线性代数中涉及到的matlab命令-第二章：矩阵及其运算

news2024/10/2 22:27:07

1，矩阵定义

2，矩阵的运算

3，方阵的行列式和伴随矩阵

4，矩阵的逆

5，克莱默法则

6，矩阵分块

1，矩阵定义

矩阵与行列式的区别：

（1）形式上行列式是数表加两个竖线，矩阵是数表加大括号或中括号；

（2）行列式可计算得到一个值，矩阵不能；

（3）两个行列式相加与两个矩阵相加不同；

（4）行列式乘以一个数k，可将k乘到行列式任一行或任一列，矩阵乘以k，k与矩阵的每个元素相乘；

（5）行列式是n*n的数表，矩阵可以是m*n的数表；

行数和列数都为n的矩阵称为n阶矩阵，或叫n阶方阵；

只有一行的矩阵称为行矩阵（也叫行向量）在Matlab中的表示方法：

只有一列的矩阵称为列矩阵（也叫列向量）在Matlab中的表示方法：

两个矩阵A、B的行数相同，并且列数也相同时，称它们是同型矩阵，如果他们的对应元素也相同，则A = B；

使用size命令获得矩阵的行数和列数：

clc;

A = [2 4 6;
     3 5 7];

size(A)

使用isequal判断两个矩阵是否相等：

clc;

A = [2 4 6;
     3 5 7];

B = [2 4 6;
     3 5 7];

isequal(A,B)

单位矩阵：是一个方阵，主队角元素都为1，其他元素是0，一般用E表示

矩阵A乘以单位矩阵E结果还是矩阵A，并且左乘或右乘单位矩阵E一样：

clc;

A = [1 2 3;
     4 5 6;
     7 8 9];

E = eye(3); 

EA = E*A

AE = A*E

对角矩阵：是一个方阵，主对角元素不为0，其他元素均为0；

clc;

v = [1,2,3,4];

A = diag(v)

2，矩阵的运算

矩阵的加法：

clc;

A = [1 1 1 1;
     2 2 2 2;
     3 3 3 3];

B = [0 0 0 0;
     1 1 1 1;
     2 2 2 2];

C = A + B

数与矩阵相乘：

clc;

A = [1 1 1 1;
     2 2 2 2;
     3 3 3 3];

k = 2;

C = k*A

矩阵相乘：一个矩阵的列与另一个矩阵的行相同时，两个矩阵才能相乘；

clc;

A = [1 1 1;
     2 2 2];

B = [1 1;
     2 2;
     3 3];

C = A*B

D = B*A

可见矩阵A*B 不等于B*A；

矩阵的幂：

以下例子为四个城市之间开通的航线情况，0代表两个城市间没有航线，1代表开通有航线，建立城市间是否有航线的模型即一个4阶矩阵A，用表示从i城市到j城市的航线数量，对A求2次幂可以得到城市i有几条双向航线（A的2次幂矩阵的对角线元素），以及从城市i经过一次中转到城市j的单线航线数量。

对角矩阵的幂，对角线上元素按幂运算：

clc;

v = [1,2,3];

A = diag(v)

A^3

矩阵的转置：

clc;

A = [1 1 1;
     2 2 2];

B = A'

一个方阵和它的转置矩阵相加可以产生一个对称矩阵，以下程序可以产生一个对称阵：

clc;

A = rand(3);

B = A';

C= A+B

3，方阵的行列式和伴随矩阵

clc;

A = rand(3);

a = det(A);

b = det(A');

abs(a-b) < eps

clc;

A = rand(3);

B = rand(3);

format short

a = det(A*B);
b = det(A)*det(B);

abs(a-b) < eps

clc;

A = [1 2 3;
     4 5 6;
     7 8 9];

k = 2;

B = k*A;

det(B) == (k^3)*det(A)

clc;


A = [1 4 7;
     3 5 8;
     2 6 8];

A_adj = adjoint(A)     %adjoint求A的伴随矩阵

C = A*A_adj;
D = A_adj*A;
E = eye(3);
EA = E*det(A);



A13 = A;

A21 = A;

A13(1,:) = [];

A13(:,3) = [];

A21(2,:) = [];

A21(:,1) = [];

D_A13 = (-1)^(1+3)*det(A13)   %A(1,3)的代数余子式

D_A21 = (-1)^(2+1)*det(A21)   %A(2,1)的代数余子式

使用Matlab中的adjoint命令，A产生的伴随阵A_adj，A*A_adj = A_adj *A = E*det(A):

4，矩阵的逆

只有方阵才有逆矩阵，矩阵可逆的充分必要条件是det(A)不等于0。

Matlab中可以使用inv(A)或A^(-1)计算A的逆矩阵，也可以使用上图中定理2计算逆矩阵：

clc;

A = rand(3);

B = inv(A)

C = A^(-1);

A_mul_B = A*B

B_mul_A = B*A;

A_adj = adjoint(A);

1/det(A)*A_adj           %根据定理2计算逆矩阵

同样使用定理2可以反向计算矩阵A的伴随阵：

clc;

A = rand(3);

A_adj = adjoint(A)

det(A)*inv(A)          %定理2计算伴随阵

5，克莱默法则

分别用逆矩阵、左除、克莱默法则计算下边例题，计算结果相同：

clc;

%以下程序用于求n元非齐次方程组的解， 方程组的形式为Ax = b，求x

A = [1,1,1,1;
     1,2,-1,4;
     2,-3,-1,-5;
     3,1,2,11];     %方程组系数矩阵

b = [5;-2;-2;0];     %方程组右端常数矩阵

A1 = A;
A1(:,1) = b;     

A2 = A;
A2(:,2) = b;

A3 = A;
A3(:,3) = b;

A4 = A;
A4(:,4) = b;

if det(A) ~= 0                    %判断方程组是否有解

%%三种求方程组解的形式

  x = inv(A)*b                    %1，用逆矩阵的方式求方程组的解

  x = A\b                         %2，用左除的方式求方程组的解

  x1 = det(A1)/det(A)             %3，用克莱默法则求方程组的解
  x2 = det(A2)/det(A)
  x3 = det(A3)/det(A)
  x4 = det(A4)/det(A)

else
    disp("det(A) = 0,方程组无解");
end

6，矩阵分块

使用下边Matlab命令运算得到逆矩阵：

clc;

A = [3 0 0 ;
     0 2 4 ;
     0 3 1 ];

C = mat2cell(A,[1,2],[1,2]);      %mat2cell函数将原矩阵分块为四个cell，行数分别为1和2行，列数分别为1列和2列

C1 = C{1};                       %将cell转化为矩阵
C2 = C{2};
C3 = C{3};
C4 = C{4};

inv_A = inv(A)              %使用inv命令直接计算逆矩阵

inv_C1 = inv(C1);           %对分块后的非0矩阵求逆矩阵
inv_C4 = inv(C4);

inv_C = [inv_C1,C3;
         C2,inv_C4]        %对原矩阵分块后对非0矩阵分别求逆矩阵后再组合在一起

运行结果：

矩阵分块后转置：

clc;

A = randi([0,10],3,4)           %产生一个3行4列从0-10的随机数元素的矩阵

A_T = A'

C = mat2cell(A,[1,2],[2,2]);      %mat2cell函数将原矩阵分块为四个cell，行数分别为1和2行，列数分别为2列和2列

C1 = C{1,1};                       %将cell转化为矩阵
C2 = C{1,2};
C3 = C{2,1};
C4 = C{2,2};

C1 = C1';
C2 = C2';
C3 = C3';
C4 = C4';

C_T = [C1,C3;
       C2,C4]

运行结果：