动态规划：10 0-1背包理论基础II（滚动数组）

接下来还是用如下这个例子来进行讲解

背包最大重量为4。

物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

问背包能背的物品最大价值是多少？

一维dp数组（滚动数组）

对于背包问题其实状态都是可以压缩的。

在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

读到这里估计大家都忘了 dp[i][j]里的i和j表达的是什么了，i是物品，j是背包容量。

dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

一定要时刻记住这里i和j的含义，要不然很容易看懵了。

五部曲

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组的定义：在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

2. 一维dp数组的递推公式：dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

   dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？

   dp[j]可以通过dp[j - weight[i]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。

   dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）

   此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，

   可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。

3. 一维dp数组如何初始化

   关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

   dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

   那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？

   看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

   dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。

   这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

   那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。

4. 一维dp数组遍历顺序

代码如下：

for(int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

这里大家发现和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！

<1>二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。

为什么？

注意，我们在二维数组中，(这里数组竖着的是物品编号i，横着的是背包容量j)得到dp[i][j]需要dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]两个格子

也就是本位置的正上方极其左侧格子来推导出来的，在二维数组中从左到右从上到下是正确的，是基于上一行的，对本行无影响，但是在我们的滚动数组中，本行还未开始遍历时的数据是对应二维数组的上一行的，dp[j]需要依赖的是其左侧的数据(未被覆盖)，如果从左到右的话数据就被覆盖，得到本格子的数据就是错误的，但如果从后向前，那么不影响前面格子的数据更新

<2>再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？

不可以！

因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。

倒序遍历的原因是，本质上还是一个对二维数组的遍历，并且右下角的值依赖上一层左上角的值，因此需要保证左边的值仍然是上一层的，从右向左覆盖。

（这里如果读不懂，就再回想一下dp[j]的定义，或者就把两个for循环顺序颠倒一下试试！）

反应到二维数组就是：

先物后背包：确定了i，来填写dp[j]，和我们取出来的正是一行

先背包后物：确定了j，来填写dp[j]，我们现在是一行，确定了j就只剩一个格子了，物品一直在变换，每一次只是针对一类物品，所以就只会放一个物品

所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！，这一点大家一定要注意。

5. 打印dp数组：debug用

代码

题目和动态规划：09 0-1背包理论基础I里面题目一样，这里代码只放核心代码，输入省略

    public static int testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize) {
        int[] dp = new int[bagSize + 1];
        //数组默认就是0，但要记得这里有初始化的过程
        for(int i = 0; i < weight.length; i++) {
            for(int j = bagSize; j >= 0; j--) {
                if(j >= weight[i]) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], (dp[j - weight[i]] + value[i]));
            }
        }
        }
        return dp[bagSize];
    }

dp[j] = Math.max(dp[j], (dp[j - weight[i]] + value[i]));
}
}
}
return dp[bagSize];
}