文章目录
- 理解记忆法
- 定义
- 定义
- 推导
- 重点记忆法
- 用途记忆法
- 使用前提
- 做题应用及易错点
- 两种用法
- 出题模式法
- 模型识别
- 谐音记忆法
- 一正二定三相等
- 秒杀方法
理解记忆法
定义
1.算术平均值：设有n个数
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xn，称
x
=
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
n
n
x=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}
x=nx1+x2+...+xn为这n个数的算术平均值
2.几何平均值：设有n个正数
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xn，称
x
1
x
2
.
.
.
x
n
n
\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}
nx1x2...xn为这n个正数的几何平均值
3.基本定理
当
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xn为n个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
n
n
≥
x
1
x
2
.
.
.
x
n
n
\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}≥\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}
nx1+x2+...+xn≥nx1x2...xn
(
x
i
＞
0
，
i
=
1
,
.
.
.
,
n
)
(x_i＞0，i=1,...,n)
(xi＞0，i=1,...,n)，当且仅当
x
1
=
x
2
=
.
.
.
=
x
n
x_1=x_2=...=x_n
x1=x2=...=xn时，等号成立。
说明：平均值定理的本质是研究“和”与“积”的大小关系，即
和
n
≥
积
n
\frac{和}{n}≥\sqrt[n]{积}
n和≥n积
4.最值应用
（1）当乘积为定值时，和有最小值：
和
≥
n
积
n
{和}≥n\sqrt[n]{积}
和≥nn积
（2）当和为定值时，乘积有最大值：
积
≤
(
和
n
)
n
积≤(\frac{和}{n})^n
积≤(n和)n
平均值定理求最值：先验证给定函数是否满足最值三条件：①各项均为正；②乘积（或者和）为定值；③等号能否取到；然后利用平均值公式求出最值。可总结为口诀“一正二定三相等”。
5.特殊情况
当n=2时，
a
+
b
≥
2
a
b
(
a
,
b
＞
0
)
a+b≥2\sqrt{ab}(a,b＞0)
a+b≥2ab(a,b＞0)；尤其
a
+
1
a
≥
2
（
a
＞
0
）
a+\frac{1}{a}≥2（a＞0）
a+a1≥2（a＞0）即对于正数而言，互为倒数的两个数之和不小于2，且当a=1时取得最小值2。
定义
对于任意实数a，b，有
a
2
+
b
2
≥
2
a
b
a^2+b^2≥2ab
a2+b2≥2ab，即
a
2
+
b
2
2
≥
a
b
\frac{a^2+b^2}{2}≥ab
2a2+b2≥ab，当且仅当
a
=
b
a=b
a=b时等号成立。
特别地，如果
a
＞
0
，
b
＞
0
a＞0，b＞0
a＞0，b＞0，可得
a
+
b
≥
2
a
b
a+b≥2\sqrt{ab}
a+b≥2ab，即
a
+
b
2
≥
a
b
\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}
2a+b≥ab。（均值不等式），当且仅当a=b时等号成立。
（1）当
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xn为n个正实数时，
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
n
n
≥
x
1
x
2
.
.
.
x
n
n
(
x
i
＞
0
，
i
=
1
,
.
.
.
,
n
)
\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}≥\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}(x_i＞0，i=1,...,n)
nx1+x2+...+xn≥nx1x2...xn(xi＞0，i=1,...,n)，当且仅当
x
1
=
x
2
=
.
.
.
=
x
n
时，等号成立。
x_1=x_2=...=x_n时，等号成立。
x1=x2=...=xn时，等号成立。
（2）
a
+
b
≥
2
a
b
，
a
b
≤
(
a
+
b
)
2
4
（
a
,
b
＞
0
）
a+b≥2\sqrt{ab}，ab≤\frac{(a+b)^2}{4}（a,b＞0）
a+b≥2ab，ab≤4(a+b)2（a,b＞0）
（3）
a
+
1
a
≥
2
（
a
＞
0
）
a+\frac{1}{a}≥2（a＞0）
a+a1≥2（a＞0）
推导
均值不等式是由完全平方公式推导而来的
∵
(
a
−
b
)
2
≥
0
(a-b)^2≥0
(a−b)2≥0
∴
a
2
−
2
a
b
+
b
2
≥
0
a^2-2ab+b^2≥0
a2−2ab+b2≥0
∴
a
2
+
b
2
≥
2
a
b
a^2+b^2≥2ab
a2+b2≥2ab，这就是均值不等式了
∴ 当且仅当
a
=
b
a=b
a=b时等号成立
注意：a，b可以是数字，可以代数式，如单项式、多项式；整式、分式、指数式、对数式、三角式等等。如：
x
+
2
x
(
x
＞
0
)
，
2
x
+
x
2
(
x
＞
0
)
，
2
x
+
2
y
≥
2
2
x
+
y
，
l
o
g
a
b
+
l
o
g
b
a
(
l
o
g
a
b
＞
0
)
，
s
i
n
x
+
2
s
i
n
x
(
s
i
n
x
＞
0
)
x+\frac{2}{x}(x＞0)，\frac{2}{x}+\frac{x}{2}(x＞0)，2^x+2^y≥2\sqrt{2^{x+y}}，log^b_a+log^a_b(log^b_a＞0)，sinx+\frac{2}{sinx}(sinx＞0)
x+x2(x＞0)，x2+2x(x＞0)，2x+2y≥22x+y，logab+logba(logab＞0)，sinx+sinx2(sinx＞0)
重点记忆法
-
完全平方→均值不等式→求最值→前提为“一正二定三相等”→“正”为正数，“定”为定值，“相等”为等号成立→
-
算术平均值大于几何平均值→均值不等式→
-
重要不等式链：若a＞0，b＞0，则
2 1 a + 1 b = 2 a b a + b ≤ a b ≤ a + b 2 ≤ a 2 + b 2 2 \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}≤\sqrt{ab}≤\frac{a+b}{2}≤\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} a1+b12=a+b2ab≤ab≤2a+b≤2a2+b2
当且仅当a=b时等号成立，此不等式链可以扩展到n个数。
【调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数】 -
常用变形
a 2 + b 2 ≥ 2 a b a^2+b^2≥2ab a2+b2≥2ab ⇒ \Rightarrow ⇒ ⇒ \Rightarrow ⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≥ a b + b c + a c a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac a2+b2+c2≥ab+bc+ac
a + b ≥ 2 a b a+b≥2\sqrt{ab} a+b≥2ab ⇒ \Rightarrow ⇒ ⇒ \Rightarrow ⇒ a + b + c ≥ 3 a b c 3 a+b+c≥3\sqrt[3]{abc} a+b+c≥33abc
( a + b 2 ) 2 ≥ a b (\frac{a+b}{2})^2≥ab (2a+b)2≥ab ⇒ \Rightarrow ⇒ ⇒ \Rightarrow ⇒ ( a + b + c 2 ) 3 ≥ a b c (\frac{a+b+c}{2})^3≥abc (2a+b+c)3≥abc
用途记忆法
均值不等式的两个作用：求最值、证明不等式。
使用前提
利用均值不等式前一定要验证三要素“一正二定三相等”。
均值不等式的使用前提条件： 正、定、等同时成立。均值不等式中还有一个需要注意的地方： a , b ∈ R a,b\in{R} a,b∈R
利用均值不等式求最值时要注意“一正二定三相等”：
① 一正（使用均值不等式的前提）：
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xn为正实数；
② 二定（使用均值不等式的目标）：和为定值或积为定值时才有最值；
③ 三相等（取到最值时的条件）：当且仅当
x
1
=
x
2
=
.
.
.
=
x
n
x_1=x_2=...=x_n
x1=x2=...=xn时，等号成立。
做题应用及易错点
1.最值口诀
当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，
当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，
正所谓“积定和最小，和定积最大”。
2.最值条件
求最值的条件“一正，二定，三等”。
先验证给定函数是否满足最值三条件：
（1）各项均为正，（2）乘积（或者和）为定值，（3）等号能否取到；然后利用平均值公式求出最值。
3.应用
均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用。
两种用法
一、是直接使用，形如：
x
+
k
x
(
k
＞
0
)
x+\frac{k}{x}(k＞0)
x+xk(k＞0)
二、变形后再使用，有好几种，这也是难点所在
1. 负化正
2. 拆添项
3. 凑系数
4. 限定条件下的最值(常数代换，乘常数再除常数），如已知
2
a
+
3
b
=
2
，
a
>
0
，
b
>
0
2a+3b=2，a>0，b>0
2a+3b=2，a>0，b>0，求
3
a
+
2
b
\frac{3}{a}+\frac{2}{b}
a3+b2的最小值。
5. 构造
a
x
+
b
x
ax+\frac{b}{x}
ax+xb型，（此处应该联系分离常数方法，和化为部分分式的变形技巧以及对勾函数或叫耐克函数），形如
a
x
2
+
b
x
+
c
d
x
+
e
(
a
,
b
,
c
,
d
,
e
为常数
)
\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}(a,b,c,d,e为常数)
dx+eax2+bx+c(a,b,c,d,e为常数)通过“配凑法”或“代换法”转为
a
x
+
b
x
ax+\frac{b}{x}
ax+xb型（分子上使用均值不等式）；形如
d
x
+
e
a
x
2
+
b
x
+
c
(
a
,
b
,
c
,
d
,
e
为常数
)
\frac{dx+e}{ax^2+bx+c}(a,b,c,d,e为常数)
ax2+bx+cdx+e(a,b,c,d,e为常数)通过“配凑法”或“代换法”转为
1
a
x
+
b
x
\frac{1}{ax+{\frac{b}{x}}}
ax+xb1型（分母上使用均值不等式）
6. 均值不等式失效时，需要用到对勾函数的单调性。
出题模式法
1.题目明确告诉参数为正值。
2.题目中明确对于正数某某某，然后给出一个恒等式。
3.对于在几何题目或者应用题题目中一些常见的（例如边长，速度，时间）等这些默认为正值的，最后出现了让我们求最值时，就要考虑到用均值不等式的思路。
总结：均值不等式凑二定的方法
A.凑和为定值（出题形式：以整式求最值出现）
B.凑积为定值（出题形式：以分式求最值形式出现）
固定思路：均分（为了满足三相等）
C.乘“1”法（出题形式，以整式+分式求最值形式出现）。如果不是1，将其化为1即可。
模型识别
（1）已知几个字母的和或积的值，求另外一个代数式的最值。
（2）类似对勾函数的问题。
谐音记忆法
一正二定三相等
设
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xn为正实数，则这n个数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即
x
1
+
x
2
+
x
3
+
.
.
.
+
x
n
n
≥
x
1
⋅
x
2
⋅
x
3
⋅
.
.
.
⋅
x
n
n
\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n}≥\sqrt[n]{x_1·x_2·x_3·...·x_n}
nx1+x2+x3+...+xn≥nx1⋅x2⋅x3⋅...⋅xn，当且仅当
x
1
=
x
2
=
x
3
=
.
.
.
=
x
n
x_1=x_2=x_3=...=x_n
x1=x2=x3=...=xn时，等号成立。
利用均值不等式求最值时要注意“一正二定三相等”：
① 一正（使用均值不等式的前提）：
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xn为正实数；
② 二定（使用均值不等式的目标）：和为定值或积为定值时才有最值；
③ 三相等（取到最值时的条件）：当且仅当
x
1
=
x
2
=
.
.
.
=
x
n
x_1=x_2=...=x_n
x1=x2=...=xn时，等号成立。
一正二定三相等”→“正”为正数，“定”为定值，“相等”为等号成立
秒杀方法
- 直接取等法
均值不等式的解题口诀为“一正二定三相等"。“三相等”的意思是均值不等式等号成立的条件为不等式中的几个对象相等，故有些题可直接取等，得出结果。 - 特殊值法
遇到题干中全是字母的不等式问题，无论是不是考查均值不等式，往往都可以使用特殊值法求解。 - 对勾化
对勾化考法有以下两种形式：
（1）已知 a x + b y = c ax+by=c ax+by=c，求 m x + n y \frac{m}{x}+\frac{n}{y} xm+yn的最小值（a，b，m，n均为正数）；
（2）已知 a x + b y = c \frac{a}{x}+\frac{b}{y}=c xa+yb=c，求 m x + n y mx+ny mx+ny的最小值。
这两种考法的最小值都为 1 c ( m a + n b ) 2 \frac{1}{c}(\sqrt{ma}+\sqrt{nb})^2 c1(ma+nb)2。
【注意】根号里面分别为：与x相关的系数相乘，与y相关的系数相乘。
https://www.cnblogs.com/xuebajunlutiji/p/6082618.html
https://zhuanlan.zhihu.com/p/79542569
