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层次分析法

层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）是一种结构决策的定量方法，主要用于处理复杂问题的决策分析。它将问题分解为目标、准则和方案等不同层次，通过成对比较和计算权重值来实现决策问题的定量分析。

主要步骤

1. 建立层次结构模型：

   • 首先确定决策问题的目标、准则和方案等不同层次，并构建层次结构模型。这个在代码中是没有的，需要提前进行。

2. 成对比较构建判断矩阵：

   • 通过成对比较各准则和方案的相对重要性，构建判断矩阵。
   • 在层次分析法代码示例中，判断矩阵A由用户输入。

3. 计算权重值：

   • 使用特征值方法计算判断矩阵的权重值。
   • 示例代码中，通过求A的最大特征值B和对应的特征向量C来计算权重值Q。

4. 一致性检验：

   • 进行一致性检验来确保判断矩阵的合理性。
   • 代码中，使用一致性指标CI和CR进行检验，如果CR<0.10，判断矩阵通过一致性检验。

5. 结果输出：

   • 输出各向量的权重向量Q，表示每个准则或方案的相对重要性。
   • 如果判断矩阵未通过一致性检验，需要对判断矩阵重新构造。

代码示例 

clc;
clear;
% 判断矩阵A，必须保证判断矩阵是互反的。每个元素 A(i, j) 表示第 i 个指标相对于第 j 个指标的重要性。
A= [1 3 5 5
    1/3 1 3 5
    1/5 1/3 1 3
    1/5 1/5 1/3 1];
[m,n]=size(A);                     %获取指标个数

%RI 是一个随机一致性指数，它是用来进行一致性检验的。每个值 RI(n) 对应于一个n阶判断矩阵的一致性检验的标准值。
% RI 数组中只包含了11个值，这是因为通常情况下，判断矩阵的阶数不会超过11。如果有更多的指标，您可能需要查找或计算相应阶数的 RI 值。
RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51];
R=rank(A);                         %求判断矩阵的秩
[V,D]=eig(A);                      %求判断矩阵的特征值和特征向量，V特征值，D特征向量；
tz=max(D);
B=max(tz);                         %最大特征值
[row, col]=find(D==B);             %最大特征值所在位置
C=V(:,col);                        %对应特征向量
CI=(B-n)/(n-1);                    %计算一致性检验指标CI
CR=CI/RI(1,n);
%代码进行一致性检验来确保判断矩阵的合理性。
%如果一致性检验通过（即 CR < 0.10），则继续计算权重；否则，需要重新构造判断矩阵。
if CR<0.10
    disp('CI=');disp(CI);
    disp('CR=');disp(CR);
    disp('对比矩阵A通过一致性检验，各向量权重向量Q为：');
    Q=zeros(n,1);
    for i=1:n
        Q(i,1)=C(i,1)/sum(C(:,1)); %特征向量标准化
    end
    Q'                              %输出权重向量
else
    disp('对比矩阵A未通过一致性检验，需对对比矩阵A重新构造');
end
sc = Q';

其中，有以下注意事项：

1.判断矩阵A，必须保证判断矩阵是互反的。

2.RI 是一个随机一致性指数，它是用来进行一致性检验的。RI 数组中只包含了11个值，这是因为通常情况下，判断矩阵的阶数不会超过11。如果有更多的指标，可能需要查找或计算相应阶数的 RI 值。

3.数模论文中只要使用到了层次分析法，就必须画层次结构图，无论文章是否需要压缩篇幅，这和层次分析法的使用绑在一起。

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 熵权法

熵权法同样是一种决策分析的方法，用于确定各个决策指标的权重。该方法主要依赖于信息熵的概念。在决策分析中，信息熵用来度量某个决策指标的离散程度。如果一个指标的变化越大（即更离散），那么它应该被赋予更大的权重。熵权法通过计算每个指标的信息熵来确定各个指标的权重。

 主要步骤

 

1. 非负数化和归一化处理:

   • 代码中，首先进行了对原始数据的非负数化和归一化处理（x(:,i)=(x(:,i)-min(x(:,i)))/(max(x(:,i))-min(x(:,i)))+1），使得所有数据值介于1和2之间。

2. 计算概率值:

   • 然后，计算每个数据点在其所在列的比例（p(i,j)=x(i,j)/sum(x(:,j))），这可以被看作是数据点的概率值。

3. 计算信息熵:

   • 接下来，使用计算得到的概率值来计算每列（即每个决策指标）的信息熵（E(j)=-k*sum(e(:,j))）。信息熵被用来度量一个随机变量的不确定性，即决策指标的离散程度。

4. 计算差异系数:

   • 之后，计算每个指标的差异系数（d=1-E）。差异系数用来度量一个指标与其他指标的差异程度。

5. 计算权重:

   • 最后，计算每个决策指标的权重（w(j)=d(j)/sum(d)），这个权重代表了该指标在决策分析中的重要性。

6. 计算综合分数:

   • 使用计算得到的权重来计算每个数据点的综合分数（score(i,1)=sum(x(i,:).*w)）

对于计算综合分数，可能说的比较模糊，作者举个例子，假设我们有以下简化的数据和权重：

x = [
1 2
3 4
] %数据

w = [0.3, 0.7] % 权重

则第一个数据点（也就是行向量[1,2]，在现实生活中可能代表某一个样本，分量值相当于熵权法的指标值，我们就是在求得各指标的权重后通过权重+样本的指标值求得样本的综合分数的）的综合分数计算如下：

score(1)=(1×0.3)+(2×0.7)=1.7score(1)=(1×0.3)+(2×0.7)=1.7

第二个数据点的综合分数计算如下：

score(2)=(3×0.3)+(4×0.7)=3.7score(2)=(3×0.3)+(4×0.7)=3.7

从而得到综合分数数组 score = [1.7, 3.7]。

通过这种方法，可以利用计算出的权重对每个数据点进行评分，从而进行进一步的分析和决策。

代码示例

x = [
2.41	52.59	0	9.78	1.17
1.42	53.21	0	6.31	1.63
4.71	35.16	1	9.17	3.02
14.69	15.16	2.13	10.35	7.97
0.94	72.99	0	7.39	0.61
1.43	72.62	0	8.16	0.51
2.21	67.5	0	9.84	0.85
3.79	51.21	0	12.95	1.43
1.23	85.09	3.97	4.08	0.13
1.71	82.07	2.88	4.97	0.33
3.63	66.9	3.18	8.57	0.71
5.72	49.77	3.44	10.52	1.83
1.49	79.51	6.53	2.58	0.27
1.66	81.44	5.18	2.74	0.36
2.41	76.32	5.88	4.13	0.54
4.42	59.65	7.64	8.38	1.02
3.27	88.42	3.36	2.85	0.14
11.27	70.05	5.77	6.07	0.19
13.18	62.45	5.66	7.85	0.74
15.83	56.28	2.92	9.97	1.14
11.59	80.23	1.04	3.64	0.2
26.67	55.7	2.02	8.13	0.38
28.51	51.07	2.12	9.66	1.46
3.69	87.26	0	3.12	0.18
3.27	84.43	0	5.43	0.31
3.98	79.99	0	6.62	0.57
1.59	86.5	0	6.14	0.14
4.31	82.26	0	4.71	0.2
4.6	72.79	0	8.27	0.52
4.99	81.93	0	7.52	0.16
4.66	75.09	0	10.24	0.33
5.08	61.02	1.57	15.7	0.53
12.49	83.06	0	1.2	1.06
4.67	92.77	0	0.33	0.58
5.8	90.32	0	0.91	0.8
97.76	0	0	0	2.14
94.75	0	0	1.42	2.83
93.76	0	0	1.18	3.24
3.48	81.43	7.45	1.33	0.14
4.2	80	5.3	2.21	0.18
8.83	71.28	5.34	2.9	0.43
5.39	79.6	6.87	2.64	0.31
7.67	74.74	5.91	3.4	0.66
19.65	55.4	4.87	6.14	1.2
2.63	90.74	3.18	1.42	0.14
2.8	89.7	2.85	1.96	0.14
4.07	85.12	3.43	3.52	0.25
5.7	83.4	0	4.48	0.1
4.03	81.35	0	6.18	0.19
4.11	73.45	0	9.71	0.45
2.78	89.53	0	4.23	0.2
3.92	83.2	0	7.59	0.32
5.21	71.37	3.09	10.29	0.72
18.98	76.81	0	1.05	0.31
19.79	73.56	0	0.88	0.42
19.86	70.07	0	1.72	0.74
16.61	67.57	3.77	3.15	1.16
6.91	82.18	4.19	0	0.1
2.93	83.06	1.93	5.14	0.32
8.47	78.11	4.04	4.02	0.31
12.29	70.48	3.89	4.32	0.69
3.98	84.81	4.76	1.97	0.18
7.67	78.13	4.22	4.57	0.35
14.04	66.89	4.41	6.27	0.47
14.62	59.29	5.28	8.35	0.77
1.97	85.16	4.87	3.27	0.23
2.16	86.83	3.82	2.25	0.15
4.81	74.9	5.05	5.97	0.5
7.44	57.98	6.75	10.73	1.04
2.04	86.01	4.79	2.95	0.13
3.49	79.79	5.67	4.28	0.15
6.47	68.02	6.71	5.74	0.2
7.94	59.12	7.14	5.93	1.42
];

[m,n]=size(x);
lamda=ones(1,n); % 人为修权，1代表不修改计算后的指标权重
for i=1:n
    x(:,i)=(x(:,i)-min(x(:,i)))/(max(x(:,i))-min(x(:,i)))+1; % 对原始数据进行非负数化、归一化处理，值介于1-2之间
end
for i=1:m
    for j=1:n
        p(i,j)=x(i,j)/sum(x(:,j));
    end
end
k=1/log(m);
for i=1:m
    for j=1:n
        if p(i,j)~=0
            e(i,j)=p(i,j)*log(p(i,j));
        else
            e(i,j)=0;
        end
    end
end
for j=1:n
    E(j)=-k*sum(e(:,j));
end
d=1-E;
for j=1:n
    w(j)=d(j)/sum(d);% 指标权重计算
end
for j=1:n
    w(j)=w(j)*lamda(j)/sum(w.*lamda);% 修改指标权重
end
for i=1:m
    score(i,1)=sum(x(i,:).*w);% 计算综合分数
    % 一个数据点对应矩阵每一行数据，根据大量的数据点，确定其权重，然后计算每一个数据点的综合得分（数据点本例中对应四个指标值，分别利用权重求得综合得分
end
disp('各指标权重为：')
disp(w) %权重越大，该指标在决策分析中的重要性越高。
disp('各项综合分数为：')
disp(score) %每个数据点的综合分数。综合分数可以被用来进行进一步的分析或决策。
Out = mean (score,1)