一、表
1.1、散列表
也叫哈希表，把数据分散在列表中，依赖于数组下标访问的特性，数组的一种拓展。
散列思想：
即映射思想，用键值对来保存信息，键（key）和值（value）间的映射法则叫散列函数（Hash函数），通过散列函数得到的值叫散列值（Hash值）。散列函数：
散列函数根据key生成一个对应的散列值（数组下标），将key的信息保存到该数组下标对应的内存空间。
构造散列函数三个基本要求
1.通过散列函数得到的散列值是一个非负整数，因为散列值是数组下标。
2.如果key1 == key2，则hash（key1） == hash（key2），保证同样的key只对应一个散列值。
3.如果key1！= key2，则hash（key1）！= hash（key2），保证同样的key只对应一个散列值。散列冲突：
不同的key经过散列函数散列后，会出现相同的散列值。同义词：
这些发生冲突的不同关键字称为同义词。装填因子：
散列表的装填因子一般记为α，定义为一个表的装满程度。
散列冲突（Hash冲突）的解决
不同的key经过散列函数散列后，会出现相同的散列值。
1.开放寻址法
出现一个重复散列值，寻找空闲位置插入。
1.1线性探测法
从当前已占用位置开始，寻找下一个空闲位置( hash(key)+0，hash(key)+1，hash(key)+2……)，直到找到为止。
1.2二次探测
探测的步长就变成了线性探测的"二次方"(hash(key)+0，hash(key)+12，hash(key)+22……)。
1.3双重散列
用一组散列函数（hash1(key)，hash2(key)，hash3(key)……），第一个散列函数计算的存储位置被占用，用第二个散列函数，依次类推，直到找到空闲的存储位置。
2.链表法
本质是数组加链表，数组保存的是每个槽的头链表。每个槽（slot）"对应一条链表，散列值相同元素放到同槽位对应的链表中。
二、树
2.1、二叉树
非线性数据结构，由多个节点组成的有层次关系集合，像一颗倒挂的树。
节点的度：一个结点含有子树的个数。
树的度：节点的度的最大值。
叶子节点（终端节点）：度为0的节点。
父节点（双亲节点）：一个节点的前驱节点称为此节点的父节点。
子节点（孩子节点）：一个节点的后继节点称为此节点的子节点。
根节点：树中没有父节点的节点。
节点层次：从根节点开始往下，根节点为1层，以此类推。
树的高度：节点的最大层数。
树的深度：根节点到指定节点的最长路径的节点数。
2.1.1、二叉树种类
2.1.1.1、满二叉树
二叉树的所有叶子节点都在最后一层，且结点总数=2^n-1，n为层数。
2.1.1.2、完全二叉树
所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层，且最后一层的叶子节点在左边连接，倒数第二层的叶子节点在右边连接。
2.1.1.3、二叉搜索树（二叉排序树、二叉查找树）
左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值，右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值。
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
/**
* 二分搜索树
*/
public class MyBST<E extends Comparable<E>> {
private Node root;
private int size;
public MyBST(){
this.root = null;
this.size = 0;
}
// 向二分搜索树中添加新的元素e
public void add(E e){
root = add(root,e);
}
// 向以node为根的二分搜索树中插入元素e,递归算法。 返回插入新节点后二分搜索树的根
private Node add(Node node, E e){
if(node == null){
size = size +1;
return new Node(e);
}
if(e.compareTo(node.e) < 0){
node.left = add(node.left,e);
}else if(e.compareTo(node.e) > 0){
node.right = add(node.right,e);
}
return node;
}
// 看二分搜索树中是否包含元素e
public boolean contains(E e){
return contains(root, e);
}
// 看以node为根的二分搜索树中是否包含元素e,递归算法
public boolean contains(Node node,E e){
if(node==null){
return false;
}
if(e.compareTo(node.e) < 0){
return contains(node.left,e);
}else if(e.compareTo(node.e) > 0){
return contains(node.right,e);
}else {
return true;
}
}
// 二分搜索树的前序遍历
public void preOrder(){
if(root==null){
System.out.println("空树");
}else {
preOrder(root);
}
}
// 前序遍历以 node为根的二分搜索树, 递归算法
public void preOrder(Node node){
if(node == null){
return;
}
System.out.println(node.e);
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}
// 二分搜索树的中序遍历
public void inOrder(){
inOrder(root);
}
// 中序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
private void inOrder(Node node){
if(node == null){
return;
}
inOrder(node.left);
System.out.println(node.e);
inOrder(node.right);
}
// 二分搜索树的后序遍历
public void postOrder(){
postOrder(root);
}
// 后序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
private void postOrder(Node node){
if(node == null){
return;
}
postOrder(node.left);
postOrder(node.right);
System.out.println(node.e);
}
// 二分搜索树的层序遍历
public void levelOrder(){
if(root == null){
return;
}
Queue<Node> que = new LinkedList<>();
que.add(root);
while(!que.isEmpty()){
Node cur = que.remove();
System.out.println(cur.e);
if(cur.left != null){
que.add(cur.left);
}
if(cur.right != null){
que.add(cur.right);
}
}
}
// 从二分搜索树中删除元素为e的节点
public void remove(E e){
root = remove(root,e);
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中值为e的节点, 递归算法
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
public Node remove(Node node,E e){
if( node == null ){
return null;
}
if(e.compareTo(node.e) < 0){
node.left = remove(node.left,e);
return node;
}else if(e.compareTo(node.e)>0){
node.right = remove(node.right,e);
return node;
}else {
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size = size-1;
return rightNode;
}
if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size = size-1;
return leftNode;
}
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
// 找到比待删除节点大的最小节点,即待删除节点右子树的最小节点，用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node){
if(node.left == null){
return node;
}
return minimum(node.left);
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点,返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node){
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
private class Node{
public E e;
public Node left;
public Node right;
public Node(E e){
this.e = e;
this.left = null;
this.right = null;
}
}
}2.1.1.4、平衡二叉树
每个结点的左子树的高度减去右子树的高度的绝对值不超过1
左旋：
根节点的右侧往左拉，原右子节点成新的父节点，原右节子点的左子节点给降级的根节点当右子节点。
右旋：
根节点的左侧往右拉，原左子节点成新的父节点，原左子节点的右子节点给降级的根节点当左子节点。
import java.util.ArrayList;
/**
* 平衡二叉树
*/
public class MyAVLTree<K extends Comparable<K>, V> {
private Node root;
private int size;
public MyAVLTree(){
root = null;
size = 0;
}
// 判断该二叉树是否是一棵二分搜索树。
public boolean isBST(){
ArrayList<K> keys = new ArrayList<>();
inOrder(root, keys);
for(int i = 1 ; i < keys.size() ; i ++){
if(keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0){
return false;
}
}
return true;
}
//中置遍历,顺序取出各个节点。
private void inOrder(Node node, ArrayList<K> keys){
if(node == null){
return;
}
inOrder(node.left, keys);
keys.add(node.key);
inOrder(node.right, keys);
}
// 判断该二叉树是否是一棵平衡二叉树。
public boolean isBalanced(){
return isBalanced(root);
}
// 判断以Node为根的二叉树是否是一棵平衡二叉树,递归算法。
private boolean isBalanced(Node node){
if(node == null){
return true;
}
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if(Math.abs(balanceFactor) > 1){
return false;
}
return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
}
// 获得节点node的平衡因子
private int getBalanceFactor(Node node){
if(node == null){
return 0;
}
return node.left.height- node.right.height;
}
// 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x。
// y x
// / \ / \
// x T4 向右旋转 (y) z y
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// z T3 T1 T2 T3 T4
// / \
// T1 T2
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.right;
// 向右旋转过程
x.right = y;
y.left = T3;
// 更新height
y.height = Math.max(y.left.height,y.right.height) + 1;
x.height = Math.max(x.left.height,x.right.height) + 1;
return x;
}
// 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x。
// y x
// / \ / \
// T1 x 向左旋转 (y) y z
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// T2 z T1 T2 T3 T4
// / \
// T3 T4
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
// 向左旋转过程
x.left = y;
y.right = T2;
// 更新height
y.height = Math.max(y.left.height,y.right.height) + 1;
x.height = Math.max(x.left.height,x.right.height) + 1;
return x;
}
// 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)。
public void add(K key, V value){
root = add(root, key, value);
}
// 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value), 递归算法。
// 返回插入新节点后二分搜索树的根。
private Node add(Node node, K key, V value){
if(node == null){
size = size+1;
return new Node(key, value);
}
if(key.compareTo(node.key) < 0){
node.left = add(node.left, key, value);
} else if(key.compareTo(node.key) > 0){
node.right = add(node.right, key, value);
} else{ // key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;
}
// 更新height
node.height = 1 + Math.max(node.left.height,node.right.height);
// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
// 平衡维护
// LL
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0){
return rightRotate(node);
}
// RR
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0){
return leftRotate(node);
}
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
return node;
}
// 返回以node为根节点的二分搜索树中，key所在的节点。
private Node getNode(Node node, K key){
if(node == null){
return null;
}
if(key.equals(node.key)){
return node;
}else if(key.compareTo(node.key) < 0){
return getNode(node.left, key);
}else { // if(key.compareTo(node.key) > 0)
return getNode(node.right, key);
}
}
public boolean contains(K key){
return getNode(root, key) != null;
}
public V get(K key){
Node node = getNode(root, key);
return node == null ? null : node.value;
}
public void set(K key, V newValue){
Node node = getNode(root, key);
if(node == null){
throw new IllegalArgumentException(key + " 不存在!");
}
node.value = newValue;
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node){
if(node.left == null){
return node;
}
return minimum(node.left);
}
// 从二分搜索树中删除键为key的节点
public V remove(K key){
Node node = getNode(root, key);
if(node != null){
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key){
if( node == null ){
return null;
}
Node retNode;
if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
node.left = remove(node.left , key);
retNode = node;
}else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){
node.right = remove(node.right, key);
retNode = node;
}else{ // key.compareTo(node.key) == 0
// 待删除节点左子树为空的情况
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size = size-1;
retNode = rightNode;
}
// 待删除节点右子树为空的情况
else if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size = size-1;
retNode = leftNode;
}else{ // 待删除节点左右子树均不为空的情况.
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点.
// 用这个节点顶替待删除节点的位置.
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = remove(node.right, successor.key);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
retNode = successor;
}
}
if(retNode == null){
return null;
}
// 更新height
retNode.height = 1 + Math.max(retNode.left.height,retNode.right.height);
// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
// 平衡维护
// LL
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0){
return rightRotate(retNode);
}
// RR
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0){
return leftRotate(retNode);
}
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
retNode.left = leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);
}
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
retNode.right = rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);
}
return retNode;
}
private class Node{
public K key;
public V value;
public Node left;
public Node right;
public int height;
public Node(K key, V value){
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
height = 1;
}
}
}2.1.1.5、平衡二叉树—AVL树
带了平衡功能的二叉查找树（二叉排序树，二叉搜索树），每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。
2.1.1.6、平衡二叉树—红黑树
每个结点非红即黑，根节点是黑色的，每个红色结点的两个子结点都是黑色（无连续的红结点）。
从任一结点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑结点。
保证最长路径不超过最短路径的2倍，降低了插入和旋转的次数，增删的结构中性能比AVL树更优。
2.1.2、二叉树的遍历
2.1.2.1、前序遍历（先根遍历、根左右）
先输出父节点，再遍历左子树和右子树。
2.1.2.2、中序遍历（中根遍历、左根右）
先遍历左子树，再输出父节点，再遍历右子树。
2.1.2.3、后序遍历（后根遍历、左右根）
先遍历左子树，再遍历右子树，最后输出父节点。
2.1.2.4、层序遍历
按二叉树的层次从上至下从左至右进行遍历
2.1.2.5、S形层序遍历
奇数层从左往右打印，偶数层从右向左打印。
2.2、二叉树—红黑树
三、图
3.1、图
图（Graph）一种多对多的关系，由节点（或顶点）和连接这些节点的边（或弧）组成。
可用来表示各种实际应用场景中的关系和连接，如网络路由、社交网络分析、交通运输、电路设计等。
图也是许多算法的基础，如最短路径算法、最小生成树算法、拓扑排序算法等。
图的基本概念
顶点（Vertex）：图中的点被称为顶点，每个顶点可以代表一个实体，如人、物体、事件等。
边（Edge）：连接两个顶点的线段称为边。边可以表示这两个顶点之间的关系或连接。
邻接点（Adjacent Vertices）：与一条边相连的两个顶点称为该边的邻接点。
路径（Path）：从一个顶点到另一个顶点的一系列边和顶点称为路径。
环（Cycle）：一条路径，其中某个顶点是通过边连接回到路径中的先前顶点，称为环。
无向图（Undirected Graph）：边没有方向，即两个顶点可以通过一条边相互连接。
有向图（Directed Graph）：边有方向，即一个顶点可以通过一条边指向另一个顶点。
简单图（Simple Graph）：不包含重复边和重复顶点的图称为简单图。
加权图（Weighted Graph）：边带有权重的图称为加权图。权重可以表示距离、成本或其他测量值。
稀疏图（Sparse Graph）：边的数量相对较少的图称为稀疏图。
稠密图（Dense Graph）：边的数量相对较多的图称为稠密图。
3.2、位图（bitmap）
用一系列位来表示数据，每个位只有两个状态（0或1），在存储大量数据时高效且节省空间。
import java.util.HashSet;
public class Test01 {
public static class BitMap {
//定义long数组，一个元素可以存放64个数，因为long类型是8字节 64位
private long[] bits;
//定义数组长度，需要先给需要存储的数集的最大值 (max+64/64) 表示需要多少个，如 max是63 那个得 1 只需一个元素就可以
//如果是64 得 2，就需要2个元素 因为一个Long64位 存放0-63的数值， 接着是64-127
public BitMap(int max) { bits = new long[(max + 64) >> 6];}
/**
* 保存数值
* 1.num>>6 表示先将目标数值除以64 得到该数值是位于bits数组的第几个，比如63 / 64 = 0 在bit[0] 64/64=1 bit[1]..
* 2.num & 63 表示num % 64 , 即看在该元素的第几位， 2的6次方=64 第7位1000000 所以可以知道求模后肯定余数是1-6位的数，
* 那么与运算 111111 即 63 就能表示1-6的值，也就是余数，也就得到是位于该元素中的第几位了 比如余数0 那么就是第一位 ，
* 1 就是第二位... 确定了这个余数 即第几位，那么我们就用 1l << 余数(1必须要为long型 1L 取值长度才不会越界，int是32位，
* 所以右移63肯定位数不够) 将1右移余数位，比如余数1 那么就1L右移一位，表示在这个位置标1了。
* 3.前面得到了对应在第几个元素中的第几位，最后就是需要在这个元素的这个位置赋值1. 那么就是可以将元素位置bits[num >>6] =
* bits[num >>6] | (1L << (num & 64) 即或运算 前面得到的具体位置，有1 则表示1 所以就给元素的对于位置赋值1了
*/
public void add(int num) {
bits[num >> 6] |= (1L << (num & 63));
}
/**
* 删除数值， 就是将对应的元素中的第几位 将其1改成0
* 1.bits[num >> 6] 元素所在数组的元素， 1L << (num & 63) 64位元素中的第几位 表示存放着num
* 2.对1L << (num & 63) 取反， 就得到一个 1111...01111 即将存放位赋值0 其他为1
* 3.将取反后的数 与bits[num >> 6] 所在元素就行 与运算， 此时其他位都位1 与完元素不变，而num所在位是0 与完则为0，则
* 表示将数组删除
*/
public void delete(int num) {
bits[num >> 6] &= ~(1L << (num & 63));
}
/**
* 判断数值是否包含，那么就是判断 bits[num >> 6] 所在元素的(1L << (num & 63)) 所在位 进行与运算，(1L << (num & 63))
* 所在位为1 其他位都为0 所以与运算后 如果为一 表示bits[num >> 6] 的所在位也是1 那么就返回true
*/
public boolean contains(int num) {
return (bits[num >> 6] & (1L << (num & 63))) != 0;
}
}
public static void main(String[] args) {
int max = 10000;
BitMap bitMap = new BitMap(max);
HashSet<Integer> set = new HashSet<>();
int testTime = 10000000;
for (int i = 0; i < testTime; i++) {
int num = (int) (Math.random() * (max + 1));
double decide = Math.random();
if (decide < 0.333) {
bitMap.add(num);
set.add(num);
} else if (decide < 0.666) {
bitMap.delete(num);
set.remove(num);
} else {
if (bitMap.contains(num) != set.contains(num)) {
System.out.println("Oops!");
break;
}
}
}
for (int num = 0; num <= max; num++) {
if (bitMap.contains(num) != set.contains(num)) {
System.out.println("Oops!");
}
}
}
}四、堆（Heap）
堆总是一棵完全二叉树，某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值。
