达达正在破解一段密码,他需要回答很多类似的问题:
对于给定的整数 a,b 和 d,有多少正整数对 x,y,满足 x≤a,y≤b,并且 gcd(x,y)=d.
作为达达的同学,达达希望得到你的帮助。
输入格式
第一行包含一个正整数 n,表示一共有 n 组询问。
接下来 n 行,每行表示一个询问,每行三个正整数,分别为 a,b,d。
输出格式
对于每组询问,输出一个正整数,表示满足条件的整数对数。
数据范围
1≤n≤50000,
1≤d≤a,b≤50000
输入样例:
2
4 5 2
6 4 3
输出样例:
3
2
提示:gcd(x,y) 返回 x,y的最大公约数。
思路:
分析一下复杂度,每次最多o();
首先我们先将gcd(x,y)=d转化为gcd(x/d,y/d)=1(让a,b各处以d);
gcd(x/d,y/d)=1说明两个数互质,根据容斥原理我们可设pi为含能除第i个质因子的被除数的个数。
答案即为:a*b-。
时间复杂度为o(n)。我们可以发现a/i最多有2*个取值。
从1-有个取值,-a值域有个取值方式;
对于每段从i开始,其上界j=k/(k/i)(维持k/i不变最大范围i-j)。
计算[k/i]*i时间复杂度降到级别。
sum[i]为mibuis函数前缀和。
对于每一段:sum[j]-sum[i-1]为(a/i)*(b/i)的系数和。
可以看看我的另一篇:求∑(1,n)⌊k/i⌋∗i-CSDN博客
mibuis【i】函数:当i含有两个相同的质因子,mibuis【i】=0。i含有偶数个不同的质因子,mibuis【i】=1,i含有奇数个不同的质因子,mibuis【i】=1;
代码:
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 5e4 + 100;
const long long mod = 1e9 + 7;
#define rep(i,a,b) for (int i = a; i <= b; i++)
#define per(i, a, b) for(int i=a;i>=b;i--)
int mobuis[N], v[N],sum[N];
void getmobuis()
{
rep(i, 1, N) mobuis[i] = 1;
mobuis[1]=v[1] = 1;
rep(i, 2, N)
{
if (v[i]) continue;
mobuis[i] = -1;
for (int j = 2 * i; j <= N; j += i)
{
if ((j / i) % i == 0) mobuis[j] = 0;
else
mobuis[j] *= -1;
v[j] = 1;
}
}
}
int main()
{
getmobuis();
rep(i, 1, N) sum[i] += sum[i - 1] + mobuis[i];
int n,a, b,d;
cin >> n;
while (n--)
{
scanf("%d%d%d", &a, &b, &d);
LL cnt = 0;
int j = 1;
a = a / d;
b = b / d;
int x = min(a, b);
for (int i = 1; i <=x; i = j + 1)
{
j = min(x, min(a / (a / i), b / (b / i)));
cnt += (sum[j] - sum[i - 1]) * (LL)(a / i) * (b / i);
}
printf("%lld\n", cnt);
}
return 0;
}