【数据结构】深入探讨二叉树的遍历和分治思想(一)

news2024/12/28 18:44:30

🚩纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
🌟主页：June-Frost
🚀专栏：数据结构

🔥该文章主要讲述二叉树的递归结构及分治算法的思想。

🌍前言：

为了实现二叉树的基本操作以及更好的了解二叉树的结构，先手动创造一个链式二叉树。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef struct BinaryTreeNode
{
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
	int val;
}BTNode;

BTNode* BuyNode(int x)
{
	BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (node == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;
	node->val = x;
	return node;
}
int main()
{
	//创建节点
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(3);
	BTNode* node4 = BuyNode(4);
	BTNode* node5 = BuyNode(5);
	BTNode* node6 = BuyNode(6);
	BTNode* node7 = BuyNode(7);
	//建立关系
	node1->left = node2;
	node1->right = node3;
	node2->left = node4;
	node3->left = node5;
	node3->right = node6;
	node4->right = node7;

	return 0;
}

创建出来的结构：

📗创建出来的这棵二叉树将为后续的遍历和分治做准备.

🌍 二叉树的遍历

遍历操作可以快速熟悉二叉树的递归结构，二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

如果二叉树不为空树，就需要看成三部分，即 根节点，根节点的左子树、根节点的右子树，这样就满足了递归结构：

📙由于二叉树满足递归结构，所以按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。即顺序为：根、左子树、右子树。
中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。即顺序为：左子树、右子树、根。
后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。即顺序为：左子树、右子树、根。

📗按照创建的二叉树，遍历的顺序为：

🔭 前序遍历

代码实现：

void PreOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}

	printf("%d ", root->val);
	PreOrder(root->left);
	PreOrder(root->right);
}

动图展示：

前序遍历递归图解：

🔭 中序遍历

代码实现：

void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}

	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->val);
	InOrder(root->right);
}

动图展示：

注意：对于这个动图的白色箭头为递归调用和结束，红色箭头是左子树部分调用结束之后打印节点的时机。

🔭 后续遍历

代码实现：

void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}

	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%d ", root->val);
}

动图展示：

注意：对于这个动图的白色箭头为递归调用和结束，红色箭头是右子树部分调用结束之后打印节点的时机。

🌎 分治

分治思想是一种解决问题的方法，本质是一种管理，它的核心思想是将一个复杂的问题分解成若干个较小的子问题，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并得到原问题的解。这种思想在计算机科学、数学和工程领域都有广泛应用。
分治思想的优点在于它可以有效地减少问题的复杂度，提高算法的效率。同时，它还可以提高代码的可读性和可维护性，因为可以将问题分解成更小的部分，更容易理解和修改。

🔭 一些例子

① 二叉树的节点个数

节点情况：

如果是空节点，返回0。
如果不是空节点，则返回该节点的左子树的节点数+右子树的节点个数+1(自己这个节点)。

int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

这个代码的访问顺序其实就是后序遍历。

② 二叉树叶子节点个数

节点情况：

如果是空，返回0。
如果是叶子，返回1。
不是叶子也不是空，就返回该节点左子树的叶子数 + 右子树的叶子数。

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
	{
		return 1;
	}
	return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

③ 二叉树第k层节点个数

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	if (k == 1)
	{
		return 1;
	}
	return BinaryTreeLevelKSize(root->left,k-1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}