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下标和定理
在等比数列中，若 m ＋ n = p + q ( m ， n ， p ， q ∈ N ＋ ) m＋n=p+q(m，n，p，q∈N_＋) m＋n=p+q(m，n，p，q∈N＋)，则 a m ⋅ a n = a p ⋅ a q 。 a_m·a_n=a_p·a_q。 am⋅an=ap⋅aq。
【注意】该性质可以推广到3项或者多项，但是等式两边的项数必须一样。 -
等比中项
若三个非零实数 a ， b ， c a，b，c a，b，c满足 b 2 = a c b^2=ac b2=ac，则称b为a和c的等比中项。
b = 士 a c b=士\sqrt{ac} b=士ac是a，b，c成等比数列的充要条件。
在等比数列{ α n α_n αn}中， a n + 1 2 = a n a n + 2 ( n ∈ N + ) a_{n+1}^2=a_na_{n+2}(n∈N_+) an+12=anan+2(n∈N+) -
连续等长片段和
等比数列{ a n a_n an}的连续等长片段和仍成等比数列，如 S m ， S 2 m − S m ， S 3 m − S 2 m S_m，S_{2m}-S_m，S_{3m}-S_{2m} Sm，S2m−Sm，S3m−S2m仍成等比数列，新公比为 q m q^m qm。 -
无穷等比数列/所有项和
当 n → + ∞ n→+∞ n→+∞，且| q q q|＜1， q ≠ 0 q≠0 q=0时， S = lim n → ∞ a 1 ( 1 − q n ) 1 − q = a 1 1 − q S=\displaystyle \lim_{n \to \infty}{\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}}={\frac{a_1}{1-q}} S=n→∞lim1−qa1(1−qn)=1−qa1
有时候虽然n并没有趋近于正无穷，但只要n足够大，也可以用这个公式进行估算。
【注意】等差数列不存在所有项和。
