一、位图
1.1 位图概念
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面试题
给40亿个不重复的无符号整数，没排过序。给一个无符号整数，如何快速判断一个数是否在这40亿个数中。【腾讯】 -
遍历查找：内存中无法存放40亿个整数（约占内存15-16G）；时间复杂度O(N)；
-
先排序O(NlogN)，再利用二分查找O(logN)：数据太大，只能存放在磁盘文件中，数据读取速度慢。
-
位图
数据是否在给定的集合中，结果是在或者不在，刚好是两种状态，那么可以使用一个二进制比特位来代表数据是否存在的信息，如果二进制比特位为1，代表存在，为0代表不存在。利用位图解决该问题，无符号整数的取值范围是0~2^32，一个位代表一个整数，只需要2^32bit = 512MB内存空间即可。
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位图概念
所谓位图，就是用每一位来存放某种状态，适用于海量数据，数据无重复的场景。通常是用来判断某个数据存不存在的。数据的键值通过直接定址法与位图中的位建立联系。
提示：位图在STL中的实现为bitset，在头文件<bitse>中声明
1.2 位图的实现
关于位运算的相关知识请阅读：
【C语言进阶】位运算 {位运算符；位运算符的优先级；位运算的应用 ：关闭位，判断位，打开位，转置位；位域}
#include <vector>
#include <math.h>
using namespace std;
namespace zty{
template <size_t N>
class bitset{
vector<char> _bt;
size_t _count;
public:
bitset()
:_bt(ceil((double)N/8)), //ceil向上取整
_count(0)
{}
//打开位
void set(size_t x){
if(x>N) return;
size_t i = x/8; //计算在第几个char类型
size_t j = x%8; //计算在char类型的第几位
_bt[i] |= (1<<j);
++_count;
}
//关闭位
void reset(size_t x)
{
if(x>N) return;
size_t i = x/8;
size_t j = x%8;
_bt[i] &= ~(1<<j);
--_count;
}
//判断位
bool test(size_t x)
{
if(x>N) return false;
size_t i = x/8;
size_t j = x%8;
return _bt[i] & (1<<j);
}
//返回bitset中被置为1的比特位数
size_t count(){
return _count;
}
//返回bitset中的比特位总数
size_t size(){
return N;
}
};
}
1.3 位图应用
- 快速查找某个数据是否在一个集合中
- 排序 + 去重
- 求两个集合的交集、并集等
- 操作系统中磁盘块标记
相关面试题
- 给定100亿个整数，设计算法找到只出现一次的整数？
思路：
- 每个整数有3种状态：出现0次；出现1次；出现2次及以上
- 需要两个位图解决
template <size_t N>
class twobitset1{
bitset<N> bs1;
bitset<N> bs2;
public:
void set(size_t x){
if(!bs1.test(x) && !bs2.test(x)) //出现0次(00)-->出现1次(01)
{
bs2.set(x);
}
else if(!bs1.test(x) && bs2.test(x)) //出现1次(01)-->出现2次(10)
{
bs1.set(x);
bs2.reset(x);
}
}
void print_once_num(){
for(size_t i = 0; i<N; ++i)
{
//找到只出现一次的整数(01)
if(!bs1.test(i) && bs2.test(i))
{
cout << i << " ";
}
}
cout << endl;
}
};
void test1(){
int arr[] = {6,99,1,1,2,4,3,5,6,7,1,3,2,4,7,9,8,5,4,3,21,8,9,4,2,3,1,4,3,57};
zty::twobitset1<100> tbs;
for(int e : arr){
tbs.set(e);
}
tbs.print_once_num();
}
-
给两个文件，分别有100亿个整数，我们只有1G内存，如何找到两个文件交集？
思路：每个文件对应一个位图，两位图的对应位都为1就是交集。
template <size_t N> class twobitset2{ bitset<N> bs1; //文件1对应的位图 bitset<N> bs2; //文件2对应的位图 public: void setbs1(size_t x){ bs1.set(x); } void setbs2(size_t x){ bs2.set(x); } void print_intersection_set(){ for(size_t i = 0; i<N; ++i) { //找出两个文件中数据的交集(11) if(bs1.test(i) && bs2.test(i)) { cout << i << " "; } } cout << endl; } }; void test2(){ int file1[] = {6,99,1,1,2,4,3,5,6,7,1,3,2,4,7,9,8,5,4,3,21,8,9,4,2,3,1,4,3,57}; int file2[] = {5,3,1,5,12,23,45,6,78,9,12,13,15,57,3,4,9}; zty::twobitset2<100> tbs; for(int e : file1){ tbs.setbs1(e); } for(int e : file2){ tbs.setbs2(e); } tbs.print_intersection_set(); } -
位图应用变形：1个文件有100亿个int，1G内存，设计算法找到出现次数不超过2次的所有整数
思路：
- 每个整数有4种状态：出现0次；出现1次；出现2次；出现3次及以上
- 需要两个位图解决
template <size_t N>
class twobitset3{
bitset<N> bs1;
bitset<N> bs2;
public:
void set(size_t x){
if(!bs1.test(x) && !bs2.test(x)) //出现0次(00)-->出现1次(01)
{
bs2.set(x);
}
else if(!bs1.test(x) && bs2.test(x)) //出现1次(01)-->出现2次(10)
{
bs1.set(x);
bs2.reset(x);
}
else if(bs1.test(x) && !bs2.test(x)) //出现2次(10)-->出现3次(11)
{
bs2.set(x);
}
}
void print_atmost_twice(){
//找到出现次数不超过2次的所有整数
for(size_t i = 0; i<N; ++i)
{
if(!bs1.test(i) && bs2.test(i)) //出现1次(01)
{
cout << i << " ";
}
else if(bs1.test(i) && !bs2.test(i)) //出现2次(10)
{
cout << i << " ";
}
}
cout << endl;
}
};
void test3(){
int arr[] = {1,1,1,2,2,2,3,4,4,4,4,4,5,5,6};
zty::twobitset3<100> tbs;
for(int e : arr){
tbs.set(e);
}
tbs.print_atmost_twice();
}
二、布隆过滤器
2.1 布隆过滤器概念
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位图一般只能解决整形数据在或不在的问题，如果数据是字符串或者其他类型，可以先将其转换为无符号整型再插入位图。但这样的处理方式存在哈希冲突的概率比较大。
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哈希表需要将数据全部加载到内存中还要开辟额外的指针(链表指针)和数组空间(负载因子)，面对海量数据会占用大量的内存，甚至可能出现内存空间不够用的情况。
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于是诞生了新的容器——布隆过滤器。布隆过滤器是由布隆（Burton Howard Bloom）在1970年提出的 一种紧凑型的、比较巧妙的概率型数据结构，特点是高效地插入和查询，可以用来告诉你 “某样东西一定不存在或者可能存在”，它是用多个哈希函数，将一个数据映射到位图结构中的多个位上，以此来降低哈希冲突的概率。此种方式不仅可以提升查询效率，也可以节省大量的内存空间。
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布隆过滤器虽然可以降低哈希冲突的概率但不可完全避免。因此布隆过滤器可能发生误判：**不存在一定是准确的，但存在则可能发生误判。**误判率可以通过增加哈希函数(映射位数)来进一步降低。理论而言，一个值映射的位越多，误判率越低，但同时空间消耗也就越多
提示：STL没有实现布隆过滤器，如有需要请自行实现。
2.2 布隆过滤器的结构
布隆过滤器的结构实际就是一个位图：
2.2.1 插入
如果我们要映射一个值到布隆过滤器中，我们需要使用多个不同的哈希函数生成**多个哈希值，**并对每个生成的哈希值指向的 bit 位置 1，例如针对值 “baidu” 和三个不同的哈希函数分别生成了哈希值 1、4、7，则上图转变为：
2.2.2 查找
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布隆过滤器的思想是将一个元素用多个哈希函数映射到一个位图中，因此被映射到的位置的比特位一定为1。所以可以按照以下方式进行查找：分别计算每个哈希值对应的比特位置存储的是否为零，只要有一个为零，代表该元素一定不在哈希表中，否则可能在哈希表中。
-
比如：在布隆过滤器中查找：“tencent”
假设3个哈希函数计算的哈希值为：3、4、8，虽然"baidu"和"tencent"两者通过Hash2计算的哈希值(4)相同，造成哈希冲突。但Hash1和Hash3的计算结果不同，只要三个哈希值中有一个位为0就能确定该字符串不存在。
-
再比如：在布隆过滤器中查找：“alibaba”
假设3个哈希函数计算的哈希值为：1、4、7，刚好和"baidu"的比特位全部重叠。此时布隆过滤器返回该元素存在，但实际该元素是不存在的，发生误判。
- 综上所述：布隆过滤器如果说某个元素不存在时，该元素一定不存在，如果该元素存在时，该元素可能存在，因为有些哈希函数存在一定的误判。
2.2.3 删除
布隆过滤器不能直接支持删除工作，原因有二：
-
在删除一个元素时，如果直接将该元素所对应的二进制比特位置0，而该元素恰好与其他元素有重叠的位，就会导致这些重叠元素也被删除。
-
不能确定待删除元素本身是存在于布隆过滤器的，可能会导致误删。
2.3 如何选择哈希函数个数和布隆过滤器长度
很显然，过小的布隆过滤器很快所有的 bit 位均为 1，那么查询任何值都会返回“可能存在”，起不到过滤的目的了。布隆过滤器的长度会直接影响误报率，布隆过滤器越长其误报率越小。
另外，哈希函数的个数也需要权衡，个数越多则布隆过滤器 bit 位置位 1 的速度越快，且布隆过滤器的效率越低；但是如果太少的话，那我们的误报率会变高。
如何选择适合业务的 k 和 m 值呢，这里直接贴一个公式：
例如：当k为3时，m≈4.2n，我们向上取整为5。即布隆过滤器的长度是插入元素个数的5倍。
2.4 布隆过滤器的实现
//三种字符串哈希算法
struct BKDRHash
{
size_t operator()(const string& s)
{
// BKDR
size_t value = 0;
for (auto ch : s)
{
value += ch;
value *= 31;
}
return value;
}
};
struct APHash
{
size_t operator()(const string& s)
{
size_t hash = 0;
for (size_t i = 0; i < s.size(); i++)
{
if ((i & 1) == 0)
{
hash ^= ((hash << 7) ^ s[i] ^ (hash >> 3));
}
else
{
hash ^= (~((hash << 11) ^ s[i] ^ (hash >> 5)));
}
}
return hash;
}
};
struct DJBHash
{
size_t operator()(const string& s)
{
size_t hash = 5381;
for (auto ch : s)
{
hash += (hash << 5) + ch;
}
return hash;
}
};
//布隆过滤器
//N是要插入的元素个数
//布隆过滤器默认处理字符串
template <size_t N, class K = string,
class Hash1 = BKDRHash,
class Hash2 = APHash,
class Hash3 = DJBHash>
class BloomFilter{
std::bitset<N*5> _bs; //当哈希函数的个数为3时，布隆过滤器的长度是插入元素个数的5倍
public:
void set(const K& key){
//将三个哈希函数计算得到映射位置置1
size_t hashi1 = Hash1()(key) % _bs.size(); //_bs.size()-->N*5
_bs.set(hashi1);
size_t hashi2 = Hash2()(key) % _bs.size();
_bs.set(hashi2);
size_t hashi3 = Hash3()(key) % _bs.size();
_bs.set(hashi3);
}
bool test(const K& key){
//只要三个哈希函数计算得到映射位置中有一个位为0就返回false
size_t hashi1 = Hash1()(key) % _bs.size();
if(!_bs.test(hashi1)) return false; //准确的
size_t hashi2 = Hash2()(key) % _bs.size();
if(!_bs.test(hashi2)) return false; //准确的
size_t hashi3 = Hash3()(key) % _bs.size();
if(!_bs.test(hashi3)) return false; //准确的
return true; //可能存在误判
}
};
测试代码：
//简单测试
void TestBloomFilter1()
{
zty::BloomFilter<11> bf;
string arr1[] = { "苹果", "西瓜", "阿里", "美团", "苹果", "字节", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "腾讯" };
for (auto& str : arr1)
{
bf.set(str);
}
for (auto& str : arr1)
{
cout << bf.test(str) << endl;
}
cout << endl << endl;
string arr2[] = { "苹果111", "西瓜", "阿里2222", "美团", "苹果dadcaddxadx", "字节", "西瓜sSSSX", "苹果", "香蕉", "苹果$", "腾讯" };
for (auto& str : arr2)
{
cout <<str<<":"<<bf.test(str) << endl;
}
}
//误判率测试
void TestBloomFilter2()
{
srand(time(0));
const size_t N = 100000;
zty::BloomFilter<N> bf;
cout << "sizeof BloomFilter: " << sizeof(bf) << endl;
std::vector<std::string> v1;
std::string url = "https://www.cnblogs.com/-clq/archive/2012/05/31/2528153.html";
for (size_t i = 0; i < N; ++i)
{
v1.push_back(url + std::to_string(1234 + i));
}
for (auto& str : v1)
{
bf.set(str);
}
//测试相似字符串误判率：
std::vector<std::string> v2;
for (size_t i = 0; i < N; ++i)
{
std::string url = "http://www.cnblogs.com/-clq/archive/2021/05/31/2528153.html";
url += std::to_string(rand() + i);
v2.push_back(url);
}
size_t n2 = 0;
for (auto& str : v2)
{
if (bf.test(str))
{
++n2;
}
}
cout << "相似字符串误判率:" << (double)n2 / (double)N << endl;
//测试不相似字符串误判率：
std::vector<std::string> v3;
for (size_t i = 0; i < N; ++i)
{
string url = "zhihu.com";
url += std::to_string(rand()+i);
v3.push_back(url);
}
size_t n3 = 0;
for (auto& str : v3)
{
if (bf.test(str))
{
++n3;
}
}
cout << "不相似字符串误判率:" << (double)n3 / (double)N << endl;
}
2.5 布隆过滤器的应用
提高查找效率：利用布隆过滤器减少磁盘 IO 或者网络请求，因为一旦一个值必定不存在的话，我们可以不用进行后续昂贵的查询请求。
海量数据处理：
给两个文件，分别有100亿个query(字符串)，我们只有1G内存，如何找到两个文件交集？分别给出精确算法和近似算法
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近似算法：将其中一个文件中的query插入到布隆过滤器中，再在布隆过滤器中遍历查找另一个文件的query。如果找到就是交集。近似算法的问题有：1.可能存在误判 2.没有进行去重
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精确算法：哈希切分
哈希切分：
给一个超过100G大小的log file, log中存着IP地址, 设计算法找到出现次数最多的IP地址？如何找到top K的IP？
拓展：一致性哈希
2.6 布隆过滤器的优缺点
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优点
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插入和查询元素的时间复杂度为:O(K), (K为哈希函数的个数，一般比较小)，与数据量大小无关
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哈希函数相互之间没有关系，方便硬件并行运算
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布隆过滤器不需要存储元素本身，在某些对保密要求比较严格的场合有很大优势
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在能够承受一定的误判时，布隆过滤器相比其他数据结构有很大的空间优势
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数据量很大时，布隆过滤器可以表示全集，其他数据结构不能
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使用同一组散列函数的布隆过滤器可以进行交、并、差运算
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-
缺点
- 有误判率，即存在假阳性(False Position)，即不能准确判断元素在集合中(补救方法：再建立一个白名单，存储可能会误判的数据)
- 不能获取元素本身
- 一般情况下不能从布隆过滤器中删除元素
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