二分与前缀和

news2024/9/30 11:24:43

目录

🍈前言

❤二分

🌹二分

🌼数的范围

🌼数的三次方根

🌼特殊数字

🌼机器人跳跃问题

🌼四平方和

🌼分巧克力

🌹前缀和

🌼前缀和

🌼子矩阵的和

🌼激光炸弹

🌼K倍区间

🍈前言

❤二分

整数二分模板中，一个比较坑的点，就是C++整数向下取整的机制，考虑到这点，你才能写出AC 100%的代码

关键在于

1，对if ()后面条件的判断 

2，条件判断后，是先 l = mid，还是先 r = mid，如果是 l = mid，上面 mid = (l + r + 1) >> 1

3，纸上画图分析 目标值 和 区间的关系

4，避开下取整的坑，就能防止死循环 或 查找不到目标点

步骤

（1）区间

（2）二段性

（3）分界点 

（整数二分边界：区间只剩1个数）

（实数二分边界：区间长度足够小）

🌹二分

🌼数的范围

789. 数的范围 - AcWing题库

一道整数二分的题 

AC  代码

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int n, q, k;
    cin>>n>>q;
    int a[n + 1];
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin>>a[i];
    
    for (int i = 0; i < q; ++i) {
        cin>>k;
        // 二分左端点
        int l = 0, r = n - 1; // 区间范围
        while (l < r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            if (a[mid] >= k) 
                r = mid;
            else
                l = mid + 1;
        }
        if (a[r] == k) {
            cout<<r<<' '; // 退出循环时 l == r
            // 二分右端点
            l = r, r = n - 1;
            while (l < r) {
                int mid = (l + r + 1) >> 1; // l = mid，考虑到向下取整，mid要先+1
                if (a[mid] <= k)
                    l = mid;
                else
                    r = mid - 1; // 目标值必然在r左边, 不包括r
            }
            cout<<r<<endl; // 退出循环时 l == r
        }
        else
            cout<<"-1 -1"<<endl;
        
    }
    
    return 0;
}

🌼数的三次方根

一道实数二分的题

有单调性一定可以二分，没有单调性也可能可以二分。

（1）确定区间

（2）二段性

（3）边界
（4）注意double以及精度 <1e-8，以便保证6位小数的精度

AC   代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;


int main()
{
    double n;
    cin>>n;
    double l = -50, r = 50; // 50的三次方已经超过10000了, 主要左端点是负数
    while (r - l >= 1e-8) {
        double m = (l + r) / 2;
        if (m*m*m >= n) 
            r = m;
        else
            l = m;
    }
    printf("%.6lf", l);
    
    return 0;
}

🌼特殊数字

P1817 - [NewOJ Week 6] 特殊数字 - New Online Judge (ecustacm.cn)

1，两层for里最好遍历到  < 32，才能AC  100%，遍历到 < 31只能AC  67%

虽然2^30已经满足1e9了，不知道为什么不让过，总之范围大一点安全

2，先排序，再二分（因为二分需要二段性和边界）

3，用二分模板，最后需要分类讨论输入的 x 和数组中元素的大小对比

AC  代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int a[1010], cnt; 

int main()
{
    // 预处理符合题目要求的二进制数字
    for (int i = 0; i < 32; ++i)
        for (int j = i + 1; j < 32; ++j) {
            a[cnt++] = (1 << i) + (1 << j);
        }
    // 先排序再二分
    sort(a, a + cnt);
    int t, x;
    cin>>t;
    while (t--) {
        cin>>x;
        // 二分
        int l = 0, r = cnt - 1; // 数组下标
        while (l < r) {
            int m = (l + r) >> 1;
            if (a[m] >= x)
                r = m;
            else
                l = m + 1;
        } // 退出循环后 l == r
        if (a[l] == x)
            cout<<0<<endl;
        else {
            int ans;
            if (a[l] > x)
                ans = (a[l] - x > x - a[l - 1]) ? x - a[l - 1] : a[l] - x;
            else
                ans = (x - a[l] > a[l + 1] - x) ? a[l + 1] - x : x - a[l];
            cout<<ans<<endl;
        }
    }

    return 0;
}

// 1 2 4 8 16 32
// 3 5 6 9 10 12 17 18 20 24 33 34 36 40 48

🌼机器人跳跃问题

730. 机器人跳跃问题 - AcWing题库

（1）

首先，为了确保二段性，我们用归纳法，可以得到，当初始能量 >= 某个值， 能量继续增大，还是满足条件

可以用二分

（2）

建议画图分析 while(l < r) 循环内部的操作

AC  代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int n, h[100010];

bool check(int x)
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        x = 2*x - h[i];
        if (x < 0) return false;
        if (x >= 1e5) return true; // 这里剪枝很重要，否则会爆long long
    }
    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", &h[i]);
    int l = 0, r = 100000;
    while(l < r) {
        int m = (l + r) >> 1;
        if (check(m)) r = m;
        else l = m + 1;
    }
    printf("%d", l);
    return 0;
}

🌼四平方和

1221. 四平方和 - AcWing题库

（1）每次做题前，先分析时间复杂度，本题  N <= 5e6，因为是平方，每个数最大 2400 

（2）考虑到一般空间复杂度要求 1e9，时间复杂度要求1e8，此处只能枚举2个数

（3）N = a^2 + b^2 + c^2 + d^2，枚举a，b后，d = 根号(N - a^2 - b^2 - c^2)，还有个c需要通过空间换时间得到

（4）具体就是

for       a.......
    for         b......... {
        t = N - a^2 - b^2;
        // 二分: 检查t是否在前面出现过O(logn)
    }

二分前，需要将所有数存在数组中，然后排序

（5）题目中联合主键顺序，即字典序最小

（6）代码中结构体Sum中定义了运算符重载👇

operator< 函数是一个比较运算符，它定义了Sum类型之间的小于关系。当我们使用sort等算法对Sum类型的数组进行排序时，实际上是按照<号运算符的比较结果来确定元素之间的相对位置

字典序最小的解释

（1）由于a从0开始遍历，每一种符合a = 0的可能都会遍历到，所以a是最小的

（2）同理，b从a开始，b一定是第二小的

（3）最后的c, d，定义一个结构体，按 s, c, d优先级的顺序小到大即可

AC  代码

#include<iostream>
#include<algorithm> //sort()
using namespace std;

const int N = 2500000;

struct Sum {
    int s, c, d; // 与预处理传入的一一对应
    bool operator <(const Sum &t)const // 结构体中重载 <
    {
        if (s != t.s) return s < t.s;
        if (c != t.c) return c < t.c;
        return d < t.d;
    }
}Sum[N];

int main()
{
    int n, m = 0;
    cin>>n;
    // 空间换时间，预处理两个数的平方和
    for (int c = 0; c*c <= n; ++c)
        for (int d = c; d*d + c*c <= n; ++d)
            Sum[m++] = {c*c + d*d, c, d}; // 与定义处一一对应
    
    sort(Sum, Sum + m);
    
    // 枚举a, b
    for (int a = 0; a*a <= n; ++a)
        for (int b = a; a*a + b*b <= n; ++b) {
            // 二分: Sum中找c*c + d*d
            int t = n - a*a - b*b;
            int l = 0, r = m - 1; // Sum[]的下标
            while (l < r) {
                int mid = (l + r) >> 1;
                if (Sum[mid].s >= t) r = mid;
                else l = mid + 1;
            } // 退出循环时, l == r
            if (Sum[l].s == t) {
                cout<<a<<" "<<b<<" "<<Sum[l].c<<" "<<Sum[l].d<<endl;
                return 0;
            }
        }
        return 0;
}

🌼分巧克力

1227. 分巧克力 - AcWing题库

AC  代码

#include<iostream>
#include<cstdio> // scanf(), printf()
using namespace std;

const int N = 100005;
int n, k, h[N], w[N];

bool check(int m)
{
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        res += (h[i] / m) * (w[i] / m);
        if (res >= k) return true; // 剪枝
    }
    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &k);
    for (int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d %d", &h[i], &w[i]);
    int l = 0, r = 1e5;
    while (l < r) {
        int m = (l + r + 1) >> 1; // m表示边长
        if (check(m)) // check 表示个数
            l = m;
        else
            r = m - 1;
    }
    printf("%d", l);
    
    return 0;
}

🌹前缀和

🌼前缀和

795. 前缀和 - AcWing题库

AC  代码

#include<iostream>
#include<cstdio> 
using namespace std;

const int N = 100005;

int main()
{
    int n, m, a[N], s[N] = {0};
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &a[i]);
        s[i] += s[i - 1] + a[i];   
    }
    int l, r;
    while (m--) {
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
    }
    return 0;
}

🌼子矩阵的和

796. 子矩阵的和 - AcWing题库

画图，容斥原理

（1）预处理前缀和数组👇

S(i, j) = S(i - 1, j) + S(i, j - 1) - S(i - 1, j - 1) + a(i, j)

（2）利用前缀和数组计算ans

ans = S(x2 , y2) - S(x2, y1 - 1) - S(x1 - 1, y2) + S(x1 - 1, y1 - 1)

（3）为防止越界，下标从 1~n

AC  代码

#include<iostream>
#include<cstdio>

const int N = 1005;

int main()
{
    int n, m, q, a[N][N], s[N][N];
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    // 预处理前缀和数组
    for (int i = 1; i <= n; ++i) 
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            scanf("%d", &a[i][j]);
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
        }
    // 计算结果
    while (q--) {
        int x1, y1, x2, y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
    }
    return 0;
}

🌼激光炸弹

99. 激光炸弹 - AcWing题库

注意目标位置，可以理解为在点上。

在上题容斥原理的基础上，O( (n - R + 1) * (n - R + 1) )，枚举正方形右下角的点。

本题难点在于边界，而不是二维前缀和

再说说空间复杂度👇

5000 * 5000二维数组 int，= 2.5 * 10^7，两个二维数组a[][] 和 s[][] 就是 5 * 10^7

1 int = 4 byte

= 2 * 10^8 byte

1M = 1024 * 1024 byte

所以2个二维开到 2 * 10^8 / 10^6 = 200M > 168M

所以只能开1个 s[][]

tips: 为了防止初始越界，前缀和类型都从1开始

已经得到前缀和矩阵，如何计算ans，参考上题截图👇

AC  代码

有几个坑，详情看注释

#include<iostream>
#include<algorithm> //max()
using namespace std;

const int N = 5010;

int main()
{
    int cnt, R, s[N][N] = {0};
    cin>>cnt>>R;
    R = min(R, 5001); // 防止越界
    
    int x, y, w, n, m;
    
    n = m = R; // 防止 n, m 为0, 无法进入循环
    
    while (cnt--) {
        cin>>x>>y>>w;
        x++, y++; // 坐标1开始
        n = max(n, x), m = max(m, y); // 不越界
        s[x][y] += w;
    }
    // 预处理前缀和数组
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
            
    int ans = 0;
    // 枚举边长R正方形的右下角(i ,j)
    for (int i = R; i <= n; ++i)
        for (int j = R; j <= m; ++j)
            ans = max(ans, s[i][j] - s[i - R][j] - s[i][j - R] + s[i - R][j - R]);
    cout<<ans<<endl;
    
    return 0;
}

🌼K倍区间

1230. K倍区间 - AcWing题库

一维前缀和 + 同余

时间 O(n)

解释下同余👇

cnt[s[i] % k]++;     cnt[i] 统计余数为 i 的前缀和的个数

ans += cnt[i]， 注意ans放前面，因为先出现余数相同的前缀和，才能 +=

同余意味着，( s[j] - s[i] ) % k == 0，满足题意

AC  代码

#include<iostream>
#include<cstdio>

const int N =  100005;
#define LL long long

int main()
{
    LL n, k, s[N] = {0}, cnt[N] = {0}, ans = 0; // LL防止爆int
    scanf("%lld%lld", &n, &k);
    
    // 读入 + 预处理前缀和
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &s[i]);
        s[i] += s[i - 1];
    }
    
    // 同余
    cnt[0] = 1; // 余数0直接加
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        ans += cnt[s[i] % k]; // 先 ans+=
        cnt[s[i] % k]++; // 再cnt[]++
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}

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前文Springboot 实践&#xff08;1&#xff09;至Springboot 实践&#xff08;18&#xff09;&#xff0c;我们分别讲解了springboot数据源配置、swagger-ui测试controller、整合security、整合Oauth2.0、服务注册、路由配置以及配置中心等单例功能开发&#xff0c;实现了各个系…
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Avalonia开发（一）环境搭建

Avalonia开发（一）环境搭建

一、介绍 开源 GitHub&#xff1a;https://github.com/AvaloniaUI/Avalonia/多平台支持&#xff0c;包括Windows、mac OS、Linux、iOS、Android、Samsung Tizen&#xff08;很快支持&#xff09;、WebAssemblyIDE支持&#xff0c;Visual Studio扩展支持&#xff0c;JetBrains …
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NLP技术如何为搜索引擎赋能

NLP技术如何为搜索引擎赋能

目录 1. NLP关键词提取与匹配在搜索引擎中的应用1. 关键词提取例子 2. 关键词匹配例子 Python实现 2. NLP语义搜索在搜索引擎中的应用1. 语义搜索的定义例子 2. 语义搜索的重要性例子 Python/PyTorch实现 3. NLP个性化搜索建议在搜索引擎中的应用1. 个性化搜索建议的定义例子 2…
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学习笔记-接口测试(postman、jmeter)

学习笔记-接口测试(postman、jmeter)

目录 一、什么是接口测试 二、前端和后端 三、get请求和post请求的区别 四、cookie和session 五、接口测试的依据 六、HTTP状态码 七、通用接口用例 八、postman接口测试 九、Jmeter接口测试 一、什么是接口测试 通常做的接口测试指的是系统对外的接口&#xff0c;比…
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【深度学习】 Python 和 NumPy 系列教程（九）：NumPy详解：1、创建数组的n种方式

【深度学习】 Python 和 NumPy 系列教程（九）：NumPy详解：1、创建数组的n种方式

目录 一、前言 二、实验环境 三、NumPy 0. 多维数组对象&#xff08;ndarray&#xff09; a. 多维数组的属性 1. 创建数组 a. 使用numpy.array函数&#xff1a; b. 使用numpy.zeros函数 c. 使用numpy.ones函数 d. 使用numpy.arange函数 e. 使用numpy.linspace函数 …
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旋转链表-双指针思想-LeetCode61

旋转链表-双指针思想-LeetCode61

题目要求&#xff1a;给定链表的头结点&#xff0c;旋转链表&#xff0c;将链表每个节点向右移动K个位置。 示例&#xff1a; 输入&#xff1a;head [1,2,3,4,5], k2 输出&#xff1a;[4,5,1,2,3] 双指针思想&#xff1a; 先用双指针策略找到倒数K的位置&#xff0c;也就是(…
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