整体

整体要点依赖宫殿记忆

记忆宫殿

学习记忆——宫殿篇——记忆宫殿——记忆桩——单间+客厅+厨房+厕所+书房+院子空间够大，可以将“代数”和“几何”放进去，代数即几何，特别适合放一个空间。

不同的角度或者串联逻辑线，方便加到印象深刻的记忆桩中。知识点串联起来的线，可以使得有逻辑的放置物品，更容易的想起来顺序来。

角度/分类/串联线——从小到大

从三角形的周边的角，边，到中间的“心”，整体的“形状”，“面积”

1. 角：三角关系，内角和定理。
2. 边：三边关系，中线定理，角平分线。
   （1）勾股定理：常见勾股数(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,12,15)
   （2）中线定理：AD为BC边上的中线，$A{B}^2+A{C}^2=2(A{D}^2+B{D}^2)$
   塞瓦定理：
3. 边与角：边角关系，正弦定理，余弦定理。
   （1）正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R_{外}$，$R_{外}=\frac{abc}{4S}$
   （2）余弦定理：$$\{\begin{array}{l}{a}^2=b^2+c^2-2bccosA,\\ b^2=a^2+c^2-2accosB,\\ c^2=a^2+b^2-2abcosC\end{array}$$
   $$\{\begin{array}{l}cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\\ cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\\ cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\end{array}$$
   （3）张角定理：
   （4）边比值：
   等腰直角三角形的三边之比：$1:1：\sqrt{2}$
   内角为$30^o$、$60^o$、$90^o$的直角三角形三边之比为：$1:\sqrt{3}:2$
   等边三角形高与边的比为：$\sqrt{3}:2$
4. 心：四线五心（内心，外心，垂心，重心，中心）
   （1）内心：角平分线的交点，是内切圆的圆心，到三边的距离相等。$一般三角形，S=\frac{r}{2}(a+b+c)，S为面积，r为内切圆半径，a,b,c是三边$；$一般三角形，内切圆半径r=\frac{2S}{a+b+c}$；$直角三角形，内切圆半径r=\frac{a+b-c}{2}$；$直角三角形，内切圆半径r=\frac{\sqrt{3}a}{6}$。
   （2）外心：三边的中垂线的交点，是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等。$S=\frac{abc}{4R}，S为面积，R为外接圆半径$。
   （3）重心：三条中线的交点。重心将三角形分为三个面积相等的三角形，衷心将中线分成$2:1$两段。已知三角形三个顶点的坐标（$x_1$,$y_1$）、($x_2$,$y_2$)、($x_3$,$y_3$)，则重心坐标为($\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$,$\frac{y_1+y_2+y_3}{3}$)
   （4）垂心：三条高的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。
5. 面积：通用公式，特殊公式。/ 多少，最值。/ 定理：求长度定理，求面积定理。/ 五个面积公式。/利用底高，夹角，三边计算面积
   （1）求面积：求面积汇总公式：$S=\frac{1}{2}ah[底高\to 燕尾定理]=\frac{1}{2}absinC[夹角\to 共角定理]=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[三边]=rp[内心]=\frac{abc}{4R}[外心]$，其中，h是a边上的高，∠C是a,b边所夹的角，$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，r为三角形内切圆的半径，R为三角形外接圆的半径。
   （2）面积比：五大模型：等面积模型，鸟头模型/共角模型，相似模型，燕尾模型，风筝模型，蝴蝶模型。
   根据公式推导的原理，可以得出：
   三角形底高面积公式→燕尾定理
   三角形sin夹角面积公式→鸟头定理/共角模型
   相似定理→射影定理，蝴蝶定理
6. 面积与边：五大模型：等面积模型，鸟头模型/共角模型，相似模型，燕尾模型，风筝模型，蝴蝶模型。（有动物的定理都跟“面积比与线段比”有关）
   （1）鸟头定理：两个三角形中有一个角相等或互补，两个三角形称为共角三角形，共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。（触发条件：出现共角或等角的三角形）【分为三大模型：共角模型，对顶角模型，补角模型。】
   （2）燕尾定理：共顶点的两个形如燕尾的三角形面积比等于底边比。（触发条件：三角形内部有一个点与三顶点连线求面积）
   （3）风筝定理：
   （4）蝴蝶定理：
7. 形状：相似，全等。
   等腰直角三角形：三边之比满足$1:1：\sqrt{2}$。
   等边三角形：三个内角相等或者四心合一。
   （1）相似
   ① 相似三角形（相似图形）对应边的比相等（即为相似比）。
   ② 相似三角形（相似图形）的高、中线、角平分线的比也等于相似比。
   ③ 相似三角形（相似图形）的周长比等于相似比。
   ④ 相似三角形（相似图形）的面积比等于相似比的平方。

根据上述提到的“心”，想到是否可以用“身体”这个记忆桩进行记忆https://blog.csdn.net/stqer/article/details/132844351

头发
眼睛
鼻子
嘴巴
脖子
肩膀
前胸→心：五心

肚子
大腿
脚

角度/分类/串联线2——求长度，面积，角度

1. 求长度
   直角三角形求长度，优先勾股定理；
   直角三角形中做高求长度，优先射影定理；
2. 求面积
   （1）单个三角形：三大面积公式：$S=\frac{1}{2}ah[利用底高]=\frac{1}{2}absinC(C是a,b边所夹的角)[利用夹角]=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}(p=\frac{1}{2}(a+b+c))[利用三边]$
   $S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}absinC=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=rp=\frac{abc}{4R}$，其中，h是a边上的高，∠C是a,b边所夹的角，$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，r为三角形内切圆的半径，R为三角形外接圆的半径。
   （2）两个三角形：
   ① 出现共角或等角的三角形，用鸟头模型。
   ② 三角形内部有一个点与三顶点连线求面积，用燕尾模型。
3. 求角度
4. 三角形的四心五线

局部

局部各个知识点，利用多种技巧进行记忆

数字编码

常见勾股数(1,1,$\sqrt{2}$),(1,$\sqrt{3}$,2),(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,12,15)：

3是弓，4是旗，5是钩/手掌，6是勺子，7是镰刀，8是葫芦，9球拍，10是衣领，12是婴儿，13是医生，15是鹦鹉，17是仪器，24盒子，25是二胡。

1,1,$\sqrt{2}$：点两只蜡烛，找一只更好鸭。
1,$\sqrt{3}$,2：
3,4,5：用手掌，拉弓和举旗。
6,8,10：
5,12,13：钩子勾住婴儿的是医生。用手掌勾住婴儿的是医生。
7,24,25：用镰刀打开盒子，里面放着二胡。
8,15,17：
9,12,15：球拍，婴儿，鹦鹉。婴儿用球拍打鹦鹉。

或者

3,4,5：SHW=是华为
6,8,10：GBYD=改变移动

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面积公式：$S=\frac{1}{2}ah[利用底高]=\frac{1}{2}absinC(C是a,b边所夹的角)[利用夹角]=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}(p=\frac{1}{2}(a+b+c))[利用三边]$

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内角为$45^o$、$45^o$、$90^o$/等腰直角三角形的三边之比：$1:1：\sqrt{2}$
内角为$30^o$、$60^o$、$90^o$的直角三角形三边之比为：$1:\sqrt{3}:2$
内角为$60^o$、$60^o$、$60^o$等边三角形高与边的比为：$\sqrt{3}:2$

30森林，45师傅，60榴莲，90酒瓶/精灵，直角z闪电，1蜡烛，根号3根号伞，2鸭子

两个师傅拿着酒瓶进行三边比，（两个人需要）两根蜡烛跟（一只）好鸭。
森林里面有个爱吃榴莲的精灵进行三边比，（一个精灵只需）一个蜡烛，跟（一把）好伞，鸭子。
三颗榴莲高边比，跟一把好伞，鸭子。

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内心：角平分线的交点，是内切圆的圆心，到三边的距离相等。$一般三角形，S=\frac{r}{2}(a+b+c)，S为面积，r为内切圆半径，a,b,c是三边$；$一般三角形，内切圆半径r=\frac{2S}{a+b+c}$；$直角三角形，内切圆半径r=\frac{a+b-c}{2}$；$直角三角形，内切圆半径r=\frac{\sqrt{3}a}{6}$。

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口诀法

五大模型/共角定理、风筝模型、蝴蝶模型

三角形重心：重心连线二比一，面积分成六个一
共角模型：同角补角面积比，结果都是腰积比

射影定理：
影子长乘斜边长，等于直角边平方
斜边两半相互乘，等于斜边高平方

风筝模型：对角相乘面积等

蝴蝶模型：
梯形对角连一连，分成四个小三角
从小到大面积比，底的平方夹乘积

转化图像法

学习记忆——数学篇——转图像记忆法

$S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}absinC=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=rp=\frac{abc}{4R}$，其中，h是a边上的高，∠C是a,b边所夹的角，$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，r为三角形内切圆的半径，R为三角形外接圆的半径。

转换：“$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$”-三边的一半，半周长，拌粥；r-内切圆半径，内切半斤；abc-边长乘积-边长成绩；R-外接半斤。
面积等于内切半斤（肉）拌粥；也等于=变成鸡初一时外接半斤（肉）。

引用：
$S=\frac{1}{2}ah[底高]=\frac{1}{2}absinC[夹角]=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[三边]=rp[内心]=\frac{abc}{4R}[外心]$，其中，h是a边上的高，∠C是a,b边所夹的角，$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，r为三角形内切圆的半径，R为三角形外接圆的半径。
内心：角平分线的交点，是内切圆的圆心，到三边的距离相等。$一般三角形，S=\frac{r}{2}(a+b+c)，S为面积，r为内切圆半径，a,b,c是三边$；
外心：三边的中垂线的交点，是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等。$S=\frac{abc}{4R}，S为面积，R为外接圆半径$。

特点法

常用角度的正弦、余弦、正切值：

2分之：根号1、根号2、根号3

公式推导法：公式推导掌握数学公式

根据公式推导的原理，可以找出：
三角形底高面积公式→燕尾定理
三角形sin夹角面积公式→鸟头定理/共角模型
相似定理→射影定理，蝴蝶定理

射影定理

共角定理

$S=\frac{1}{2}ah[底高]=\frac{1}{2}absinC[夹角]=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[三边]=rp[内心]=\frac{abc}{4R}[外心]$，其中，h是a边上的高，∠C是a,b边所夹的角，$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，r为三角形内切圆的半径，R为三角形外接圆的半径。中的夹角面积公式可推出“共角定理”，“共角”与“夹角”有关，进而跟$S=\frac{1}{2}absinC[夹角]$有关。
可以将“共角定理”也放到“面积汇总公式”中去，如下：

$S=\frac{1}{2}ah[底高]=\frac{1}{2}absinC[夹角\to 共角定理]=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[三边]=rp[内心]=\frac{abc}{4R}[外心]$，其中，h是a边上的高，∠C是a,b边所夹的角，$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，r为三角形内切圆的半径，R为三角形外接圆的半径。

燕尾定理

与面积公式的：$S=\frac{1}{2}ah[底高]$有关系，可以将“燕尾定理”关联到面积公式中，可得：$S=\frac{1}{2}ah[底高\to 燕尾定理]$，通过“底高”可以推出燕尾定理。

蝴蝶定理/模型

任意梯形被对角线分成面积为$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$的四部分，则有$S_1:S_2:S_4:S_3=a^2:ab:ab:b^2$。

由相似定理可推出：蝴蝶定理

三角形的四心，内切圆半径，外接圆半径

汇总法

将同属性的事物放一起记忆，比如汇总同一个知识点的不同记忆技巧，放一起看，选一个你最喜欢的/最让你印象深刻的。

面积公式汇总

面积公式汇总：$S=\frac{1}{2}ah[底高]=\frac{1}{2}absinC[夹角]=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[三边]=rp[内心]=\frac{abc}{4R}[外心]$，其中，h是a边上的高，∠C是a,b边所夹的角，$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，r为三角形内切圆的半径，R为三角形外接圆的半径。

定理模型汇总/图形结合法

平面几何五大模型

1. 等面积模型：两个三角形高之比为$h_1:h_2$，底之比为$a_1:a_2$，面积之比为$S_1:S_2=a_1{h}_1:a_2{h}_2$
2. 共角模型：$S_{△ABC}:S_{△ADE}=(AB\cdot AC):(AD\cdot AE)$
3. 相似模型：
4. 燕尾模型：
   $S_{△AOB}:S_{△AOC}=BD:DC$
   $S_{△AOB}:S_{△COB}=AE:CE$
   $S_{△BOC}:S_{△AOC}=BF:AF$
   
5. 风筝模型：$S_1:S_4=S_2:S_3$，$S_1:S_4=S_2:S_3$
   
6. 蝴蝶模型：任意梯形被对角线分成面积为$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$的四部分，则有$S_1:S_2:S_4:S_3=a^2:ab:ab:b^2$。

鸟头定理/共角模型记忆汇总

1. 图形结合法：$S_{△ABC}:S_{△ADE}=(AB\cdot AC):(AD\cdot AE)$

2. 公式推导法：
   夹角面积公式$S=\frac{1}{2}absinC[夹角]$可推出“共角定理”，“共角”与“夹角”有关，可以将“共角定理”也放到“面积汇总公式”中去，如下：
   $S=\frac{1}{2}ah[底高]=\frac{1}{2}absinC[夹角\to 共角定理]$

3. 口诀法：
   共角模型：同角补角面积比，结果都是腰积比

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