第一类曲面积分：曲面微元dσ与其投影面积微元dxdy之间的关系推导

本篇博客精简自本人关于曲面积分的博客：详情见：曲面积分(Surface Integral)

曲面参数化（曲面上的每个点都使用起点为原点、终点为该曲面上的点的向量表示）
$xoy$平面中区域$R$（其实是曲面在$xoy$平面上的投影）上方的曲面，其参数表示式 $$\mathbf{r}(u,v)=f(u,v)\mathbf{i}+g(u,v)\mathbf{j}+h(u,v)\mathbf{k}$$

点$P$处的沿$u$轴和$v$轴的切向量分别是：
$${\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}=\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}=\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}\mathbf{i}+\frac{\partial g(u,v)}{\partial u}\mathbf{j}+\frac{\partial h(u,v)}{\partial u}\mathbf{k}$$
$${\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}=\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}=\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\mathbf{i}+\frac{\partial g(u,v)}{\partial v}\mathbf{j}+\frac{\partial h(u,v)}{\partial v}\mathbf{k}$$

点P处的沿$u$轴和$v$轴的切向量叉乘的数值大小为两个切向量组成四边形的面积，使用该面积替代下方的曲面微元（以直平面替代曲面）
$$S_1=|{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}|$$

对$r_u、r_v$进行缩放调整其大小基本和下方曲面边长大小差不多，$\Delta u{r}_u、\Delta v{r}_v$，现在直平面面积变为了
$$S=|\Delta u{r}_u\times \Delta v{r}_v|=|{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}|\Delta u\Delta v\approx \Delta {\sigma }_{xy}$$

曲面微元$d\sigma$与$dudv$之间的关系
$$d\sigma =|{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}|dudv$$
若曲面的面密度不是常数，即被积函数不是常数，则曲面S质量为：
$$\underset{S}{\iint }G(x,y,z)d\sigma =\underset{R}{\iint }G(f(u,v),g(u,v),h(u,v))|{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}|dudv$$

若我们取$x=u、y=v、z=f(x,y)$，其中$z=f(x,y)$是$xoy$平面中区域$R$上的曲面表达式
参数化后曲面的表示式
$$\mathbf{r}(u,v)=u\mathbf{i}+v\mathbf{j}+f(u,v)\mathbf{k}$$
点P处的沿$u$轴和$v$轴的切向量分别是：
$${\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}=\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}=\mathbf{i}+f_u^{\prime }(u,v)\mathbf{k}$$
$${\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}=\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}=\mathbf{j}+f_v^{\prime }(u,v)\mathbf{k}$$
$${\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 0& f_u^{\prime }\\ 0& 1& f_v^{\prime }\end{array}\right|=-f_u^{\prime }\mathbf{i}-f_v^{\prime }\mathbf{j}+\mathbf{k}$$
$$|{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}|=\sqrt{(-f_u^{\prime }{)}^2+(-f_v^{\prime }{)}^2+1^2}=\sqrt{f_u^{\prime 2}+f_v^{\prime 2}+1}$$
$$|{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}|dudv=\sqrt{(-f_u^{\prime }{)}^2+(-f_v^{\prime }{)}^2+1^2}dudv=\sqrt{f_u^{\prime 2}+f_v^{\prime 2}+1}dudv$$
将参数化后的参数替换为原参 $x=u、y=v$
曲面微元$d\sigma$与其投影面积微元$dxdy$之间的关系
$$d\sigma =\sqrt{f_x^{\prime 2}+f_y^{\prime 2}+1}dxdy$$
区域R（曲面投影）上方曲面的面积为：
$$\underset{R}{\iint }d\sigma =\underset{R}{\iint }\sqrt{f_x^{\prime 2}+f_y^{\prime 2}+1}dxdy$$
曲面显式表达式：$z=f(x,y)$，曲面隐式表达式：$G(x,y,z)=z-f(x,y)$
$$\begin{gathered} G_x^{\prime }(x,y,z)=-f_x^{\prime }(x,y) \\ {G}_y^{\prime }(x,y,z)=-f_y^{\prime }(x,y) \\ {G}_z^{\prime }(x,y,z)=1 \end{gathered}$$
若曲面的面密度不是常数，即被积函数不是常数，则曲面S质量为：
$$\underset{S}{\iint }G(x,y,z)d\sigma =\underset{R}{\iint }G(x,y,f(x,y))\sqrt{f_x^{\prime 2}+f_y^{\prime 2}+1}dxdy$$