einsum详解

该函数用于对一组输入 Tensor 进行 Einstein 求和，该函数目前仅适用于paddle的动态图。

Einstein 求和是一种采用 Einstein 标记法描述的 Tensor 求和，输入单个或多个 Tensor，输出单个 Tensor。

paddle.einsum(equation, *operands)

参数

• equation (str)：求和标记
• operands (Tensor, [Tensor, …])：输入 Tensor

返回

• Tensor：输出 Tensor

求和特例

• 单操作数

  • 迹：trace

  • 对角元：diagonal

  • 转置：transpose

  • 求和：sum

• 双操作数

  • 内积：dot

  • 外积：outer

  • 广播乘积：mul，*

  • 矩阵乘：matmul

  • 批量矩阵乘：bmm

• 多操作数

  • 广播乘积：mul，*

  • 多矩阵乘：A.matmul(B).matmul(C)

关于求和标记的约定

• 维度分量下标：Tensor 的维度分量下标使用英文字母表示，不区分大小写，如’ijk’表示 Tensor 维度分量为 i,j,k

• 下标对应输入操作数：维度下标以`,`分段，按顺序 1-1 对应输入操作数

• 广播维度：省略号`…`表示维度的广播分量，例如，'i…j’表示首末分量除外的维度需进行广播对齐

• 自由标和哑标：输入标记中仅出现一次的下标为自由标，重复出现的下标为哑标，哑标对应的维度分量将被规约消去

• 输出：输出 Tensor 的维度分量既可由输入标记自动推导，也可以用输出标记定制化

• 自动推导输出

  • 广播维度分量位于维度向量高维位置，自由标维度分量按字母顺序排序，位于维度向量低纬位置，哑标维度分量不输出

• 定制化输出

  • 维度标记中`->`右侧为输出标记

  • 若输出包含广播维度，则输出标记需包含`…`

  • 输出标记为空时，对输出进行全量求和，返回该标量

  • 输出不能包含输入标记中未出现的下标

  • 输出下标不可以重复出现

  • 哑标出现在输出标记中则自动提升为自由标

  • 输出标记中未出现的自由标被降为哑标

例子

• ‘…ij, …jk’，该标记中 i,k 为自由标，j 为哑标，输出维度’…ik’

• ‘ij -> i’，i 为自由标，j 为哑标

• ‘…ij, …jk -> …ijk’，i,j,k 均为自由标

• ‘…ij, …jk -> ij’，若输入 Tensor 中的广播维度不为空，则该标记为无效标记

求和规则

Einsum 求和过程理论上等价于如下四步，但实现中实际执行的步骤会有差异。

• 第一步，维度对齐：将所有标记按字母序排序，按照标记顺序将输入 Tensor 逐一转置、补齐维度，使得处理后的所有 Tensor 其维度标记保持一致

• 第二步，广播乘积：以维度下标为索引进行广播点乘

• 第三步，维度规约：将哑标对应的维度分量求和消除

• 第四步，转置输出：若存在输出标记，则按标记进行转置，否则按广播维度+字母序自由标的顺序转置，返回转之后的 Tensor 作为输出

关于 trace 和 diagonal 的标记约定（待实现功能）

• 在单个输入 Tensor 的标记中重复出现的下标称为对角标，对角标对应的坐标轴需进行对角化操作，如’i…i’表示需对首尾坐标轴进行对角化

• 若无输出标记或输出标记中不包含对角标，则对角标对应维度规约为标量，相应维度取消，等价于 trace 操作

• 若输出标记中包含对角标，则保留对角标维度，等价于 diagonal 操作

实例实践

首先，看一下一维度简单实验：

import paddle

# 定义两个输入矩阵
# paddle.seed(102)
# x = paddle.rand([4])
# y = paddle.rand([5])
x = paddle.to_tensor([1,2,], dtype='float32')
y = paddle.to_tensor([3,4,5], dtype='float32')

# sum
sum_x = paddle.einsum('i->', x).numpy()

# dot
dox_x = paddle.einsum('i,i->', x, x).numpy()

# outer
outer_xy = paddle.einsum("i,j->ij", x, y).numpy()

print(f"x: {x.numpy()}, shape: {x.shape}")
print(f"y: {y.numpy()}, shape: {y.shape}")
print(f"sum_x: {sum_x}, shape: {sum_x.shape}")
print(f"dox_x: {dox_x}, shape: {dox_x.shape}")
print(f"outer_xy: {outer_xy}, shape: {outer_xy.shape}")

结果输出为：

x: [1. 2.], shape: [2]
y: [3. 4. 5.], shape: [3]
sum_x: 3.0, shape: ()
dox_x: 5.0, shape: ()
outer_xy: [[ 3.  4.  5.]
 [ 6.  8. 10.]], shape: (2, 3)

然后，看一下高纬度的实验：

import paddle

# A = paddle.rand([2, 3, 2])
# B = paddle.rand([2, 2, 3])
A = paddle.to_tensor([[[1,2],[1,2],[1,2]], [[1,2],[1,2],[1,2]]], dtype='float32')
B = paddle.to_tensor([[[3,4,5],[3,4,5]], [[3,4,5],[3,4,5]]], dtype='float32')

# transpose
transpose_A = paddle.einsum('ijk->kji', A)

# batch matrix multiplication
BMM_AB = paddle.einsum('ijk, ikl->ijl', A,B)

# Ellipsis transpose
ET_A = paddle.einsum('...jk->...kj', A)

# Ellipsis batch matrix multiplication
EBMM_AB = paddle.einsum('...jk, ...kl->...jl', A,B)

print(f"A: {A.numpy()}, shape: {A.shape}")
print(f"B: {B.numpy()}, shape: {B.shape}")
print(f"transpose_A: {transpose_A.numpy()}, shape: {transpose_A.shape}")
print(f"BMM_AB: {BMM_AB.numpy()}, shape: {BMM_AB.shape}")
print(f"ET_A: {ET_A.numpy()}, shape: {ET_A.shape}")
print(f"EBMM_AB: {EBMM_AB.numpy()}, shape: {EBMM_AB.shape}")

结果输出为：

A: [[[1. 2.]
  [1. 2.]
  [1. 2.]]

 [[1. 2.]
  [1. 2.]
  [1. 2.]]], shape: [2, 3, 2]
B: [[[3. 4. 5.]
  [3. 4. 5.]]

 [[3. 4. 5.]
  [3. 4. 5.]]], shape: [2, 2, 3]
transpose_A: [[[1. 1.]
  [1. 1.]
  [1. 1.]]

 [[2. 2.]
  [2. 2.]
  [2. 2.]]], shape: [2, 3, 2]
BMM_AB: [[[ 9. 12. 15.]
  [ 9. 12. 15.]
  [ 9. 12. 15.]]

 [[ 9. 12. 15.]
  [ 9. 12. 15.]
  [ 9. 12. 15.]]], shape: [2, 3, 3]
ET_A: [[[1. 1. 1.]
  [2. 2. 2.]]

 [[1. 1. 1.]
  [2. 2. 2.]]], shape: [2, 2, 3]
EBMM_AB: [[[ 9. 12. 15.]
  [ 9. 12. 15.]
  [ 9. 12. 15.]]

 [[ 9. 12. 15.]
  [ 9. 12. 15.]
  [ 9. 12. 15.]]], shape: [2, 3, 3]

reference

关于matmul可以查看：https://blog.csdn.net/orDream/article/details/133744368
官方链接：
@misc{BibEntry2023Oct,
title = {{einsum-API文档-PaddlePaddle深度学习平台}},
year = {2023},
month = oct,
urldate = {2023-10-10},
language = {chinese},
note = {[Online; accessed 10. Oct. 2023]},
url = {https://www.paddlepaddle.org.cn/documentation/docs/zh/api/paddle/einsum_cn.html}
}