acwing215.破译密码题解(容斥原理+mobius函数)

news2025/1/13 14:06:55

达达正在破解一段密码,他需要回答很多类似的问题:

对于给定的整数 a,b 和 d,有多少正整数对 x,y,满足 x≤a,y≤b,并且 gcd(x,y)=d.

作为达达的同学,达达希望得到你的帮助。

输入格式

第一行包含一个正整数 n,表示一共有 n 组询问。

接下来 n 行,每行表示一个询问,每行三个正整数,分别为 a,b,d。

输出格式

对于每组询问,输出一个正整数,表示满足条件的整数对数。

数据范围

1≤n≤50000,
1≤d≤a,b≤50000

输入样例:
2
4 5 2
6 4 3
输出样例:
3
2

提示:gcd(x,y) 返回 x,y的最大公约数。

思路:

分析一下复杂度,每次最多o(n^{1/2});

首先我们先将gcd(x,y)=d转化为gcd(x/d,y/d)=1(让a,b各处以d);

gcd(x/d,y/d)=1说明两个数互质,根据容斥原理我们可设pi为含能除第i个质因子的被除数的个数。

答案即为:a*b-\sum_{1}^{min(a,b)}(a/i)*(b/i)*mibuis[i]

时间复杂度为o(n)。我们可以发现a/i最多有2*a^{1/2}个取值。

从1-a^{1/2}a^{1/2}个取值,a^{1/2}-a值域有a^{1/2}个取值方式;

对于每段从i开始,其上界j=k/(k/i)(维持k/i不变最大范围i-j)。

计算\sum_{1}^{n}[k/i]*i时间复杂度降到n^{1/2}级别。

sum[i]为mibuis函数前缀和。

对于每一段:sum[j]-sum[i-1]为(a/i)*(b/i)的系数和。

可以看看我的另一篇:求∑(1,n)⌊k/i⌋∗i-CSDN博客

mibuis【i】函数:当i含有两个相同的质因子,mibuis【i】=0。i含有偶数个不同的质因子,mibuis【i】=1,i含有奇数个不同的质因子,mibuis【i】=1;

代码:

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>
using namespace std;
#define LL  long long
const int N = 5e4 + 100;
const long long  mod = 1e9 + 7;
#define  rep(i,a,b) for (int i = a; i <= b; i++) 
#define per(i, a, b) for(int  i=a;i>=b;i--)
int  mobuis[N], v[N],sum[N];
void getmobuis()
{
    rep(i, 1, N) mobuis[i] = 1;
    mobuis[1]=v[1] = 1;
    rep(i, 2, N)
    {
        if (v[i]) continue;
        mobuis[i] = -1;
        for (int j = 2 * i; j <= N; j += i)
        {
            if ((j / i) % i == 0) mobuis[j] = 0;
            else
                mobuis[j] *= -1;
            v[j] = 1;
        }

    }
}
int main()
{
    getmobuis();
    rep(i, 1, N) sum[i] += sum[i - 1] + mobuis[i];
    int n,a, b,d;
    cin >> n;
    while (n--)
    {
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &d);
        LL cnt = 0;
        int j = 1;
        a = a / d;
        b = b / d;
        int x = min(a, b);
        for (int i = 1; i <=x; i = j + 1)
        {
            j = min(x, min(a / (a / i), b / (b / i)));
            cnt += (sum[j] - sum[i - 1]) * (LL)(a / i) * (b / i);
        }
        printf("%lld\n", cnt);
    }
    return 0;
}

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.coloradmin.cn/o/1058039.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

相关文章

H5生成二维码

H5生成二维码&#xff1a; 1.引入js库&#xff0c;可自行点击链接复制使用 <script type"text/javascript" src"http://static.runoob.com/assets/qrcode/qrcode.min.js"></script>2.加入二维码占位区HTML <div id"qrCode">…

初识Java 12-2 流

目录 中间操作 跟踪与调试 对流元素进行排序 移除元素 将函数应用于每个流元素 在应用map()期间组合流 Optional类型 便捷函数 创建Optional Optional对象上的操作 由Optional组成的流 本笔记参考自&#xff1a; 《On Java 中文版》 中间操作 ||| 中间操作&#xf…

Linux嵌入式学习之Ubuntu入门(六)shell脚本详解

系列文章内容 Linux嵌入式学习之Ubuntu入门&#xff08;一&#xff09;基本命令、软件安装、文件结构、编辑器介绍 Linux嵌入式学习之Ubuntu入门&#xff08;二&#xff09;磁盘文件介绍及分区、格式化等 Linux嵌入式学习之Ubuntu入门&#xff08;三&#xff09;用户、用户组…

从0手写两轮差速机器人urdf模型

文章目录 前言一、基本理论二、实现步骤1.创建一个机器人建模功能包2.使用圆柱体创建一个车体模型2.同理创建机器人其它构件3.机器人模型添加传感器 前言 最近为找到与自己课题应用场景相适应的机器人结构&#xff0c;对机器人建模方面的内容进行了了解和学习&#xff0c;计划…

博途SCL区间搜索指令(判断某个数属于某个区间)

S型速度曲线行车位置控制,停靠位置搜索功能会用到区间搜索指令,下面我们详细介绍区间搜索指令的相关应用。 S型加减速行车位置控制(支持点动和停车位置搜索)-CSDN博客S型加减速位置控制详细算法和应用场景介绍,请查看下面文章博客。本篇文章不再赘述,这里主要介绍点动动和…

【nginx】Nginx配置:

文章目录 一、什么是Nginx&#xff1a;二、为什么使用Nginx&#xff1a;三、如何处理请求&#xff1a;四、什么是正向代理和反向代理&#xff1a;五、nginx 启动和关闭&#xff1a;六、目录结构&#xff1a;七、配置文件nginx.conf&#xff1a;八、location&#xff1a;九、单页…

嵌入式C 语言函数宏封装妙招

1. 函数宏介绍 函数宏&#xff0c;即包含多条语句的宏定义&#xff0c;其通常为某一被频繁调用的功能的语句封装&#xff0c;且不想通过函数方式封装来降低额外的弹栈压栈开销。 函数宏本质上为宏&#xff0c;可以直接进行定义&#xff0c;例如&#xff1a; #define INT_SWA…

Spring的注解开发-注解方式整合MyBatis代码实现

之前使用xml方式整合了MyBatis&#xff0c;文章导航&#xff1a;Spring整合第三方框架-MyBatis整合Spring实现-CSDN博客 现在使用注解的方式无非是就是将xml标签替换为注解&#xff0c;将xml配置文件替换为配置类而已。 非自定义配置类 package com.example.Configure;import c…

嵌入式系统中如何正确使用动态内存?

​ 大家好&#xff0c;今天给大家分享一下&#xff0c;动态内存的使用方法 一&#xff0e; 常见错误与预防 1. 分配后忘记释放内存 void func(void) {p malloc(len);do_something(p);return; /*错误&#xff01;退出程序时没有释放内存*/ }预防&#xff1a; 编写代码…

DevExpress ChartControl 画间断线

效果如下&#xff1a; 解决办法&#xff1a;数据源间断位置加入double.NaN demo下载

Linux 下如何调试代码

debug 和 release 在Linux下的默认模式是什么&#xff1f; 是release模式 那你怎么证明他就是release版本? 我们知道如果一个程序可以被调试&#xff0c;那么它一定是debug版本&#xff0c;如果它是release版本&#xff0c;它是没法被调试的&#xff0c;所以说我们可以来调试一…

基于SpringBoot+MyBatis实现的个人博客系统(一)

这篇主要讲解一下如何基于SpringBoot和MyBatis技术实现一个简易的博客系统(前端页面主要是利用CSS,HTML进行布局书写),前端的静态页面代码可以直接复制粘贴,后端的接口以及前端发送的Ajax请求需要自己书写. 博客系统需要完成的接口: 注册登录博客列表页展示博客详情页展示发布博…

【重拾C语言】二、顺序程序设计(基本符号、数据、语句、表达式、顺序控制结构、数据类型、输入/输出操作)

目录 前言 二、顺序程序设计 2.1 求绿化带面积——简单程序 2.2基本符号&#xff1a; 2.2.1 字符集 可视字符 不可视字符 2.2.2 C特定符 关键字 分隔符 运算符 2.2.3 标识符 2.2.4 间隔符 2.2.5 注释 2.3 数据 2.3.1 字面常量&#xff08;Literal Constants&am…

Flutter+SpringBoot实现ChatGPT流实输出

FlutterSpringBoot实现ChatGPT流式输出、上下文了连续对话 最终实现Flutter的流式输出上下文连续对话。 这里就是提供一个简单版的工具类和使用案例&#xff0c;此处页面仅参考。 服务端 这里直接封装提供工具类&#xff0c;修改自己的apiKey即可使用&#xff0c;支持连续…

FOC程序cubemx配置-ADC配置

具体配置步骤大家参考&#xff1a;这篇文章 我配置后用keil5自带的仿真工具查看引脚波形&#xff0c;在这里写一下遇到的问题。 1、波形仿真的时候出现 Unknown Signal&#xff1a;参考 这篇文章 2、生成的波形并不完全互补。 PS&#xff1a;出现以上这种情况时&#xff0…

【斗罗大陆2】动画新增12集备案,冰碧帝皇蝎形象被吐槽遭狂喷!

Hello,小伙伴们&#xff0c;我是小郑继续为大家深度解析斗罗大陆2绝世唐门。 《斗罗大陆2》动画新增12集备案 《斗罗大陆2》动画正在如火如荼的上映着&#xff0c;《斗罗大陆2》动画也在同步新增了。 在2023年9月全国重点网络动画片规划备案通过剧目信息中&#xff0c;《斗罗大…

【计算机网络】高级IO之select

文章目录 1. 什么是IO&#xff1f;什么是高效 IO? 2. IO的五种模型五种IO模型的概念理解同步IO与异步IO整体理解 3. 阻塞IO4. 非阻塞IOsetnonblock函数为什么非阻塞IO会读取错误&#xff1f;对错误码的进一步判断检测数据没有就绪时&#xff0c;返回做一些其他事情完整代码myt…

【算法|动态规划No.8】leetcode面试题 17.16. 按摩师

个人主页&#xff1a;兜里有颗棉花糖 欢迎 点赞&#x1f44d; 收藏✨ 留言✉ 加关注&#x1f493;本文由 兜里有颗棉花糖 原创 收录于专栏【手撕算法系列专栏】【LeetCode】 &#x1f354;本专栏旨在提高自己算法能力的同时&#xff0c;记录一下自己的学习过程&#xff0c;希望…

Python使用词云图展示

网上看到一个txt文本信息&#xff0c;共2351条饭否记录&#xff0c;据说是微信之父每天发的饭否记录&#xff0c;其实我不知道什么是饭否。我读取这个文本内容&#xff0c;展示到词语图上。之前也使用过&#xff0c;但是好久没有玩Python了&#xff0c;称假期空闲&#xff0c;练…

【从入门到起飞】IO高级流(1)(缓冲流,转换流,序列化流,反序列化流)

&#x1f38a;专栏【JavaSE】 &#x1f354;喜欢的诗句&#xff1a;天行健&#xff0c;君子以自强不息。 &#x1f386;音乐分享【如愿】 &#x1f384;欢迎并且感谢大家指出小吉的问题&#x1f970; 文章目录 &#x1f384;缓冲流&#x1f354;字节缓冲流&#x1f6f8;一次读取…