激活函数是神经网络中的非线性函数，为了增强网络的表示能力和学习能力，激活函数有以下几点性质：

• 连续且可导（允许少数点上不可导）的非线性函数。可导的激活函数可以直接利用数值优化的方法来学习网络参数。
• 激活函数及其导函数要尽可能的简单，有利于提高网络计算效率。
• 激活函数的导函数的值域要在一个合适的区间内（不能太大也不能太小），否则会影响训练的效率和稳定性。

Sigmoid

Sigmoid函数（也被称为Logistic函数）的表达式如下：
$$\sigma (x)=\frac{\exp (x)}{\exp (x)+\exp (0)}=\frac{1}{1+exp(-x)}$$

其导数为
$$\frac{d}{dx}\sigma (x)=\sigma (x)(1-\sigma (x))$$

其图像如下图，是一个S型曲线，所以Sigmoid函数可以看做一个“挤压”函数，把一个实数域的输入“挤压”到(0,1)。当输入值在0附近时，Sigmoid函数近似为线性函数；当输入值靠近两端时，对输入进行抑制；输入越小，越接近于0；输入越大，越接近于1。

from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
import torch
from torch import nn

x = np.linspace(-6, 6, 600)
m0 = nn.Sigmoid()
output0 = m0(torch.Tensor(x))
plt.plot(x, output0, label='Sigmod')
plt.title("Sigmoid Activation Function")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Activation")
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()

Sigmoid激活函数的缺点：

• 倾向于梯度消失
• 函数输出不是以0为中心，会使其后一层的神经元的输入发生偏置偏移(Bias Shift)，进而使得梯度下降的收敛速度变慢，也就是会降低权重更新的效率
• 公式中包括指数运算，计算机运行较慢

Tanh

Tanh 函数也是一种S型函数，其定义为
$$tanh(x)=\frac{\exp (x)-\exp (-x)}{\exp (x)+\exp (-x)}$$

Tanh函数可以看做放大并平移的Sigmoid函数，其值域为(-1,1)，并且Tanh与Sigmoid函数关系如下式：
$$tanh(x)=2\sigma (2x)-1$$
Tanh函数如下图所示，它的输入是零中心化的了。

x = np.linspace(-6, 6, 600)
m0 = nn.Sigmoid()
output0 = m0(torch.Tensor(x))
plt.plot(x, output0, label='Sigmod')
m0_1 = nn.Tanh()
output0_1 = m0_1(torch.Tensor(x))
plt.plot(x, output0_1, label='Tanh')

plt.title("Sigmoid and Tanh Activation Functions")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Activation")
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()

ReLU

ReLU（Rectified Linear unit）是最常见的激活函数，其公式为：
$$\begin{array}{rl}ReLU(x)& =\{\begin{array}{l}xx\ge 0\\ 0x<0\end{array}\\ & =max(0,x)\end{array}$$
ReLU函数示意及后面会介绍的几种变种如下图所示：

x = np.linspace(-6, 6, 600)
m0 = nn.ReLU()
output0 = m0(torch.Tensor(x))
plt.plot(x, output0, label='RELU')
m1 = nn.LeakyReLU()
output1 = m1(torch.Tensor(x))
plt.plot(x, output1, label='LeakyRELU', color='red', linestyle='--')
m2 = nn.ELU()
output2 = m2(torch.Tensor(x))
plt.plot(x, output2, label='ELU', linestyle='dotted')
m3 = nn.Softplus()
output3 = m3(torch.Tensor(x))
plt.plot(x, output3, label='Softplus', linestyle='-.')

plt.title("ReLu and It's Varies Activation Functions")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Activation")
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()

ReLU函数的优点是：1. 采用ReLU的神经元只需要进行加、乘和比较的操作，计算上更加高效。2. ReLU函数被认为具有生物学合理性，比如单侧抑制、宽兴奋边界。在生物神经网络中，同时处于兴奋状态的神经元非常稀疏，比如人脑中在同一时刻大概只有 1% ∼ 4% 的神经元处于活跃状态。Sigmoid 型激活函数会导致一个非稀疏的神经网络，而 ReLU 却具有很好的稀疏性，大约 50% 的神经元会处于激活状态．3. 相对于sigmoid函数的两端饱和，ReLU函数为左饱和函数，且在x>0时的导数为1，所以相比之下一定程度上缓解了梯度消失问题，加速梯度下降的收敛速度。

ReLU函数的缺点是：1. 函数输出是非零中心化的，会使其后一层的神经元的输入发生偏置偏移(Bias Shift)，进而使得梯度下降的收敛速度变慢。2. ReLU神经元在训练时比较容易”dead"，如果参数在一次不恰当的更新后，第一个隐藏层中的某个ReLU神经元在所有的训练数据上都不能被激活，那么这个神经元自身参数的梯度永远都会是0，在以后的训练过程中永远不能被激活，这种现象被称为死亡ReLU问题(Dying ReLU Problem)。(其他隐藏层也是有可能发生的)

为了避免ReLU的缺点，有以下几种广泛使用的ReLU变种

Leaky ReLU

Leaky ReLU的公式如下，也就是使输入x<0时，保持一个很小的梯度$\gamma$，使得神经元非激活时也有一个非零的梯度可以更新参数，避免永远不能被激活：
$$\begin{array}{rl}LeakyReLU(x)& =\{\begin{array}{l}xx>0\\ \gamma xx\le 0\end{array}\\ & =max(0,x)+\gamma min(0,x)\end{array}$$
$\gamma$是一个很小的常数，如0.01。 当$\gamma <1$时，Leaky ReLU 也可以写为
$$LeakyReLU(x)=max(x,\gamma x)$$

PReLU

PRuLU（Parametric ReLU）引入了一个可学习的参数，不同神经元可以有不同的参数。对第i个神经元的PReLU定义为：
$$\begin{array}{rl}PReL{U}_i(x)& =\{\begin{array}{l}xx>0\\ {\gamma }_{i}xx\le 0\end{array}\\ & =max(0,x)+{\gamma }_{i}min(0,x)\end{array}$$
其中${\gamma }_i$为$x\le 0$时函数的斜率，所以PReLU也是非饱和函数。

如果${\gamma }_i=0$，PReLU就退化为ReLU。

如果${\gamma }_i$是一个很小的常数，则PReLU就可以看作LeakyReLU。

PReLU可以允许不同神经元具有不同的参数，也可以一组神经元共享一个参数。

ELU

ELU（Exponential Linear Unit）的定义如下：
$$\begin{array}{rl}EReLU(x)& =\{\begin{array}{l}xx>0\\ \gamma (exp(x)-1)x\le 0\end{array}\\ & =max(0,x)+min(0,\gamma (exp(x)-1))\end{array}$$
定义中的$\gamma \ge 0$是一个超参数，决定$x\le 0$时的饱和曲线，并调整输出均值在0附近，所以ELU是一个近似的零中心化的非线性函数。

SoftPlus

SoftPlus可以看作ReLU函数的平滑版本，其定义为：
$$Softplus(x)=log(1+exp(x))$$
SoftPlus的导数是Sigmoid函数

SoftPlus函数也有与ReLU函数一样的单侧抑制、宽兴奋边界的特性，但没有稀疏激活性。

Maxout

Maxout的输入是上一层神经元的全部原始输出，是一个向量$\mathbf{x}=[x_1;x_2;\cdots ,;x_D]$

每个Maxout单元有K个权重向量${\mathbf{w}}_k\in {\mathbb{R}}^D$ (${\mathbf{w}}_k=[w_{k,1},\cdots ,w_{k,D}{]}^T$ 为第k个权重向量) 和偏置$b_k(1\le k\le K)$， 对于输入$\mathbf{x}$，可以得到K个净输入$z_k$，$1\le k\le K$:
$$z_k={\mathbf{w}}_k^{T}x+b_k$$
Maxout单元的非线性函数定义为
$$maxout(\mathbf{x})=\underset{k\in [1,K]}{\max }(z_k)$$
Maxout激活函数可以看做任意凸函数的分段线性近似，并且在有限的点上是不可微的。

Mish

Mish的表达如下式
$$\begin{array}{rl}Mish(x)& =x\ast tanh(Softplus(x))\\ & =x\ast tanh(ln(1+e^x))\end{array}$$
Mish的函数图像如下图

m1 = nn.Mish()
output1 = m1(torch.Tensor(x))
plt.plot(x, output1, label='Mish')
plt.title("Mish Activation Function")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Activation")
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()

Swish

Swish的定义如下：
$$\begin{array}{rl}swish(x)& =x\sigma (\beta x)\\ & =x\frac{1}{1+exp(-\beta x)}\end{array}$$
$\sigma$是sigmoid函数，$\beta$是可学习的参数或者一个固定超参数。$\sigma (.)\in (0,1)$ 可以看作一种软性的门控机制，当$\sigma (\beta x)$ 接近于1时，门的状态为“开”状态，激活函数的输出近似于x本身；当$\sigma (\beta x)$ 接近于0时，门的状态为“关”，激活函数的输出近似于0.

Swish函数的示意图如下图

x = np.linspace(-6, 6, 600)
m1 = nn.SiLU()
output1 = m1(torch.Tensor(x))
plt.plot(x, output1, label='Swish')
plt.title("Swish Activation Function")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Activation")
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()

• 当$\beta =0$时， Swish函数变成线性函数x/2
• 当$\beta =1$时， Swish函数在x>0时近似线性，在x<0时近似饱和，同时有一定的单调性
• 当$\beta \to +\infty$时， Swish函数近似为ReLU函数

所以Swish函数可以看做线性函数和ReLU函数之间的非线性插值函数，其程度由$\beta$控制

GELU

GELU (Gaussian Error Linear Unit) 也是通过门控机制来调整其输出值的激活函数，其表达式为：
$$GELU(x)=xP(X\le x)$$
其中的$P(X\le x)$是高斯分布$\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$的累积分布函数，$\mu$和$\sigma$也是超参数，一般取标准分布，即$\mu =0,\sigma =1$。

由于高斯分布的累积分布函数为S型函数，所以它可以用Tanh和Sigmoid函数来近似：
$$\begin{gathered} GELU(x)\approx 0.5x\left(1+tanh(\sqrt{\frac{2}{\pi }}(x+0.044715x^3))\right) \\ GELU(x)\approx x\sigma (1.702x) \end{gathered}$$
当用sigmoid函数来近似时，GELU相当于一种特殊的Swish函数。

GELU的示意图如下：

x = np.linspace(-6, 6, 600)
m1 = nn.GELU()
output1 = m1(torch.Tensor(x))
plt.plot(x, output1, label='GELU')
plt.title("GELU Activation Function")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Activation")
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()

大模型gpt3使用GELU激活函数

SwiGLU

SwiGLU可以看做采用Swish作为激活函数的GLU变体
$$SwiGLU(x,W,V,b,c)=Swis{h}_1(xW+b)\otimes (xV+c)$$
Meta开源的LLaMA 和 LLaMA2 大模型使用的激活函数是SwiGLU

GEGLU

GEGLU则可以看做采用GELU作为激活函数的GLU变体
$$GEGLU(x,W,V,b,c)=GELU(xW+b)\otimes (xV+c)$$

GLM-130B 大模型使用的是GEGLU

资源

1. https://www.jiqizhixin.com/articles/2021-02-24-7
2. 邱锡鹏《神经网络与深度学习》
3. A Survey of Large Language Models
4. https://zhuanlan.zhihu.com/p/650237644