时间复杂度O(40n*n)的C++算法：修改图中的边权

news2024/10/6 4:08:28

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1.12.1. 题目
给你一个 n 个节点的无向带权连通图，节点编号为 0 到 n - 1 ，再给你一个整数数组 edges ，其中 edges[i] = [ai, bi, wi] 表示节点 ai 和 bi 之间有一条边权为 wi 的边。
部分边的边权为 -1（wi = -1），其他边的边权都为正数（wi > 0）。
你需要将所有边权为 -1 的边都修改为范围 [1, 2 * 10^9] 中的正整数，使得从节点 source 到节点 destination 的最短距离为整数 target 。如果有多种修改方案可以使 source 和 destination 之间的最短距离等于 target ，你可以返回任意一种方案。
如果存在使 source 到 destination 最短距离为 target 的方案，请你按任意顺序返回包含所有边的数组（包括未修改边权的边）。如果不存在这样的方案，请你返回一个空数组。
注意：你不能修改一开始边权为正数的边。
1 <= n <= 100
1 <= edges.length <= n * (n - 1) / 2
edges[i].length == 3
0 <= ai, bi < n
wi = -1 或者 1 <= wi <= 107
ai != bi
0 <= source, destination < n
source != destination
1 <= target <= 109
输入的图是连通图，且没有自环和重边。

分析

在这里插入图片描述

难点分析

任意边的权加1，则任意两点的最短路径要么不变，要么加1。前者对应至少有一条最短路径不经过此边；后者对应所有最短路径都经过此边。首先所有可变权的边，设置为1，每轮选择一条可以加权的权边加1。时间复杂度O(10^{9*边数)，时间复杂度太高，改成按顺序处理可变权边，就可以用二分法了，时间复杂度降为O(log(10}9*边数)约等于O(40)。

时间复杂度

每轮需要寻找最短路径，由于是稠密图，所以用朴素迪氏寻找单源路径。总时间复杂度是：O(log(10^9边数)nn),越O(40100*100)。

大致流程

如果可边权边设置为最大值，如果最短路径小于目标值，返回空。
如果可边权边设置为最小值，如果最短路径大于目标值，返回空。
二分寻找合适的值。

代码讲解

m_vMore0Edge,m_vLess0Edge分别记录不可变权边和可边权边。
CNeiBo3 是封装好的类，用与将权边转成邻接表。
CN2Dis 是封装好的求单源最短路径的类。
Do，求最短路径。
CalLess0Edge将增加的权分配给各边。

核心代码

//朴素迪杰斯特拉算法

class CN2Dis
{
public:
CN2Dis(int iSize) :m_iSize(iSize), DIS(m_vDis), PRE(m_vPre)
{

}
void Cal(int start, const vector<vector<pair<int, int>>>& vNeiB)
{
m_vDis.assign(m_iSize, -1);
m_vPre.assign(m_iSize, -1);
vector vDo(m_iSize);//点是否已处理
auto AddNode = [&](int iNode)
{
//const int iPreNode = m_vPre[iNode];
long long llPreDis = m_vDis[iNode];

  vDo[iNode] = true;
  for (const auto& it : vNeiB[iNode])
  {
    if (vDo[it.first])
    {
      continue;
    }

    if ((-1 == m_vDis[it.first]) || (it.second + llPreDis < m_vDis[it.first]))
    {
      m_vDis[it.first] = it.second + llPreDis;
      m_vPre[it.first] = iNode;
    }
  }

  long long llMinDis = LLONG_MAX;
  int iMinIndex = -1;
  for (int i = 0; i < m_vDis.size(); i++)
  {
    if (vDo[i])
    {
      continue;
    }
    if (-1 == m_vDis[i])
    {
      continue;
    }
    if (m_vDis[i] < llMinDis)
    {
      iMinIndex = i;
      llMinDis = m_vDis[i];
    }
  }
  return (LLONG_MAX == llMinDis) ? -1 : iMinIndex;
};

int next = start;
m_vDis[start] = 0;
while (-1 != (next = AddNode(next)));

}
void Cal(int start, const vector<vector>& mat)
{
m_vDis.assign(m_iSize, LLONG_MAX);
m_vPre.assign(m_iSize, -1);
vector vDo(m_iSize);//点是否已处理
auto AddNode = [&](int iNode)
{
long long llPreDis = m_vDis[iNode];
vDo[iNode] = true;
for (int i = 0; i < m_iSize; i++)
{
if (vDo[i])
{
continue;
}
const long long llCurDis = mat[iNode][i];
if (llCurDis <= 0)
{
continue;
}
m_vDis[i] = min(m_vDis[i], m_vDis[iNode] + llCurDis);
}
long long llMinDis = LLONG_MAX;
int iMinIndex = -1;
for (int i = 0; i < m_iSize; i++)
{
if (vDo[i])
{
continue;
}
if (m_vDis[i] < llMinDis)
{
iMinIndex = i;
llMinDis = m_vDis[i];
}
}
if (LLONG_MAX == llMinDis)
{
return -1;
}

  m_vPre[iMinIndex] = iNode;
  return iMinIndex;
};

int next = start;
m_vDis[start] = 0;
while (-1 != (next = AddNode(next)));

}
const vector& DIS;
const vector& PRE;
private:
const int m_iSize;
vector m_vDis;//各点到起点的最短距离
vector m_vPre;//最短路径的前一点
};

class CNeiBo3
{
public:
CNeiBo3(int n, vector<vector>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
m_vNeiB.resize(n);
AddEdges(edges, bDirect, iBase);
}
CNeiBo3(int n)
{
m_vNeiB.resize(n);
}
void AddEdges(vector<vector>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
for (const auto& v : edges)
{
m_vNeiB[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);
if (!bDirect)
{
m_vNeiB[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);
}
}
}
vector<vector<std::pair<int,int>>> m_vNeiB;
};

class Solution {
public:
  vector<vector<int>> modifiedGraphEdges(int n, vector<vector<int>>& edges, int source, int destination, int target) {
    m_n = n;
    m_src = source;
    m_dest = destination;
    for (const auto& v : edges)
    {
      if (-1 == v[2])
      {
        m_vLess0Edge.emplace_back(v);
      }
      else
      {
        m_vMore0Edge.emplace_back(v);
      }
    }
    long long left = 0, r = (long long)(1000 * 1000 * 1000-1)* m_vLess0Edge.size()+1;
    while (r - left > 1)
    {
      const auto mid = left + (r - left) / 2;
      const long long ll = Do(mid);
      if ( ll == target )
      {
        m_vLess0Edge.insert(m_vLess0Edge.end(), m_vMore0Edge.begin(), m_vMore0Edge.end());
        return m_vLess0Edge;
      }
      else if (ll > target)
      {
        r = mid;
      }
      else
      {
        left = mid;
      }
    }
    const long long ll = Do(left);
    if (target == ll)
    {
      m_vLess0Edge.insert(m_vLess0Edge.end(), m_vMore0Edge.begin(), m_vMore0Edge.end());
      return m_vLess0Edge;
    }
    return {};
  }
  long long Do(long long llAdd)
  {
    CalLess0Edge(llAdd);
    CNeiBo3 neiBo(m_n);
    neiBo.AddEdges(m_vMore0Edge,false);
    neiBo.AddEdges(m_vLess0Edge, false);
    CN2Dis dis(m_n);
    dis.Cal(m_src, neiBo.m_vNeiB);
    return dis.DIS[m_dest];
  }
  void CalLess0Edge(long long llAdd)
  {
    for (auto& v : m_vLess0Edge)
    {
      const int curAdd = (int)min(llAdd, (long long)1000 * 1000 * 1000 - 1);
      v[2] = 1 + curAdd;
      llAdd -= curAdd;
    }
  }
  int m_n;
  int m_src;
  int m_dest;
  vector<vector<int>> m_vMore0Edge,m_vLess0Edge;
};