Ⅰ. 并查集原理

在一些应用问题中，需要将 n 个不同的元素划分成一些不相交的集合。开始时，每个元素自成一个单元素集合，然后按一定的规律将归于同一组元素的集合合并。在此过程中要反复用到查询某一个元素归属于那个集合的运算。适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集 (union-findset)。

比如：某公司今年校招全国总共招生10人，西安招4人，成都招3人，武汉招3人，10个人来自不同的学校，起先互不相识，每个学生都是一个独立的小团体，现给这些学生进行编号：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 给以下数组用来存储该小集体，数组中的数字代表：该小集体中具有成员的个数。(负号下文解释)

毕业后，学生们要去公司上班，每个地方的学生自发组织成小分队一起上路，于是：

西安学生小分队s1={0,6,7,8}，成都学生小分队s2={1,4,9}，武汉学生小分 s3={2,3,5} 就相互认识了，10个人形成了三个小团体。假设右三个群主0,1,2担任队长，负责大家的出行。

一趟火车之旅后，每个小分队成员就互相熟悉，称为了一个朋友圈。

从上图可以看出：编号6,7,8同学属于0号小分队，该小分队中有4人(包含队长0)；编号为4和9的同学属于1号小分队，该小分队有3人(包含队长1)，编号为3和5的同学属于2号小分队，该小分队有3个人(包含队长1)。

仔细观察数组中内融化，可以得出以下结论：

1. 数组的下标对应集合中元素的编号

2. 数组中如果为负数，负号代表根，数字代表该集合中元素个数

3. 数组中如果为非负数，代表该元素双亲在数组中的下标

在公司工作一段时间后，西安小分队中8号同学与成都小分队1号同学奇迹般的走到了一起，两个小圈子的学生相互介绍，最后成为了一个小圈子：

现在0集合有7个人，2集合有3个人，总共两个朋友圈。

通过以上例子可知，并查集一般可以解决一下问题：

1. 查找元素属于哪个集合
   沿着数组表示树形关系以上一直找到根(即：树中中元素为负数的位置)

2. 查看两个元素是否属于同一个集合
   沿着数组表示的树形关系往上一直找到树的根，如果根相同表明在同一个集合，否则不在

3. 将两个集合归并成一个集合

   • 将两个集合中的元素合并
   • 将一个集合名称改成另一个集合的名称

4. 集合的个数
   遍历数组，数组中元素为负数的个数即为集合的个数。

Ⅱ. 并查集的实现

其中在合并的时候做了一些小优化：

• 让小集合合并到大集合中去，这样子的话合并后层数不会偏差太多
• 进行 路径压缩，减少层数（使用迭代，用递归容易溢出）
  • 其实原理就是在 FindRoot 的过程中，我们直接将路径上的节点的双亲变成根节点即可~

#pragma once
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;

class UnionFindSet
{
public:
	UnionFindSet(size_t n)
		:_ufs(n, -1)
	{}

	// 将两个集合并起来
	void Union(int x1, int x2)
	{
		// 先找到两个集合的根
		int root1 = FindRoot(x1);
		int root2 = FindRoot(x2);

		// 如果本身就是一个集合，那就不用合并
		if (root1 == root2)
			return;

		// 做一下优化，让小的往大的集合合并
		if (abs(_ufs[root1]) < abs(_ufs[root2]))
			swap(root1, root2);
		
		// 将新的根的值也就是这个集合总个数更新
		_ufs[root1] += _ufs[root2];

		// 将他们链接起来，这里统一把第二个合并到第一个
		_ufs[root2] = root1;
	}

	// 找一个节点的根的值
	int FindRoot(int x)
	{
		int root = x;
		while (_ufs[root] >= 0)
		{
			root = _ufs[root];
		}

		// 进行路径压缩优化
		while (_ufs[x] >= 0)
		{
			// 注意要先用tmp将x的双亲保存下来，再让x的双亲变成根节点
			int tmp = _ufs[x];
			_ufs[x] = root;

			// x不断更新为路径上的双亲，直到遇到根节点
			x = tmp;
		}

		return root;
	}

	// 检测是否在同一个集合
	bool IsInSameSet(int x1, int x2)
	{
		return FindRoot(x1) == FindRoot(x2);
	}

	// 求一共有几个集合
	size_t SetSize(int x)
	{
		size_t n = 0;
		for (size_t i = 0; i < _ufs.size(); ++i)
		{
			if (_ufs[i] < 0)
				n++;
		}
		return n;
	}
private:
	vector<int> _ufs; // 存放节点双亲下标（负数代表根节点）
};