【算法训练-二叉树五】【最近公共祖先】二叉树的最近公共祖先

news2025/1/12 18:43:16

废话不多说，喊一句号子鼓励自己：程序员永不失业，程序员走向架构！本篇Blog的主题是【二叉树的节点查找】，使用【二叉树】这个基本的数据结构来实现，这个高频题的站点是：CodeTop，筛选条件为：目标公司+最近一年+出现频率排序，由高到低的去牛客TOP101去找，只有两个地方都出现过才做这道题（CodeTop本身汇聚了LeetCode的来源），确保刷的题都是高频要面试考的题。

名曲目标题后，附上题目链接，后期可以依据解题思路反复快速练习，题目按照题干的基本数据结构分类，且每个分类的第一篇必定是对基础数据结构的介绍。

二叉树的最近公共祖先【MID】

最近公共祖先（Lowest Common Ancestor, LCA）是指在一个二叉树中，两个节点p和q的最低公共祖先节点，即深度最深且同时是p和q的祖先的节点，同时节点本身也可以为其最近公共祖先

题干

在这里插入图片描述

解题思路

根据以上定义，若 root 是 p,q的最近公共祖先 ，则只可能为以下情况之一：

p 和 q 在 root 的子树中，且分列 root 的异侧（即分别在左、右子树中）；
p=root ，且 q 在 roo的左或右子树中；
q=root，且 p 在 root的左或右子树中；

在这里插入图片描述

终止条件：当越过叶节点，则直接返回 null；当 root 等于 p,q，则直接返回 root；
递推工作：开启递归左子节点，返回值记为 left；开启递归右子节点，返回值记为 right；
返回值：根据 left和 right，可展开为四种情况；
- 当 left 和 righ同时为空 ：说明一直遍历到叶节点， root 的左 / 右子树中都不包含 p,q ，返回 null；
- 当 left和 right 同时不为空 ：说明 pq 分列在 roo的异侧（分别在左 / 右子树），因此 root为最近公共祖先，返回 root
- 当 left为空，right不为空 ：pq 都不在 root 的左子树中，直接返回 right。具体可分为两种情况：pq 其中一个在 root 的右子树中，此时 right指向 p（假设为 p ）；pq 两节点都在 root的右子树中，此时的 right指向最近公共祖先节点；
- 当 left不为空， right为空 ：与情况 3. 同理

代码实现

给出代码实现基本档案

基本数据结构：二叉树
辅助数据结构：无
算法：递归、DFS
技巧：无

其中数据结构、算法和技巧分别来自：

10 个数据结构：数组、链表、栈、队列、散列表、二叉树、堆、跳表、图、Trie 树
10 个算法：递归、排序、二分查找、搜索、哈希算法、贪心算法、分治算法、回溯算法、动态规划、字符串匹配算法
技巧：双指针、滑动窗口、中心扩散

当然包括但不限于以上

 public TreeNode lowestCommonAncestor (TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if (root == null) {
            return null;
        }
        return dfsFindRoot(root, p, q);
    }

    private TreeNode dfsFindRoot(TreeNode node, TreeNode p, TreeNode q) {
        // 1 递归终止条件：越过叶子节点没找到;root为p或root为q
        if (node == null || node == p || node == q) {
            return node;
        }

        // 2 本级任务：分别在左右子树中寻找节点
        TreeNode left = dfsFindRoot(node.left, p, q);
        TreeNode right = dfsFindRoot(node.right, p, q);

        // 3 本级任务：分别在左右子树中寻找节点
        if (left != null && right != null) {
            //如果两个节点分别存在于左右子树，则当前节点即是最近公共祖先
            return node;
        }
        // 如果两个节点在root的同侧,则返回的节点即为公共节点
        if (right == null && left != null) {
            return left;
        }
        if (right != null && left == null) {
            return right;
        }
        // 如果两个节点左右都没有找到,则返回null
        return null;
    }

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，其中n为二叉树的节点数，遍历整棵二叉树
空间复杂度：O(n)，最坏情况下，二叉树化为链表，递归栈深度最大为n

拓展知识：二叉树的最近公共祖先

最近公共祖先（Lowest Common Ancestor, LCA）是指在一个二叉树中，两个节点p和q的最低公共祖先节点，即深度最深且同时是p和q的祖先的节点。以下是一种基于递归的实现思路，并提供Java的实现代码：

定义

假设有一个二叉树，每个节点包含如下信息：

class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
    TreeNode(int val) {
        this.val = val;
        this.left = null;
        this.right = null;
    }
}

实现思路

从根节点开始遍历二叉树。
对于当前节点，递归地查找其左子树和右子树，看看是否能找到节点p和节点q。
如果左子树中找到了节点p或节点q，或者右子树中找到了节点p或节点q，那么当前节点就是它们的最近公共祖先。
如果左子树和右子树都找到了最近公共祖先，那么当前节点就是它们的最近公共祖先。
最后，返回最近公共祖先。

Java实现代码

public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
    // Base case: 如果当前节点为空或者等于p或q中的任意一个，直接返回当前节点
    if (root == null || root == p || root == q) {
        return root;
    }
    
    // 递归查找左子树和右子树
    TreeNode leftLCA = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
    TreeNode rightLCA = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
    
    // 如果左子树和右子树都找到了最近公共祖先，那么当前节点就是最近公共祖先
    if (leftLCA != null && rightLCA != null) {
        return root;
    }
    
    // 如果只在一侧找到了最近公共祖先，返回那一侧找到的结果
    return (leftLCA != null) ? leftLCA : rightLCA;
}