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1、灰狼优化算法

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天鹰优化器

Aquila Optimizer（AO），灵感来自Aquila在捕捉猎物过程中的自然界行为。因此，所提出的AO算法的优化过程分为四种方法：用垂直弯腰的高腾空选择搜索空间，用轮廓飞行和短滑翔攻击在发散搜索空间内探索，用低飞行和慢下降攻击在收敛搜索空间内利用，以及用步行和抓取猎物俯冲。为了验证新的优化器为不同优化问题找到最优解的能力，进行了一系列实验。

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提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、第一种搜索方法

Aquila识别猎物区域，并通过垂直弯腰的高飞选择最佳狩猎区域。在这里，天鹰从高飞广泛探索者来确定170°搜索空间的区域，猎物在哪里。图1显示了Aquila高飞垂直弯腰的行为。这种行为在数学上表现为下列等式。

图1：Aquila高飞垂直弯腰的行为
$$X_1(t+1)=X_{best}(t)\times \left(1-\frac{t}{T}\right)+(X_M(t)-X_{best}(t)\ast rand)$$

$$X_M(t)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{X}_i(t),\forall j=1,2,...,Dim$$
其中，$X_1(t+1)$是t的下一次迭代的解，由第一种搜索方法（$X_1$）生成。$X_{best}(t)$是直到第t次迭代的最佳获得解，这反映了猎物的近似位置。这个方程$1-\frac{t}{T}$用于控制通过迭代的扩展搜索（探索）。$X_M(t)$表示在第t次迭代时连接的当前解的位置平均值，$rand\in [0,1]$.

二、第二种搜素方法

$$X_2(t+1)=X_{best}(t)\times Levy(D)+X_R(t)+(y-x)\ast rand,$$
其中$X_2(t+1)$是 $t$ 的下一次迭代的解，由第二种搜索方法$X_2$生成，$D$是维数空间，$Levy(D)$是$levy$飞行分布函数，使用公式计算，$X_R(t)$是第 $t$ 次迭代时在$[1,N]$范围内取的随机解.
$$Levy(D)=s\times \frac{u\times \sigma }{|v{|}^{\frac{1}{\beta }}}$$
其中s是固定为0.01的常量值，$u$和 $v$ 是$0$到1之间的随机数，$\sigma$ 使用下列等式计算:
$$\sigma =\frac{\Gamma (1+\beta )\times \sin \left(\frac{\pi \beta }{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{1+\beta }{2}\right)\times \beta \times 2^{\frac{\beta -1}{2}}}$$
其中β是固定为1.5的常数值.
$$\begin{array}{c}r=r_1+U\times D_1\\ \\ \theta =-\omega \times D_1+{\theta }_1\\ \\ {\theta }_1=\frac{3\times \pi }{2}\end{array}$$
$R_1\in [1,20]$，用于固定搜索周期数，$U$是一个固定为0.00565的小值。$D_1$是从1到搜索空间长度（Dim）的整数，$\omega$是一个固定为0.005的小值。以螺旋形状显示了AO的行为
$$\begin{array}{c}x=r\times s\mathrm{in}(\theta )\\ y=r\times \cos (\theta )\\ r=-0.005\times D_1+\frac{3\times \pi }{2}\end{array}$$

三、第三种搜素方法

在第三种方法（X3）中，当准确指定猎物区域，并且天鹰准备着陆和攻击时，天鹰垂直下降，进行初步攻击以发现猎物反应。

称为慢速下降攻击的低空飞行。在这里，AO利用目标的选定区域接近猎物并进行攻击。图显示了Aquila低空飞行慢速下降攻击的行为
$$X_3(t+1)=(X_{best}(t)-X_M(t))\times \alpha -rand+((UB-LB)\times rand+LB)\times \delta$$
$X_3(t+1)$是由第三种搜索方法$X_3$生成的t的下一次迭代的解。$X_{B}est(t)$是指第i次迭代前猎物的近似位置（最佳获得的解），$X_M(t)$是第t次迭代时当前解的平均值，使用等式计算。rand是0到1之间的随机值。$\alpha$和$\delta$是本文固定为小值（0.1）的开发调整参数。$L_B$表示给定问题的下界，$U_B$表示200的上界.

四、第四种搜索方法

接近猎物时，Aquila根据猎物的随机运动在陆地上攻击猎物。这种方法称为步行并抓住猎物。这里，最后，AO在最后一个位置攻击猎物。图显示了Aquila步行并抓住猎物的行为。

$$\begin{array}{c}{X}_4(t+1)=QF\times X_{bex}(t)-(G_1\times X(t)\times rand)-G_2\times Le\nu y(D)+rand\times G_1\\ \end{array}$$
$$QF(t)=t^{\frac{rand-1}{(1-T{)}^2}}$$
$$\begin{array}{c}{G}_1=2\times rand-1\\ \\ G_2=2\times \left(1-\frac{t}{T}\right)\end{array}$$
$QF(t)$是第$i^{th}$次迭代时的质量函数值，$rand$是0到1之间的随机值。t和T分别表示当前迭代和最大迭代次数。$Levy(D)$是使用方程计算的$levy$飞行分布函数

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代码实现

完整代码请私信领取：

function [Best_FF,Best_P,conv]=AO(N,T,LB,UB,Dim,F_obj)
Best_P=zeros(1,Dim);
Best_FF=inf;


X=initialization(N,Dim,UB,LB);
Xnew=X;
Ffun=zeros(1,size(X,1));
Ffun_new=zeros(1,size(Xnew,1));

t=1;


alpha=0.1;
delta=0.1;

while t<T+1
    for i=1:size(X,1)
        F_UB=X(i,:)>UB;
        F_LB=X(i,:)<LB;
        X(i,:)=(X(i,:).*(~(F_UB+F_LB)))+UB.*F_UB+LB.*F_LB;
        Ffun(1,i)=F_obj(X(i,:));
        if Ffun(1,i)<Best_FF
            Best_FF=Ffun(1,i);
            Best_P=X(i,:);
        end
    end
    
    
    G2=2*rand()-1; % Eq. (16)
    G1=2*(1-(t/T));  % Eq. (17)
    to = 1:Dim;
    u = .0265;
    r0 = 10;
    r = r0 +u*to;
    omega = .005;
    phi0 = 3*pi/2;
    phi = -omega*to+phi0;
    x = r .* sin(phi);  % Eq. (9)
    y = r .* cos(phi); % Eq. (10)
    QF=t^((2*rand()-1)/(1-T)^2); % Eq. (15)
        %-------------------------------------------------------------------------------------
    for i=1:size(X,1)
        %-------------------------------------------------------------------------------------
        if t<=(2/3)*T
            if rand <0.5
                Xnew(i,:)=Best_P(1,:)*(1-t/T)+(mean(X(i,:))-Best_P(1,:))*rand(); % Eq. (3) and Eq. (4)
                Ffun_new(1,i)=F_obj(Xnew(i,:));
                if Ffun_new(1,i)<Ffun(1,i)
                    X(i,:)=Xnew(i,:);
                    Ffun(1,i)=Ffun_new(1,i);
                end
            else
                %-------------------------------------------------------------------------------------
                Xnew(i,:)=Best_P(1,:).*Levy(Dim)+X((floor(N*rand()+1)),:)+(y-x)*rand;       % Eq. (5)
                Ffun_new(1,i)=F_obj(Xnew(i,:));
                if Ffun_new(1,i)<Ffun(1,i)
                    X(i,:)=Xnew(i,:);
                    Ffun(1,i)=Ffun_new(1,i);
                end
            end
            %-------------------------------------------------------------------------------------
        else
            if rand<0.5
                Xnew(i,:)=(Best_P(1,:)-mean(X))*alpha-rand+((UB-LB)*rand+LB)*delta;   % Eq. (13)
                Ffun_new(1,i)=F_obj(Xnew(i,:));
                if Ffun_new(1,i)<Ffun(1,i)
                    X(i,:)=Xnew(i,:);
                    Ffun(1,i)=Ffun_new(1,i);
                end
            else
                %-------------------------------------------------------------------------------------
                Xnew(i,:)=QF*Best_P(1,:)-(G2*X(i,:)*rand)-G1.*Levy(Dim)+rand*G2; % Eq. (14)
                Ffun_new(1,i)=F_obj(Xnew(i,:));
                if Ffun_new(1,i)<Ffun(1,i)
                    X(i,:)=Xnew(i,:);
                    Ffun(1,i)=Ffun_new(1,i);
                end
            end
        end
    end
    %-------------------------------------------------------------------------------------
    if mod(t,100)==0
        display(['At iteration ', num2str(t), ' the best solution fitness is ', num2str(Best_FF)]);
    end
    conv(t)=Best_FF;
    t=t+1;
end

end
function o=Levy(d)
	beta=1.5;
	sigma=(gamma(1+beta)*sin(pi*beta/2)/(gamma((1+beta)/2)*beta*2^((beta-1)/2)))^(1/beta);
	u=randn(1,d)*sigma;v=randn(1,d);step=u./abs(v).^(1/beta);
	o=step;
end

Abualigah, L., Yousri, D., Elaziz, M.A., Ewees, A.A., A. Al-qaness, M.A., Gandomi, A.H., Aquila Optimizer: A novel meta-heuristic optimization Algorithm, Computers & Industrial Engineering (2021), doi: https://doi.org/10.1016/j.cie.2021.107250