【算法分析与设计】分支限界法（下）

一、最大团问题
- 1.1 问题描述
- 1.2 上界函数
- 1.3 算法思想
二、旅行售货员问题
- 2.1 问题描述
- 2.2 算法描述
三、电路板排列问题
- 3.1 算法描述
四、批处理作业调度问题
- 4.1 问题的描述
- 4.2 限界函数
- 4.3 算法描述
五、小结
六、随机化算法

一、最大团问题

1.1 问题描述

给定无向图G=(V，E)。如果UV，且对任意u，vU有(u，v)E，则称U是G的完全子图。G的完全子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。
下图G中，子集{1，2}是G的大小为2的完全子图。这个完全子图不是团，因为它被G的更大的完全子图{1，2，5}包含。{1，2，5}是G的最大团。{1，4，5}和{2，3，5}也是G的最大团。
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1.2 上界函数

用变量cliqueSize表示 与该结点相应的团的顶点数；level表示 结点在子集空间树中所处的层次；用cliqueSize +n-level+1作为顶点数上界upperSize的值。
在此 优先队列式分支限界法 中，upperSize实际上也是优先队列中元素的优先级。算法总是从活结点优先队列中抽取具有最大upperSize值的元素作为下一个扩展元素。

1.3 算法思想

子集树的根结点是初始扩展结点，对于这个特殊的扩展结点，其cliqueSize的值为0。
算法在扩展内部结点时，首先考察其左儿子结点。在左儿子结点处，将顶点i加入到当前团中，并检查该顶点与当前团中其它顶点之间是否有边相连。当顶点i与当前团中所有顶点之间都有边相连，则相应的左儿子结点是可行结点，将它加入到子集树中并插入活结点优先队列，否则就不是可行结点。
接着继续考察当前扩展结点的右儿子结点。当upperSize>bestn时，右子树中可能含有最优解，此时将右儿子结点加入到子集树中并插入到活结点优先队列中。

算法的while循环的 终止条件 是遇到子集树中的一个叶结点(即n+1层结点)成为当前扩展结点。
对于子集树中的叶结点，有upperSize＝cliqueSize。此时活结点优先队列中剩余结点的upperSize值均不超过当前扩展结点的upperSize值，从而进一步搜索不可能得到更大的团，此时算法已找到一个最优解。
由于算法找到一个解就结束，所以无法找到该问题的所有解，这也是分支限界法的缺点！
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左子树：从顶点i到已选入的顶点集中每一个顶点都有边，否则剪枝。
右子树：顶点数上界小于当前最优值（就是上面的bestn）时剪枝。
顶点数上界=已确定的顶点数+未确定的顶点数的上界，以此作为优先队列中结点的优先级。
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二、旅行售货员问题

2.1 问题描述

某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程(或旅费)。他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一次，最后回到驻地的路线，使总的路程(或总旅费)最小。
路线是一个 带权图。图中各边的费用（权）为正数。图的一条周游路线是包括V中的每个顶点在内的一条回路。周游路线的费用是这条路线上所有边的费用之和。
旅行售货员问题的解空间可以组织成一棵树，从树的根结点到任一叶结点的路径定义了图的一条周游路线。旅行售货员问题要在图G中找出费用最小的周游路线。

2.2 算法描述

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算法开始时创建一个最小堆，用于表示 活结点优先队列。堆中每个结点的子树费用的下界lcost值是优先队列的优先级。接着算法计算出图中每个顶点的最小费用出边并用minout记录。如果所给的有向图中某个顶点没有出边，则该图不可能有回路，算法即告结束。如果每个顶点都有出边，则根据计算出的minout作算法初始化。
算法的while循环体完成对排列树内部结点的扩展。对于当前扩展结点，算法分2种情况进行处理：
1、首先考虑 s=n-2 的情形，此时当前扩展结点是排列树中某个叶结点的父结点。如果该叶结点相应一条可行回路且费用小于当前最小费用，则将该叶结点插入到优先队列中，否则舍去该叶结点。
2、当 s<n-2 时，算法依次产生当前扩展结点的所有儿子结点。由于当前扩展结点所相应的路径是x[0:s]，其可行儿子结点是从剩余顶点x[s+1:n-1]中选取的顶点x[i]，且(x[s]，x[i])是所给有向图G中的一条边。对于当前扩展结点的每一个可行儿子结点，计算出其前缀(x[0:s]，x[i])的费用cc和相应的下界lcost。当lcost<bestc时，将这个可行儿子结点插入到活结点优先队列中。
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算法中while循环的终止条件是排列树的一个叶结点成为当前扩展结点。当s=n-1时，已找到的回路前缀是x[0:n-1]，它已包含图G的所有n个顶点。因此，当s=n-1时，相应的扩展结点表示一个叶结点。此时该叶结点所相应的回路的费用等于cc和lcost的值。剩余的活结点的lcost值不小于已找到的回路的费用。它们都不可能导致费用更小的回路。因此已找到的叶结点所相应的回路是一个最小费用旅行售货员回路，算法可以结束。
算法结束时返回找到的最小费用，相应的最优解由数组v给出。
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三、电路板排列问题

将n块电路板以最佳排列方式插入带有n个插槽的机箱中。n块电路板的不同排列方式对应于不同的电路板插入方案。设B={1, 2, …, n}是n块电路板的集合，L={N1, N2, …, Nm}是连接这n块电路板中若干电路板的m个连接块。Ni是B的一个子集，且Ni中的电路板用同一条导线连接在一起。设x表示n块电路板的一个排列，即在机箱的第i个插槽中插入的电路板编号是x[i]。x所确定的电路板排列Density (x)密度定义为跨越相邻电路板插槽的最大连线数。

例：如图，设n=8, m=5，给定n块电路板及其m个连接块：B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，N1={4, 5, 6}，N2={2, 3}，N3={1, 3}，N4={3, 6}，N5={7, 8};其中两个可能的排列如图所示，则左电路板排列的密度是2。
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在设计机箱时，插槽一侧的布线间隙由电路板的排列的密度确定。因此，电路板排列问题要求对于给定的电路板连接条件(连接块)，确定电路板的最佳排列，使其具有最小密度。
电路板排列问题的 解空间是一颗排列树。采用优先队列式分支限界法找出所给电路板的最小密度布局。算法中采用最小堆表示活节点优先级队列。

3.1 算法描述

算法开始时，将排列树的根结点置为当前扩展结点。在do-while循环体内算法依次从活结点优先队列中取出具有最小cd值的结点作为当前扩展结点，并加以扩展。
首先考虑s=n-1的情形，当前扩展结点是排列树中的一个叶结点的父结点。x表示相应于该叶结点的电路板排列。计算出与x相应的密度并在必要时更新当前最优值和相应的当前最优解。
当s<n-1时，算法依次产生当前扩展结点的所有儿子结点。对于当前扩展结点的每一个儿子结点node，计算出其相应的密度node.cd。当node.cd<bestd时，将该儿子结点N插入到活结点优先队列中。

do {// 结点扩展
      if (E.s == n - 1) {// 仅一个儿子结点
         int ld = 0; // 最后一块电路板的密度
         for (int j = 1; j <= m; j++)
            ld += B[E.x[n]][j];
         if (ld < bestd) {// 密度更小的电路板排列
            delete [] bestx;
            bestx = E.x;
            bestd = max(ld, E.cd);
            }

S=n-1的情况，计算出此时的密度和bestd进行比较。

else
         {// 产生当前扩展结点的所有儿子结点
 for (int i = E.s + 1; i <= n; i++) {
         BoardNode N;
         N.now = new int [m+1];
         for (int j = 1; j <= m; j++)
            // 新插入的电路板
            N.now[j] = E.now[j] + B[E.x[i]][j];

int ld = 0; // 新插入电路板的密度
         for (int j = 1; j <= m; j++)
            if (N.now[j] > 0 && total[j] != N.now[j]) ld++;
         N.cd = max(ld, E.cd);
         if (N.cd < bestd) {// 可能产生更好的叶结点
         //计算出每一个儿子结点的密度与bestd进行比较大于bestd时加入队列
            N.x = new int [n+1]; N.s = E.s + 1;
            for (int j = 1; j <= n; j++) N.x[j] = E.x[j]; 
            N.x[N.s] = E.x[i]; N.x[i] = E.x[N.s]; H.Insert(N);}
         else delete [] N.now;}
         delete [] E.x;}

四、批处理作业调度问题

4.1 问题的描述

给定n个作业的集合J={J1,J2,…,Jn}。每一个作业Ji都有2项任务要分别在2台机器上完成。每一个作业必须先由机器1处理，然后再由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为tji，i=1,2,…,n；j=1,2。对于一个确定的作业调度，设是Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。则所有作业在机器2上完成处理的时间和在这里插入图片描述称为该作业调度的完成时间和。批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。

4.2 限界函数

在结点E处相应子树中叶结点完成时间和的下界是：
在这里插入图片描述
注意到如果选择Pk，使t1pk在k>=r+1时依非减序排列，S1则取得极小值。同理如果选择Pk使t2pk依非减序排列，则S2取得极小值。

这可以作为 优先队列式分支限界法中的限界函数。

4.3 算法描述

算法的while循环完成对排列树内部结点的有序扩展。在while循环体内算法依次从活结点优先队列中取出具有最小bb值（完成时间和下界）的结点作为当前扩展结点，并加以扩展。
首先考虑E.s=n的情形，当前扩展结点E是排列树中的叶结点。E.sf2是相应于该叶结点的完成时间和。当E.sf2 < bestc时更新当前最优值bestc和相应的当前最优解bestx。
当E.s<n时，算法依次产生当前扩展结点E的所有儿子结点。对于当前扩展结点的每一个儿子结点node，计算出其相应的完成时间和的下界bb。当bb < bestc时，将该儿子结点插入到活结点优先队列中。而当bb bestc时，可将结点node舍去。
在这里插入图片描述

else {// 产生当前扩展结点的儿子结点
         for (int i = E.s; i < n; i++) {
               Swap(E.x[E.s],E.x[i]);
               int f1,f2;
               int bb=Bound(E,f1,f2,y);
               if (bb < bestc ) {
               //当bb<bestc时，将儿子结点插入到活结点优先队列中
                   MinHeapNode N;
                   N.NewNode(E,f1,f2,bb,n);
                   H.Insert(N);}
               Swap(E.x[E.s],E.x[i]);
               }
         delete [] E.x;}  // 完成结点扩展