雪莱的式子武汉2023（分析+快速幂）

news2025/1/6 17:52:28

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思路：

对于每一种质因子，如果他在μ（）函数中出现两次，那这种情况对答案贡献为0，所以我们可以只讨论每一种因子出现0，1次的情况。

对于每一个f(n),我们先选择i个质因子在μ（）中，有 $_{i}^{n}\textrm{C}$ 种。

选择i个因子后，我们要确定这i个质因子有哪几种情况可以得到，每个因子可以来自第j次1<=j<=k，对于确定的i个因子有 $k^{i}$ 种情况。

所以选择i个因子共有： $_{i}^{n}\textrm{C}$ $k^{i}$ 种情况。

这些情况对应着同一种结果： $(-1)^{i}$ ,所以选择i个因子对答案贡献为 $(-1)^{i}$ $_{i}^{n}\textrm{C}$ $k^{i}$ ,1<=i<=n。

答案为 $\sum_{1}^{n}$ $(-1)^{i}$ $_{i}^{n}\textrm{C}$ $k^{i}$ ,我们可以化简成（1-k）^n，快速幂求解；

代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<unordered_map>
#include<map>
using namespace std;
#define LL long long
const long long mod =998244353;
const int N = 1e5 + 100;
LL n,k;
LL seek(LL x, LL y)
{
LL e = 1;
while (y)
{
if (y & 1)
e = e * x % mod;
x = x * x %mod;
y = y >> 1;
}
return e;
}
int main()
{
cin >> n >> k;
LL ans = 1;
ans = seek(1-k, n);
cout << (ans % mod + mod) % mod << endl;
return 0;
}