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学习视频：《数值分析》| 华科 | 研究生基础课

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一、数值分析介绍

数值分析概括为用计算机求解数学问题的数值方法和理论。

在工程计算和科学实验中会遇到诸如线性方程组的求解、微分、积分、微分方程的求解等常见的数学问题。

求解数学问题思维方式：

• 利用数学方法求出（或推导出）结果的解析表达式（又称解析解）
• 若实际中结果的解析表达式难以给出，例如满足某个微分方程的函数不易求得，采用数学理论与计算机相结合，寻求(设计)合适的算法以期得到问题的近似数值解——数值分析研究的主要问题。

下面是两种思维过程的对比：

数值分析的思维方式的特点是：利用计算机进行科学计算。

数值计算的根本课题：电子计算机实质上只会作加减乘除等基本运算，研究如何通过计算机所能执行的基本运算，求得各类数学问题的数值解或近似解。

算法：由基本运算及运算顺序的规定所构成的完整的解题步骤。

数值计算的根本任务：研究算法。

二、数值分析应用

下面举一些例来说明数值分析在现实中的应用

2.1 解三角函数

用计算机计算任意角的三角函数（如 $\sin x$），不能调用库函数，计算机无法直接计算 $\sin x$ 。但是我们可以知道微分学的泰勒公式：

因此，通过编制程序，取 $n$ 为一个有限值，就可以计算三角函数的近似值。事实上，计算机语言中常用的数学运算的标准函数也可用这种方法写成。

2.2 计算多项式

下面例子中，我们可以通过改变计算方式，减少作乘法和加法的次数，从而加快计算程序的速度。
对于同一个数学问题，我们可以设计不同算法，不同算法的效率是不一样的，如何设计出高效稳定的算法，这就是数值分析这门课要研究的问题。

注意：计算机中，加法速度比乘法速度快

2.3 解线性方程组

Cramer法则：克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer’s Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组。一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的。使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法时间复杂度依赖于矩阵行列式的算法复杂度O(f(n))，其复杂度为O(n·f(n))，一般没有计算价值，复杂度太高。

2.4 供水计划和生产调度计划的制定

用数值方法求解出近似的函数（插值、拟合）

2.5 湘江水流量估计的实际意义

用数值方法近似求解未知函数的定积分

2.6 机器学习或大数据

现在很流行的机器学习或大数据中会涉及到很多矩阵的运算，比如求特征值、奇异值分解和最小二乘，这些矩阵运算就是数值分析很重要的一个分支，这个方向的发展对机器学习以及统计方面最基础算法的发展有着很重要的作用。

三、数值分析内容

1. 输入一个复杂的数学问题
2. 根据数值分析思想提出算法
3. 利用加减乘除四则基本运算
4. 计算机编程实现
5. 求得近似解

四、数值分析参考书目

• 《数值分析》李庆扬、王能超等人（清华大学出版社）
• 《Numerical Analysis（Seventh Edition）》Richard L. Burden 等人
• 《Introduction to Numerical Analysis（Second Edition）》J. Stoer 等人
• 《数值分析学习辅导》李红 等人（华工出版社）