【算法-动态规划】贝尔曼福特算法

news2024/11/20 3:26:40

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贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford algorithm）是一种用于在带有权重的有向图中找到单源最短路径的算法。它可以处理负权重边，因此在某些情况下比狄克斯特拉算法更有用。下面是贝尔曼-福特算法的基本步骤：

初始化距离：将源节点到所有其他节点的距离初始化为无穷大（除了源节点本身的距离为 0）。同时，创建一个数组或列表来保存每个节点的最短距离估计。
重复以下步骤（节点数量 - 1）次：
a. 对于图中的每一条边（u，v）（u 是起始节点，v 是目标节点），如果从源节点到 v 的距离通过 u 更短，更新距离。更新的方式是：如果源节点到 u 的距离加上从 u 到 v 的距离小于源节点到 v 的当前距离，则将源节点到 v 的距离更新为源节点到 u 的距离加上从 u 到 v 的距离。
检查是否存在负权重环路：如果在第 2 步中的重复迭代中，最短路径估计仍然在改进（即存在负权重环路），则说明图中存在负权重环路，无法找到最短路径。算法会返回一个错误或报告有负权重环路。
最终得到最短路径：如果没有负权重环路，那么在第 2 步完成后，最短路径估计数组中的值就是从源节点到每个节点的最短距离。

public class DP_02_BellmanFord_02 {
    static class Edge {
        int from;
        int to;
        int weight;

        public Edge(int from, int to, int weight) {
            this.from = from;
            this.to = to;
            this.weight = weight;
        }
    }

    /*
            f(v) 用来表示从起点出发，到达 v 这个顶点的最短距离
            初始时
            f(v) = 0   当 v==起点 时
            f(v) = ∞   当 v!=起点 时
            之后
            新           旧     所有from
            f(to) = min(f(to), f(from) + from.weight)
            from 从哪来
            to   到哪去
            f(v4) = min( ∞, f(v3) + 11 ) = 20
            f(v4) = min( 20, f(v2) + 15 ) = 20
            v1  v2  v3  v4  v5  v6
            0   ∞   ∞   ∞   ∞   ∞
            0   7   9   ∞   ∞   14  第一轮
            0   7   9   20  23  11  第二轮
            0   7   9   20  20  11  第三轮
            0   7   9   20  20  11  第四轮
            0   7   9   20  20  11  第五轮
     */
    public static void main(String[] args) {
        List<Edge> edges = Arrays.asList(
                new Edge(6, 5, 9),
                new Edge(4, 5, 6),
                new Edge(1, 6, 14),
                new Edge(3, 6, 2),
                new Edge(3, 4, 11),
                new Edge(2, 4, 15),
                new Edge(1, 3, 9),
                new Edge(1, 2, 7)
        );
        //长度为节点数+1
        int[] dp = new int[7];
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i < dp.length; i++) {
            dp[i] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        print(dp);
        for (int i = 0; i < 5; i++) {
            for (Edge edge : edges) {
                if (dp[edge.from] != Integer.MAX_VALUE) {
                    dp[edge.to] = Integer.min(dp[edge.to], dp[edge.from] + edge.weight);
                }
            }
        }
        print(dp);
    }

    static void print(int[] dp) {
        System.out.println(Arrays.stream(dp)
                .mapToObj(i -> i == Integer.MAX_VALUE ? "∞" : String.valueOf(i))
                .collect(Collectors.joining(",", "[", "]")));
    }
}