题目描述

难度 - 困难
leetcode - 330. 按要求补齐数组

给定一个已排序的正整数数组 nums ，和一个正整数 n 。从 [1, n] 区间内选取任意个数字补充到 nums 中，使得 [1, n] 区间内的任何数字都可以用 nums 中某几个数字的和来表示。
请返回满足上述要求的最少需要补充的数字个数。

示例 1:
输入: nums = [1,3], n = 6
输出: 1
解释:
根据 nums 里现有的组合 [1], [3], [1,3]，可以得出 1, 3, 4。
现在如果我们将 2 添加到 nums 中，组合变为: [1], [2], [3], [1,3], [2,3], [1,2,3]。
其和可以表示数字 1, 2, 3, 4, 5, 6，能够覆盖 [1, 6] 区间里所有的数。
所以我们最少需要添加一个数字。

示例 2:
输入: nums = [1,5,10], n = 20
输出: 2
解释: 我们需要添加 [2,4]。

示例 3:
输入: nums = [1,2,2], n = 5
输出: 0

提示：
1 <= nums.length <= 1000
1 <= nums[i] <= 10^4
nums 按升序排列
1 <= n <= 2^31 - 1

贪心算法

对于正整数 xxx，如果区间 [1,x−1]内的所有数字都已经被覆盖，且 x在数组中，则区间 [1,2x−1] 内的所有数字也都被覆盖。证明如下。

对于任意 1≤y<x,y 已经被覆盖，x 在数组中，因此y+x 也被覆盖，区间 [x+1,2x−1]（即区间 [1,x−1]内的每个数字加上 x 之后得到的区间）内的所有数字也被覆盖，由此可得区间 [1,2x−1]内的所有数字都被覆盖。

假设数字 x 缺失，则至少需要在数组中补充一个小于或等于 x 的数，才能覆盖到 x，否则无法覆盖到 x。
如果区间 [1,x−1] 内的所有数字都已经被覆盖，则从贪心的角度考虑，补充 x 之后即可覆盖到 x，且满足补充的数字个数最少。在补充 x 之后，区间 [1,2x−1] 内的所有数字都被覆盖，下一个缺失的数字一定不会小于 2x。
由此可以提出一个贪心的方案。每次找到未被数组 nums 覆盖的最小的整数 x，在数组中补充 x，然后寻找下一个未被覆盖的最小的整数，重复上述步骤直到区间 [1,n] 中的所有数字都被覆盖。

具体实现方面，任何时候都应满足区间 [1,x−1]内的所有数字都被覆盖。令 x 的初始值为 1，数组下标 index 的初始值为 0，则初始状态下区间 [1,x−1] 为空区间，满足区间内的所有数字都被覆盖。进行如下操作。
1.如果 index 在数组 nums 的下标范围内且 nums[index]≤x，则将 nums[index]的值加给 x，并将 index的值加 1。
2. 被覆盖的区间从 [1,x−1]扩展到 [1,x+nums[index]−1]，对 x 的值更新以后，被覆盖的区间为 [1,x−1]。
3.否则，x 没有被覆盖，因此需要在数组中补充 x，然后将 x 的值乘以 2。
在数组中补充 x 之后，被覆盖的区间从 [1,x−1] 扩展到 [1,2x−1]，对 x 的值更新以后，被覆盖的区间为 [1,x−1]。
重复上述操作，直到 x 的值大于 n。

代码演示

class Solution {
    public int minPatches(int[] nums, int n) {
        long num = 1;
        int count = 0;
        int index = 0;
        while(num <= n){
            if(index < nums.length && nums[index] <=  num){
                num += nums[index++];
            }else{
                num *= 2;
                count++;
            }
        }
        return count;
    }

    
}