《Surface Simplification Using Quadric Error Metrics》这篇论文介绍了一种网格简化的算法，通过“edge contraction”（边收缩）的方法来简化网格。边收缩的结果就是将两个顶点合成一个顶点，因此可以按照任意的顶点数目去简化网格。

假设有一个二次函数 $\Delta (\mathbf{v})={\mathbf{v}}^T\mathbf{Qv}$ 可以描述顶点$\mathbf{v}$的“变形程度”，这篇论文的算法目的就是最小化总体的“变形程度”，即：
$$\text{minimize}\sum _{\mathbf{v}}{\mathbf{v}}^T\mathbf{Qv}$$
但是由于直接最小化不太现实，因为顶点数目会发生改变，所以这篇论文的算法步骤是这样的：

1. 对每个顶点计算其初始的 $\mathbf{Q}$，满足 ${\mathbf{v}}^T\mathbf{Qv}=0$ ；
2. 保存所有合法的“点对”，包括所有的边对应的点对，以及距离小于一定阈值的顶点对；
3. 对于每个合法的点对（${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$），生成合成的顶点${\mathbf{v}}_s$，这一步边收缩的代价为$\Delta ({\mathbf{v}}_s)={\mathbf{v}}_s^T({\mathbf{Q}}_1+{\mathbf{Q}}_2){\mathbf{v}}_s$，也就是新顶点的“变形程度”。这里合成顶点的方法有很多，可以是中点、其中一个顶点、或者最小化 $\Delta ({\mathbf{v}}_s)$ 对应的顶点位置；
4. 重复选择$\Delta ({\mathbf{v}}_s)$ 最小的顶点对进行边收缩，然后更新mesh、相关顶点的$\mathbf{Q}$、以及相关合成顶点的代价，直到目标顶点数目。可以用一定的数据结构来维护。

接下来我用我的理解来描述这个二次误差函数 $\Delta (\mathbf{v})={\mathbf{v}}^T\mathbf{Qv}$ 的构造过程：

首先我们用一种启发式的思想去思考，要如何度量一个mesh的微小变形的程度呢？

假如只有一个平面三角形，当它的一个顶点A有一个微小的偏移时，这个顶点相对于对边BC的距离h也会发生变化，因此可以用h来度量点A的“变形程度”，亦即
$$\Delta (A)=h。$$
也许当A的位移平行于BC时，用h无法表示这样的变形，但是这只是一种思想，既考虑了简洁性，也考虑了在实际变形中大概率不会有这种特殊的变形。

类比到空间中的一个三角网格（triangular mesh），当一个顶点$\mathbf{v}$发生轻微变形时，我们用点到面的距离去度量其“变形程度”，顶点已经给出了，那么“面”有哪些呢？我们先假定每个顶点都保存了一些用于度量的面$\text{planes}(\mathbf{v})$，在这种情况下，顶点$\mathbf{v}=[v_x,v_y,v_z,1{]}^T$ 的“变形程度”的度量可以写作
$$\Delta (\mathbf{v})=\sum _{\mathbf{p}\in \text{planes}(\mathbf{v})}({\mathbf{p}}^T\mathbf{v}{)}^2,$$
其中$\mathbf{p}=[a,b,c,d{]}^T$表示平面$ax+by+cz+d=0$，其中$a^2+b^2+c^2=1$，这个单位化的限制就是告诉我们平面$\mathbf{p}$的法向量就是$(a,b,c)$，因此点到面的距离就是 ${\mathbf{p}}^T\mathbf{v}$ ，高中时不是学过点到平面的距离公式吗，单位化后就不需要分母的那个法向量长度了。

现在回到"edge contraction"，在边收缩前我们有两个顶点${\mathbf{v}}_1$和${\mathbf{v}}_2$，收缩完之后变成了一个顶点${\mathbf{v}}_s$，而与${\mathbf{v}}_s$关联的面的集合就变成了$\text{planes}({\mathbf{v}}_s)=\text{planes}({\mathbf{v}}_1)\bigcup \text{planes}({\mathbf{v}}_2)$ ，用集合的表示形式不太方便，因此我们写成矩阵的形式：
$$\Delta (\mathbf{v})=\sum ({\mathbf{p}}^T\mathbf{v}{)}^2={\mathbf{v}}^T(\sum \mathbf{p}{\mathbf{p}}^T)\mathbf{v}={\mathbf{v}}^T(\sum {\mathbf{Q}}_{\mathbf{i}})\mathbf{v}$$
就对应上之前算法里说的“变形程度”的度量公式了。所以前面讲到的保存每个顶点关联的面的集合，实际上就是保存这些面对应的矩阵之和，而边收缩的过程中，新的顶点需要保存的，就是旧的两个顶点保存的矩阵之和。

因此在算法中每个顶点保存的 $\mathbf{Q}$，初始化时就是将每个顶点相邻的面作为其关联的面，然后计算$\mathbf{Q}$，在后续做边收缩时，只需要将收缩的两个顶点的 $\mathbf{Q}$相加即可。