深入探索STARK的安全性和可靠性—

1. 引言

non-interactive STARKs，起源于Interactive Oracle Proofs (IOPs)，然后通过random oracle模式转换为非交互式。
StarkWare团队 ethSTARK Documentation – Version 1.2（2023年7月）论文做了更新，给出了完整具体的random oracle模式下的ethSTARK安全性分析。本文对该论文的更新做了解释。

2. STARK安全性解释

STARK proof system (Scalable Transparent Argument of Knowledge)是用于证明计算完整性（CI，computational integrity）的强大工具：

支持以trustless方式，来验证基于某公开数据的计算的正确性。

本文深入探索由STARK proofs所提供的安全性，对该安全性进行定义，并探索证明方案安全性的技术。
详情见：

StarkWare团队 ethSTARK Documentation – Version 1.2（2023年7月）论文第6章。
Justin Thaler等人2023年论文Fiat-Shamir Security of FRI and Related SNARKs。

我们试图通过安全分析实现什么？：

试图找到一种对STARK系统的“成功攻击”方式，使得对于某false statement，可生成让STARK Verifier 接受的 STARK proof。

由于false statement是危险的，可能具有任意大小和形状，而所构建的STARK系统是希望能抵御所有 false statement的。

任何false statement，哪怕是1+1=3，若可基于该false statement生成让STARK Verifier信服的STARK proof，则可认为是对该STARK系统的成功攻击。（有密码学背景的人可能会对，STARK所满足的更强安全概念——“knowledge soundness”，感兴趣。为简化表述，本文关注更简单的soundness。“knowledge soundness”知识具体可参见Eli Ben-Sasson等人2016年论文 Interactive Oracle Proofs。）

如何来正式定义某STARK系统的安全性呢？：

通过粗略计算，攻击者构建成功攻击所需的“cost（开销）”，来分析“soundness error”。即，找到某能让STARK Verifier接受的 false statement的 STARK proof。
从数学上说，“soundness error”对应为某函数 $(t)$ ：
- 其输入为时间参数“ $t$ ”，代表攻击者发起攻击所需的计算时长。
- 其输出为攻击者攻击成功的概率。所谓攻击成功，是指找到了某false statement让人信服的proof。
- 若攻击者愿意花费的“cost（开销）” $t$ 越大，则其攻击成功的概率将增加。

为此，可将STARK安全性定义为函数 $(t)$ ：

其不同于在crypto Twitter上讨论安全性的自然方式。

如，对于“本方案具有96位安全性”这样的陈述，如何将其转换为安全性定义？
答案是不唯一的，因为人们对“ $x$ -位安全性”的理解有细微差异：

1）版本1：严格意义上来说：是指，对于任意的 $t\in[1,2^{96}]$ ，该soundness error为 $t)2^{96}$ 。即，对于任意运行时长最多为 $2^{96}$ 的攻击者，其成功的概率很小，小于 $2^{96}$ ——即小于 “10亿✖️10亿✖️10亿”。
2）版本2：宽松意义上来说（或是更通用版本）： $96$ -位安全性，是指对于任意的 $t$ ，对 $t/(t) 2^{96}$ 其成立。即意味着，成功概率与运行时长呈（inverse）线性关系。如，某攻击者的运行时长为 $2^{86}$ ，则其成功的概率最多为 $2^{10}$ 。

本文基于上面的版本2来分析。

3. 由IOPs 到具有96-位安全性的STARKs

如何来证明某方案具有96位安全性呢？
需先理解如何构建STARKs的高层结构。

STARK主要有3大要素：

1）an IOP（interactive oracle proof）
2）a Merkle tree
3）a Fiat-Shamir hash

一旦定义了这3大要素，就可将其编译生成某STARK

本文主要关注IOP。同时将详细说明这3大要素，以及如何将它们组合在一起。

3.1 IOP

IOP类似于表中的interactive proof，其中某Prover和Verifier多轮交互。（本文限定为public-coin协议，即Verifier仅需给Prover发送random challenges）。

在IOP中，Verifier不读取完整的Prover消息，而是仅从每个Prover消息中采样少量bits。从而可实现后续编译出的STARK的简洁性。

3.2 由IOP到STARK

有IOP之后，如何基于该IOP构建某STARK呢？

Prover消息可能很长（事实上，其要长于计算本身）。
为压缩消息，会使用Merkle tree。
- Merkle tree是二进制哈希tree，每个叶子节点代表IOP的某query或某answer。
- Merkle tree root为对整个消息的承诺值。
- 当Verifier想要读取该消息的某特定位置时，Prover会提供该位置的值以及相应的认证路径。Verifier可使用该路径来验证该值的正确性。
- IOP Verifier仅需读取Prover消息的少量位置。从而使用Merkle tree构建了succinct且具有少量通讯的协议。

4. Compressing Rounds

在这里插入图片描述
对于交互式STARK，为简化流程，通常会将其转换为非交互式的，这样在构建时Prover就无需再等待外部消息。事实上，当前所部署的所有STARK系统，包括ethSTARK协议，都是非交互式STARK。

非交互式STARK也是transparent SNARKs的一个特例（所谓transparent，是指在实例化时无需trusted setup，又名“Arthur Merlin protocol”或“public coin IOP”）。最终，最后一步是应用Fiat-Shamir来将rounds压缩为单个消息，称其为STARK proof。

Fiat-Shamir转换会将交互式协议转换为非交互式协议：

Prover 通过“talking to a hash function”来模拟交互协议。为派生第 $i$ 轮的随机挑战值，Prover需对直到第 $i$ 轮的所有transcripts都进行哈希，将相应的哈希输出结果作为下一挑战值。
这样可确保Prover在生成挑战值之后无法改变其responses。

然而cheating Prover有一些新的（交互式IOP所没有的）策略手段。cheating Prover可通过修改最后一条Prover消息（这将给出新的transcript，从而给出新的挑战值），来重新生成Verifier挑战值。由此可知，IOP的标准可靠性概念不足以证明Fiat-Shamir转换的安全性。

如，考虑一个有96轮的IOP，对Verifier进行如下“hack”：

若96轮中，Verifier的每个随机值的第一位是0，在该Verifier接受（而根本不看proof）。

一旦对Verifier添加了该hack，其仅给IOP的soundness error加了一项 $2^{96}$ 。但是，经Fiat-Shamir转换之后，攻击者很容易通过修改Prover消息，来确保每个哈希结果以0开头，从而在很短时间内破解该系统。

不过请放心，这仅仅是个理论示例，而不适用于已部署的STARK。

为何StarkWare的STARK是安全的呢？
简而言之，将展示最多允许 $n$ 步的攻击者，其攻击成功的概率最多为 $t)t 2^{96}$ 。

4.1 IOPs and Round-by-Round Soundness

STARK仅可与其底层的IOP一样安全。但是，某IOP具有96位安全性，意味着什么？
标准定义应是：该IOP的soundness error为 $2^{96}$ ，即意味着，任何攻击者（不考虑运行时长）愚弄Verifier的概率最多为 $2^{-96}$ 。

但是，正如之前所讨论，STARK由3大要素组成，IOP soundness只是三者之一，其并不足以让由三大要素所编译的STARK也具有96位安全性。

事实上，所编译的STARK的安全性证明，是假定该STARK具有96位 round-by-round soundness error（有时，也称为state-restoration soundness）。

直观来说，round-by-round soundness error是指：

每轮的安全性为96位，而不仅是整体协议的安全性是96位。

更具体来说，round-by-round是指：

存在某predicate，已知该协议的某partial transcript，可告知该transcript是否是“fooling”的。
- empty transcript不是“fooling的”。
- 当且仅当Verifier接受，某full transcript是“fooling”的。
- 对于任何不愚弄Verifier的partial transcript，在下一轮中该transcript是“fooling”的概率最多为 $2^{96}$ 。
若存在满足以上属性的predicate，则称该协议具有96位round-by-round soundness（不要求该predicate可高效计算）。

很多情况下，仅分析了某IOP的soundness，而未分析其round-by-round soundness。
需承认的是，很难想到一个例子——某IOP具有标准可靠性，但不是round-by-round soundness（人为例子除外）。

但是IOP soundness与round-by-round soundness 是有差别的：

当派生具体的安全上限时，每个bit都是有关系的。
为此，为派生严谨具体的上限时，必须对IOP的round-by-round soundness 进行严谨分析。StarkWare团队对FRI协议以及ethSTARK IOP均做了相应的严谨分析。该分析自身不在本文详述。
- 具体见2023年2月视频StarkWare Sessions 23 | The Soundness of FRI | Dan Carmon
借助新的分析，可为StarkWare的STARK proof设置精确的参数。

round-by-round soundness 可给出所需的保证：

Prover可多次重新生成挑战值，但是对于任意round，其生成“fooling” transcript的概率为 $2^{96}$ 。
因此，若该Prover具有time $t$ ——用于衡量哈希调用次数，则其最多可尝试 $t$ 次来试图获得某“fooling” transcript，从而限制其成功概率为 $t) t 2^{96}$ 。

5. Adding All the Error Terms

最后，需确保Prover无法对Merkle tree进行攻击。只需要构建Merkle tree所使用的哈希函数不存在碰撞即可。

攻击者对某随机函数调用 $t$ 次，尝试找到某碰撞的概率，最多为 $t 2/2$ 。其中 $t 2$ 为该哈希函数的输出长度（基于“生日悖论”）。这也是为何需设置哈希函数的输出长度，应为所需安全性的2倍。

若有某哈希函数的输出长度为192，且某IOP的round-by-round soundness为96位，则所编译的STARK的soundness error为 $(t)=t2^{96}+t2\cdot 2^{196}$ 。最终该STARK方案的安全性为95位，因 $t/(t)=t/(t2^{96}+t2\cdot 2^{196})=1/2^{96}+1/2^{96}=2^{-95}$ 。