leetCode 63.不同路径II 动态规划 + 空间复杂度优化一维dp

news2024/12/27 12:39:37

63. 不同路径 II - 力扣（LeetCode）

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

>>思路

相比这道leetCode 62.不同路径就有了障碍~，其实在有障碍的时候，就是标记对应的dp数组保持初始值(0)即可！！！

>>动规五部曲

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：表示从（0,0）出发，到（i,j）有dp[i][j]条不同的路径

2.确定递推公式

在不是障碍的时候，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
在是障碍的时候，那么（i,j）就保持初始状态（初始状态为0）

if(obstacleGrid[i][j] == 0) { // 当(i,j)没有障碍的时候，再推导dp[i][j]
    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}

3.dp数组初始化

vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));//初始值为0
for(int i = 0;i < m;i++) dp[i][0] = 1;
for(int j = 0;j < n;j++) dp[0][j] = 1;

因为从（0,0）的位置到（i,0）的路径一条，即dp[i][0]一定为1；
因为从（0,0）的位置到（0,j）的路径一条，即dp[0][j]一定为1；

但如果（i,0）这条边有了障碍之后，障碍之后（包括障碍）都是走不到的位置，那障碍之后的dp[i][0]就应是初始值0

vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));//初始值为0
for(int i = 0;i < m && obstacleGrid[i][0] == 0;i++) dp[i][0] = 1;
for(int j = 0;j < n && obstacleGrid[0][j] == 0;j++) dp[0][j] = 1;

注意for循环的终止条件：

① 遇到obstacleGrid[i][0] == 1 则终止dp[i][0]的赋值1的操作
② 遇到obstacleGrid[0][j] == 1 则终止dp[0][j]的赋值1的操作

4.确定遍历顺序

从递推公式dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] 中可以看出，一定是从左到右一层一层遍历，可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1]一定是有数值的

for(int i = 1;i < m;i++) {
    for(int j = 1;j < n;j++) {
        if(obstacleGrid[i][j]  == 1) continue;
        dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
    }
}

5.举例推导dp数组

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.size();
        int n = obstacleGrid[0].size();
        if(obstacleGrid[m-1][n-1] == 1 || obstacleGrid[0][0] == 1) //如果在起点或终点出现了障碍，直接返回0
            return 0;
        vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));
        for(int i=0;i<m && obstacleGrid[i][0] == 0;i++) dp[i][0] = 1;
        for(int j=0;j<n && obstacleGrid[0][j] == 0;j++) dp[0][j] = 1;
        for(int i=1;i<m;i++) {  
            for(int j=1;j<n;j++) {
                if(obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

// 时间复杂度：O(m x n) m、n分别为 obstacleGrid 的宽度和长度
// 空间复杂度：O(m x n)

时间复杂度：O(m x n) m、n分别为 obstacleGrid 的宽度和长度
空间复杂度：O(m x n)

进一步空间优化：

class Solution {
public:

    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        if(obstacleGrid[0][0] == 1) return 0;
        int m = obstacleGrid.size();
        int n = obstacleGrid[0].size();
        vector<int> dp(n);
        for(int j = 0;j < n;j++) {
            if(obstacleGrid[0][j] == 1)
                dp[j] = 0;
            else if(j == 0)
                dp[j] = 1;
            else
                dp[j] = dp[j-1];
        }
        for(int i = 1;i < m;++i) {
            for(int j = 0;j < n;++j) {
                if(obstacleGrid[i][j] == 1) dp[j] = 0;
                else if(j!=0) 
                    dp[j] = dp[j] + dp[j-1];
            }
        }
        return dp.back();
    }
    // 时间复杂度：O(m x n) m、n分别为 obstacleGrid 的宽度和长度
    // 空间复杂度：O(n)
};