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一、聚类概述

1.1 无监督学习与聚类算法

 1. 有监督学习是说模型在训练的时候，既需要特征矩阵X，也需要真实标签y。无监督学习是说在训练的时候只需要特征矩阵X，不需要标签。
 2. 聚类算法又叫做“无监督分类”，其目的是将数据划分成有意义或有用的组（或簇）。聚类和分类的直观上比较可参考下图：

 3. 聚类和分类对比表格：

	聚类	分类
核心	将数据分成多个组，探索每个组的数据是否有联系	从已经分组的数据中去学习，把新数据放到已经分好的组中去
学习类型	无监督，无需标签进行训练	有监督，需要标签进行训练
典型算法	K-Means，DBSCAN，层次聚类，光谱聚类	决策树，贝叶斯，逻辑回归
算法输出	聚类结果是不确定的；不一定总是能够反映数据的真实分类；同样的聚类，根据不同的业务需求可能是一个好结果，也可能是一个坏结果	分类结果是确定的；分类的优劣是客观的；不是根据业务或算法需求决定

1.2 sklearn中的聚类算法

 聚类算法在sklearn中有两种表现形式，一种是类（和我们目前为止学过的分类算法以及数据预处理方法们都一样），需要实例化，训练并使用接口和属性来调用结果。另一种是函数（function），只需要输入特征矩阵和超参数，即可返回聚类的结果和各种指标。

二、 KMeans

2.1 基本原理

 1. 簇：KMeans算法将一组N个样本的特征矩阵X划分为K个无交集的簇，直观上来看是簇是一组一组聚集在一起的数据，在一个簇中的数据就认为是同一类。簇就是聚类的结果表现。

 2. 质心：簇中所有数据的均值 通常被称为这个簇的“质心”（centroids）。在一个二维平面中，一簇数据点的质心的横坐标就是这一簇数据点的横坐标的均值，质心的纵坐标就是这一簇数据点的纵坐标的均值。同理可推广至高维空间。

 3. 在KMeans算法中，簇的个数K是一个超参数，需要我们人为输入来确定。KMeans的核心任务就是根据我们设定好的K，找出K个最优的质心，并将离这些质心最近的数据分别分配到这些质心代表的簇中去。具体过程可以总结如下：

顺序	过程
1	随机抽取K个样本作为最初的质心
2	开始循环
2.1	将每个样本点分配到离他们最近的质心，生成K个簇
2.2	对于每个簇，计算所有被分到该簇的样本点的平均值作为新的质心
3	当质心的位置不再发生变化，迭代停止，聚类完成

 注：那什么情况下，质心的位置会不再变化呢？当我们找到一个质心，在每次迭代中被分配到这个质心上的样本都是一致的，即每次新生成的簇都是一致的，所有的样本点都不会再从一个簇转移到另一个簇，质心就不会变化了。

 4. 这个过程在可以由下图来显示，我们规定，将数据分为4簇（K=4），其中白色X代表质心的位置：

2.2 簇内误差平方和

 1. 我们认为，被分在同一个簇中的数据是有相似性的，而不同簇中的数据是不同的。我们追求“簇内差异小，簇外差异大”。而这个“差异“，由样本点到其所在簇的质心的距离来衡量。

 2. 对于一个簇来说，所有样本点到质心的距离之和越小，我们就认为这个簇中的样本越相似，簇内差异就越小。而距离的衡量方法有多种，令 表示簇中的一个样本点， 表示该簇中的质心，n表示每个样本点中的特征数目，i表示组成点 的每个特征，则该样本点到质心的距离可以由以下距离来度量：

 3. 如果我们采用欧几里得距离，则一个簇中所有样本点到质心的距离的平方和为：

 注：其中，m为一个簇中样本的个数，j是每个样本的编号。这个公式被称为簇内平方和（cluster Sum of Square），又叫做Inertia。而将一个数据集中的所有簇的簇内平方和相加，就得到了整体平方和（Total Cluster Sum ofSquare），又叫做total inertia。Total Inertia越小，代表着每个簇内样本越相似，聚类的效果就越好。因此KMeans追求的是，求解能够让Inertia最小化的质心。

三、sklearn中的KMeans

3.1 所用模块

 1. 模块：class sklearn.cluster.KMeans(n_clusters=8, init=’k-means++’, n_init=10, max_iter=300, tol=0.0001, precompute_distances=’auto’, verbose=0, random_state=None, copy_x=True, n_jobs=None, algorithm=’auto’)。

 2. n_clusters是KMeans中的k，表示着我们告诉模型我们要分几类。这是KMeans当中唯一一个必填的参数，默认为8类，但通常我们的聚类结果会是一个小于8的结果。通常，在开始聚类之前，我们并不知道n_clusters究竟是多少，因此我们要对它进行探索。

 3. 进行一次简单的聚类：

from sklearn.datasets import make_blobs
import matplotlib.pyplot as plt

#自己创建数据集
X, y = make_blobs(n_samples=500,n_features=2,centers=4,random_state=1)
fig, ax1 = plt.subplots(1)
ax1.scatter(X[:, 0], X[:, 1]
           ,marker='o' #点的形状
           ,s=8 #点的大小
           )
           
plt.show()

color = ["red","blue","orange","gray"]
fig, ax1 = plt.subplots(1)
for i in range(4):
    ax1.scatter(X[y==i, 0], X[y==i, 1]
           ,marker='o' #点的形状
           ,s=8 #点的大小
           ,c=color[i]
           )
plt.show()

3.2 聚类算法的模型评估指标

 1. 聚类模型的结果不是某种标签输出，并且聚类的结果是不确定的，其优劣由业务需求或者算法需求来决定，并且没有永远的正确答案。
 2. Inertia是用距离来衡量簇内差异的指标，但是使用Inertia来作为聚类的衡量指标的缺点和极限太大。

• 它不是有界的。
• 它的计算太容易受到特征数目的影响。
• 它会受到超参数K的影响，在我们之前的常识中其实我们已经发现，随着K越大，Inertia注定会越来越小，但这并不代表模型的效果越来越好了。
• Inertia对数据的分布有假设，它假设数据满足凸分布（即数据在二维平面图像上看起来是一个凸函数的样子），并且它假设数据是各向同性的（isotropic），会让聚类算法在一些细长簇，环形簇，或者不规则形状的流形时表现不佳。

3.3 轮廓系数

 1. 对没有真实标签的数据进行探索，也就是对不知道真正答案的数据进行聚类。这样的聚类是完全依赖于评价簇内的稠密程度（簇内差异小）和簇间的离散程度（簇外差异大）来评估聚类的效果。

 2. 轮廓系数定义：（1）样本与其自身所在的簇中的其他样本的相似度a，等于样本与同一簇中所有其他点之间的平均距离 。 （2）样本与其他簇中的样本的相似度b，等于样本与下一个最近的簇中的所有点之间的平均距离。 注：根据聚类的要求”簇内差异小，簇外差异大“，我们希望b永远大于a，并且大得越多越好。

 3.（1）单个样本的轮廓系数计算为：

  （2）这个公式可以被解析为：

  （3）很容易理解轮廓系数范围是(-1,1)，其中值越接近1表示样本与自己所在的簇中的样本很相似，并且与其他簇中的样本不相似；当样本点与簇外的样本更相似的时候，轮廓系数就为负。当轮廓系数为0时，则代表两个簇中的样本相似度一致，两个簇本应该是一个簇。可以总结为轮廓系数越接近于1越好，负数则表示聚类效果非常差。

 4. 在sklearn中，我们使用模块metrics中的类silhouette_score来计算轮廓系数，它返回的是一个数据集中，所有样本的轮廓系数的均值。但我们还有同在metrics模块中的silhouette_sample，它的参数与轮廓系数一致，但返回的是数据集中每个样本自己的轮廓系数。

from sklearn.datasets import make_blobs
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.metrics import silhouette_score
from sklearn.metrics import silhouette_samples
X, y = make_blobs(n_samples=500,n_features=2,centers=4,random_state=1) #返回特征矩阵和标签
n_clusters = 4
cluster = KMeans(n_clusters=n_clusters, random_state=0).fit(X)
y_pred = cluster.labels_
print(silhouette_score(X,y_pred))
print(silhouette_samples(X,y_pred))

3.4 CHI(卡林斯基-哈拉巴斯指数)

 1. 对于有k个簇的聚类而言，Calinski-Harabaz指数s(k)写作如下公式：

 其中N为数据集中的样本量，k为簇的个数（即类别的个数），Bk是组间离散矩阵，即不同簇之间的协方差矩阵，Wk是簇内离散矩阵，即一个簇内数据的协方差矩阵，而tr表示矩阵的迹。在线性代数中，一个n×n矩阵A的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵A的迹（或迹数），一般记作tr(A)。数据之间的离散程度越高，协方差矩阵的迹就会越大。组内离散程度低，协方差的迹就会越小，Tr(Wk)也就越小，同时，组间离散程度大，协方差的的迹也会越大，Tr(Bk)就越大，这正是我们希望的，因此Calinski-harabaz指数越高越好。

 2. 虽然calinski-Harabaz指数没有界，在凸型的数据上的聚类也会表现虚高。但是比起轮廓系数，它有一个巨大的优点，就是计算非常快速。代码块：

from sklearn.metrics import calinski_harabaz_score
calinski_harabaz_score(X, y_pred)

四、KMeans做矢量量化

4.1 概述

 1. KMeans聚类的矢量量化本质是一种降维运用，但它与我们之前学过的任何一种降维算法的思路都不相同。特征选择的降维是直接选取对模型贡献最大的特征，PCA的降维是聚合信息，而矢量量化的降维是在同等样本量上压缩信息的大小，即不改变特征的数目也不改变样本的数目，只改变在这些特征下的样本上的信息量。

 2. 对于图像来说，一张图片上的信息可以被聚类如下表示：

 这是一组40个样本的数据，分别含有40组不同的信息(x1,x2)。我们将代表所有样本点聚成4类，找出四个质心，我们认为，这些点和他们所属的质心非常相似，因此他们所承载的信息就约等于他们所在的簇的质心所承载的信息。于是，我们可以使用每个样本所在的簇的质心来覆盖原有的样本，有点类似四舍五入的感觉，类似于用1来代替0.9和0.8。这样，40个样本带有的40种取值，就被我们压缩了4组取值，虽然样本量还是40个，但是这40个样本所带的取值其实只有4个，就是分出来的四个簇的质心。

4.2 案例

 1. 查看原图：

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_sample_image
import pandas as pd
china = load_sample_image("china.jpg")
newimage = china.reshape((427 * 640,3))
print(pd.DataFrame(newimage).drop_duplicates().shape) #(96615, 3)
plt.figure(figsize=(15,15))
plt.imshow(china)
plt.show()

 2. 矢量量化：

n_clusters = 64
china = np.array(china, dtype=np.float64) / china.max()
w, h, d = original_shape = tuple(china.shape)
assert d == 3
image_array = np.reshape(china, (w * h, d))

#先用1000个数据找出质心
image_array_sample = shuffle(image_array, random_state=0)[:1000]
kmeans = KMeans(n_clusters=n_clusters, random_state=0).fit(image_array_sample)

#找出质心后，按照已经存在的质心对所有数据进行聚类
labels = kmeans.predict(image_array)

image_kmeans = image_array.copy()
for i in range(w*h):
    image_kmeans[i] = kmeans.cluster_centers_[labels[i]]
image_kmeans
pd.DataFrame(image_kmeans).drop_duplicates().shape
image_kmeans = image_kmeans.reshape(w,h,d)
image_kmeans.shape

centroid_random = shuffle(image_array, random_state=0)[:n_clusters]
labels_random = pairwise_distances_argmin(centroid_random,image_array,axis=0)
labels_random.shape
len(set(labels_random))
image_random = image_array.copy()
for i in range(w*h):
    image_random[i] = centroid_random[labels_random[i]]
image_random = image_random.reshape(w,h,d)
image_random.shape

plt.figure(figsize=(10,10))
plt.axis('off')
plt.title('Original image (96,615 colors)')
plt.imshow(china)
plt.figure(figsize=(10,10))
plt.axis('off')
plt.title('Quantized image (64 colors, K-Means)')
plt.imshow(image_kmeans)
plt.figure(figsize=(10,10))
plt.axis('off')
plt.title('Quantized image (64 colors, Random)')
plt.imshow(image_random)
plt.show()

 注：使用聚类算法压缩图片后，可以看出图片颜色不会有太大的误差。