前言

动态规划

一、1143.最长公共子序列

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

有同学会问：为什么要定义长度为[0, i - 1]的字符串text1，定义为长度为[0, i]的字符串text1不香么？

这样定义是为了后面代码实现方便，如果非要定义为长度为[0, i]的字符串text1也可以

确定递推公式

主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。

即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

dp数组如何初始化

先看看dp[i][0]应该是多少呢？

test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;

同理dp[0][j]也是0。

其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。

确定遍历顺序

从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：

举例推导dp数组；

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int[][] dp = new int[text1.length()+1][text2.length()+1];
        for(int i = 1;i<=text1.length();i++){
            char char1 = text1.charAt(i-1);
            for(int j = 1;j<=text2.length();j++){
                char char2 = text2.charAt(j-1);
                if(char1 == char2){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                }else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.length()][text2.length()];
    }
}

二、1035.不相交的线

上一题的变种题目。

下面的代码，是用的循环得出max的方法；但，事实上，dp数组表示的是“dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]”；所以直接return dp[len1][len2]。

class Solution {
    public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
        int len1 = nums1.length;
        int len2 = nums2.length;

        int res = 0;

        int[][] dp = new int[len1+1][len2+1];

        for(int i =1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                if(nums1[i-1] == nums2[j-1]){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                }else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }
                res = Math.max(res,dp[i][j]);
            }
        }
        return res;
    }
}

三、53. 最大子序和

动规五部曲如下：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。

确定递推公式

dp[i]只有两个方向可以推出来：

dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

dp数组如何初始化

从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。

dp[0]应该是多少呢?

根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。

确定遍历顺序

递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。

举例推导dp数组

 class Solution{
    public static int maxSubArray(int[] nums) {
        if(nums.length == 0){
            return 0;
        }
        int res = nums[0];
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];
        for(int i =1;i<nums.length;i++){
            dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i],nums[i]);
            res = res >dp[i] ? res:dp[i];
        }
        return res;
    }
 }