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题目：

示例：

分析：

代码：

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题目：

示例：

分析：

题目给我们三种操作方式，插入一个字符，删除一个字符，替换一个字符。

问我们最少操作几次可以把字符串1变成字符串2。

那么同样是两个字符串的动态规划，我们可以参考一下前两题最长公共子序列的dp数组。

dp[ i ][ j ]表示为当字符串1的长度为 i ,字符串2的长度为 j 时，所需的最小操作次数。

那么确定了dp数组的含义之后，我们需要找到递推公式。

首先如果字符串1的第 i 个字符等于字符串2的第 j 个字符，那么它们的最小操作次数就应该等于dp[ i - 1 ][ j - 1]，也就是不用操作。

那么重点是如果字符不一样呢。

题目给了我们三种操作方法，我们应该怎么在代码里体现出来呢。

假设两个字符不一样，我用的是删除操作，那么就等于是让字符串1的长度少了一节，也就是说操作次数应该是dp[ i - 1 ][ j ] + 1 。

如果用的是插入操作，那么就等于是字符串1的长度多了一节，但是我们没法在dp数组里体现出来，那我们换一个思路，我对字符串1进行插入操作，是不是就等于是我跳过了比较字符串2的第 j 个字符。那么最小操作次数就是dp[ i ][ j - 1 ] + 1 。

最后就是替换操作，替换操作可以看成是先删除再插入，所以可以写成是dp[ i - 1][ j + 1 ] + 1 。

至此我们就找到了递归公式：

 最后就剩一个初始化，由于递推公式里需要对 i 和 j 进行 -1 的操作，所以 i 和 j 都至少需要1。

因此我们需要初始化 i=0 和 j = 0的情况。

这两种情况分别是字符串1的长度为0以及字符串2的长度为0的情况。

字符串1的长度为0时，最小操作次数就是字符串2的长度，因为只有对字符串1执行那么多次的插入操作才可以使得他们相同。字符串2的长度为0时也是一样的，只能对字符串1执行那么多次的删除操作。

最后返回dp数组的最后一个元素即可。

代码：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int n=word1.size();int m=word2.size();
        vector<vector<int>>dp(n+1,vector<int>(m+1));
        for(int i=1;i<n+1;i++) dp[i][0]=i;
        for(int i=1;i<m+1;i++) dp[0][i]=i;
        for(int i=1;i<n+1;i++){
            for(int j=1;j<m+1;j++){
                if(word1[i-1]==word2[j-1]){ //字符相同则保持之前的最少操作数
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
                }else{//字符不同则操作
                    //dp[i-1][j]+1为插入操作 
                    //dp[i-1][j-1]+1为替换操作
                    //dp[i][j-1]+1为删除操作
                    //挑一个操作数最小的作为dp[i][j]
                    dp[i][j]=min({dp[i-1][j],dp[i-1][j-1],dp[i][j-1]})+1;
                }
            }
        }
        return dp[n][m];
    }
};