，所以空间复杂度相对较低。但在处理深度较大的分支时，递归深度可能较大，有可能引发栈溢出。
1. 应用场景：
  BFS：适用于寻找最短路径，例如在无权图中寻找最短路径，以及在树或图中寻找层级关系。
  DFS：适用于寻找所有可能的路径，例如在图中寻找所有的路径，以及在树中进行深度优先遍历。
1. 完备性：
  BFS：由于其逐层扩展的特性，BFS能够找到最短路径（如果存在的话）。
  DFS： DFS可能在无限循环的图中陷入，因此在应用中需要考虑避免重复访问，以及设置最大深度限制。
  总结：一般情形下BFS优于DFS

2.4 最短路径算法

2.4.1 狄克斯特拉算法（Dijkstra）：用于计算单源最短路径。

【没弄懂】高质量传送门

2.4.2 贝尔曼-福德算法（Bellman-Ford）：用于处理带有负权边的图。

【没弄懂】高质量传送门

2.5 最小生成树

2.5.1 普里姆算法（Prim）：用于构建无向图的最小生成树。

传送门

2.5.2 克鲁斯卡尔算法（Kruskal）：用于构建无向图的最小生成树。

传送门

2.6 网络流

2.6.1 最大流最小割定理：网络流问题的基本理论。

2.6.2 Ford-Fulkerson算法：计算最大流的经典算法。

2.7图的匹配

2.7.1 二分图匹配：匹配问题在二分图上的应用。

最大流最小割定理（Max-Flow Min-Cut Theorem）是网络流问题中的基本理论。它阐述了在一个网络流图中，最大流的值等于最小割的容量。这个定理揭示了网络流问题的一种非常重要的性质，对于解决网络流问题提供了关键指导。

最大流（Max-Flow）：一个网络流问题中，最大流是指从源节点到汇节点的最大流量。流量网络中的边都有一个最大容量，最大流问题的目标是找到一种合理的流量分配，使得从源节点到汇节点的流量达到最大。
最小割（Min-Cut）：一个割是指将网络节点分为两个不相交的子集，源节点在其中一个子集中，汇节点在另一个子集中。割的容量是指割中所有边的容量之和。最小割问题的目标是找到一种割，使得割的容量最小。

最大流最小割定理的关键在于，它指出了在网络流图中，最大流的值总是等于某个割的容量的最小值。这意味着，如果我们能够找到一个割，使得割的容量等于最大流的值，那么我们就找到了问题的最优解。在实际应用中，最大流最小割定理经常被用来求解网络流问题，包括网络设计、最优分配等问题。

2.7.2 匈牙利算法：解决二分图最大匹配问题的算法。

匈牙利算法（Hungarian Algorithm）是一种用于解决二分图最大匹配问题的经典算法。在二分图中，匈牙利算法可以高效地找到最大的匹配，即在图中找到尽可能多的边，使得没有两条边有一个共同的顶点。

算法步骤：
初始化：将所有的匹配标记为未完成，即所有边的状态为未匹配。

交替路径和增广路径：通过交替路径（Alternating Paths）和增广路径（Augmenting Paths）来不断增加匹配。交替路径是指一条交替经过未匹配边和已匹配边的路径，增广路径是一条起始和结束都是未匹配顶点的交替路径。

增广路径的查找：使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）等方法，在交替路径中查找增广路径。

路径更新：找到增广路径后，根据该路径更新匹配，即将路径中的未匹配边变为已匹配，已匹配边变为未匹配。

重复步骤3和步骤4：不断查找增广路径并更新匹配，直到无法找到新的增广路径为止。

算法特点：
最大匹配：匈牙利算法能够找到二分图的最大匹配，即最大的边数，使得没有两条边有一个共同的顶点。

时间复杂度：匈牙利算法的时间复杂度为O(V * E)，其中V为顶点数，E为边数。在实际应用中，特别是对于稠密图，效率较高。

适用性：匈牙利算法仅适用于二分图，即图中的节点可以划分为两个独立的集合，且边只能连接不同集合中的节点。

匈牙利算法在实际中广泛应用于任务分配、资源优化、稳定婚姻问题等领域，它提供了一种有效的方法来解决最大匹配问题。

2.8 图的颜色问题

2.8.1 图的着色问题：最小顶点着色、最小边着色等问题。

图的着色问题是图论中的一个经典问题，主要研究如何用最少的颜色对图的顶点或边进行着色，使得相邻的顶点或边颜色不相同。这个问题有不同的变体，包括最小顶点着色、最小边着色等。

最小顶点着色问题（Vertex Coloring Problem）：
最小顶点着色问题是指给定一个图，找到一种顶点着色方式，使得相邻的顶点具有不同的颜色，并且所需的颜色数目最少。这个问题的最优解称为图的色数（Chromatic Number）。

解决最小顶点着色问题的算法包括贪心算法、回溯算法等。贪心算法是一种常用的启发式方法，它从一个顶点开始，依次对每个未着色的顶点尝试分配最小的可用颜色，直到所有顶点都着色为止。

最小边着色问题（Edge Coloring Problem）：
最小边着色问题是指给定一个图，找到一种边着色方式，使得相邻的边具有不同的颜色，并且所需的颜色数目最少。这个问题的最优解称为图的边色数（Chromatic Index）。

解决最小边着色问题的算法相对复杂，一种常见的方法是使用线性规划或者图论中的匈牙利算法。

应用领域：
图的着色问题在实际应用中具有广泛的应用，例如：
调度问题：在课程表、考试安排、航班调度等问题中，顶点代表事件，边代表冲突，最小顶点着色问题可以用于避免冲突。
频谱分配问题：在无线通信领域，顶点代表基站，边代表干扰关系，最小顶点着色问题可以用于频谱分配，避免干扰。
任务调度问题：在分布式系统中，顶点代表任务，边代表任务间的依赖关系，最小顶点着色问题可以用于分配资源，确保任务之间的依赖关系得到满足。

这些问题的解决对于提高资源利用率、减少冲突、提高系统效率等方面具有重要意义。

2.8.2 图的染色问题：费用最小化问题，如涂色问题。

图的染色问题是图论中的一个经典问题，它通常涉及到将图的顶点或边用尽量少的颜色涂色，使得相邻的顶点或边颜色不相同。染色问题可以有多个变体，其中包括费用最小化问题，例如涂色问题。

涂色问题（Graph Coloring Problem）：
涂色问题主要包括最小顶点着色问题和最小边着色问题，这两个问题都属于染色问题的一种。
最小顶点着色问题（Vertex Coloring Problem）：给定一个图，找到一种顶点着色方式，使得相邻的顶点具有不同的颜色，并且所需的颜色数目最少。
最小边着色问题（Edge Coloring Problem）：给定一个图，找到一种边着色方式，使得相邻的边具有不同的颜色，并且所需的颜色数目最少。
费用最小化问题（Cost Minimization Problem）：
在染色问题中，有时候还需要考虑额外的约束条件，例如给不同的颜色赋予不同的权重或费用。费用最小化问题就是在染色的同时，要求满足某些额外的条件，例如最小化使用的颜色的总权重或费用。

这类问题通常可以转化为优化问题，并可以使用线性规划、动态规划等算法进行求解。在实际应用中，例如调度问题中，不同颜色的任务可能对应不同的执行时间或资源消耗，因此需要考虑最小化总体的执行时间或资源消耗。

染色问题及其相关的费用最小化问题在图论、图像处理、调度问题等领域都有广泛的应用。这些问题的解决有助于提高资源利用效率、降低成本等方面的优化。
------------------------------------------------------这部分不做叙述------------------------------------------------