0.简介

聚类：针对给定的样本，依据他们的属性的相似度或距离，将其归并到若干个“簇”或“类”的数据分析问题。

• 类：样本的子集。直观上，相似的样本聚集在同类，不相似的样本分散在不同类。

距离 和 相似度

距离 和 相似度量在聚类中十分重要。

常用的距离度量有：

• 闵可夫斯基距离
  $$\begin{gathered} d_{ij}={\left(\sum _{k=1}^m|x_{ki}-x_{kj}{|}^p\right)}^{\frac{1}{p}} \\ p\ge 1 \end{gathered}$$

• 欧氏距离

• 曼哈顿距离

• 切比雪夫距离

• 马哈拉诺比斯距离
  $$d_{ij}={\left[(x_i-x_j{)}^{\mathrm{T}}{S}^{-1}(x_i-x_j)\right]}^{\frac{1}{2}}$$

常用的相似度量有：

• 相关系数
  $$\begin{gathered} x{r}_{ij}=\frac{\sum _{k=1}^m(x_{ki}-{\bar{x}}_i)(x_{kj}-{\bar{x}}_j)}{{\left[\sum _{k=1}^m(x_{ki}-{\bar{x}}_i{)}^2\sum _{k=1}^m(x_{kj}-{\bar{x}}_j{)}^2\right]}^{\frac{1}{2}}} \\ {\bar{x}}_i=\frac{1}{m}\sum _{k=1}^m{x}_{ki} \\ {\bar{x}}_j=\frac{1}{m}\sum _{k=1}^m{x}_{kj} \end{gathered}$$

• 夹角余弦
  $$s_{ij}=\frac{\sum _{k=1}^m{x}_{ki}{x}_{kj}}{{\left[\sum _{k=1}^m{x}_{ki}^2\sum _{k=1}^m{x}_{kj}^2\right]}^{\frac{1}{2}}}$$

用距离度量相似度时，距离越小表示样本越相似。用相关系数时，相关系数越大表示样本越相似。

1. K均值聚类(kmeans)

K均值聚类是常用的聚类方法。

模型

算法

• 首先选择k个类的中心
• 将样本分到与其最近的中心所在的类，得到一个初始的聚类结果
• 然后计算每个类的样本的均值，作为类的新的中心
• 重复以上步骤，直到收敛（类的中心随着迭代不发生位移）为止

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# kmeans
class MyKmeans:
    def __init__(self, k, n=20):
        self.k = k                #质心个数
        self.n = n                  #迭代次数
    
    def fit1(self, x, centers=None):
        # step1 : 随机选择 K 个点, 或者指定
        if centers is None:
            idx = np.random.randint(low=0, high=len(x), size=self.k)
            centers = x[idx]
        #print(centers)
        else:
            centers = x[centers]
        
        inters = 0 # 迭代计数器
        # 迭代n次或质心不发生移动时结束循环
        while inters < self.n:
            print(inters)
            print(centers)

            points_set = {key: [] for key in range(self.k)}#聚类集合

            # step2，遍历所有点 P，将 P 放入最近的聚类中心的集合中
            for p in x:
                nearest_index = np.argmin(np.sum((centers - p) ** 2, axis=1) ** 0.5)#计算最近的质心
                points_set[nearest_index].append(p)#将p放入计算出的最近的聚类中心的点集中

            # step3，遍历每一个点集，更新每个点集的质心
            for i_k in range(self.k):
            
                centers[i_k] = sum(points_set[i_k])/len(points_set[i_k])
            inters += 1

        return points_set, centers

# 随机生成一个样本数为100的二维点集
np.random.seed(123)
data = np.random.rand(100,2)
data = data*10

# 聚类
m = MyKmeans(2,50)
points_set1, centers1 = m.fit1(data,centers=[0,1])

# 结果可视化

cat1 = np.asarray(points_set1[0])
cat2 = np.asarray(points_set1[1])

#绘制图像
#plt.figure(1)
for ix, p in enumerate(centers1):
    plt.scatter(p[0], p[1], color='C{}'.format(ix), marker='^', edgecolor='black', s=256)
plt.scatter(cat1[:,0], cat1[:,1], color='green')
plt.scatter(cat2[:,0], cat2[:,1], color='red')

plt.title('Hierarchical clustering 1')
plt.xlim(0, 11)
plt.ylim(0, 11)
plt.show()
        

特点

K均值聚类属于基于划分的聚类方法；

• 类别(簇)数$k$需要事先设定
• 距离度量或相似度:欧氏距离平方
• 以中心或样本的均值表示类别
• 以样本和其所属类的类中心的距离的总和作为可优化的目标函数。
• 得到的类别是平坦的，分层次化的
• 算法属于迭代算法，不能保证得到全局最优

2. 谱聚类(Spectral clustering)

谱聚类是一种基于图论的聚类算法，在介绍谱聚类算法原理之前，首先介绍下图的相关概念。

算法思想

它的主要思想：把所有数据看成空间中的点，这些点之间可以用边连接起来，距离较远的两个点之间的边权重较低，而距离较近的两个点之间的权重较高，通过对所有数据点组成的图进行切图，让切图后的不同的子图间边权重和尽可能小（即距离远），而子图内的边权重和尽可能高（即距离近）。

特点

谱聚类相较于前面讲到的最最传统的k-means（当然了，也是很好的一个聚类方法,只不过大家都拿它来做个baseline）聚类方法，谱聚类又具有许多的优点：

1.只需要待聚类点之间的相似度矩阵就可以做聚类了。

2.对于不规则的数据（或者说是离群点）不是那么敏感，个人感觉主要体现在最小化图切割的公式中（因为在RatioCut的优化策略中要除以一个分母|A|,表示当前聚类中含有点 的个数；另外一种策略是Ncut，会除以一个分母vol(A),表示的是当前聚类中的点的度的集合；有了这两个分母的话，若是离群点单独成一个聚类，会造成这两个优化函数的值变大）

3.k-means聚类算法比较适合于凸数据集（数据集内的任意两点之间的连线都在该数据集以内，简单理解就是圆形，可能不准确），而谱聚类则比较通用。

谱聚类的具体步骤：

1.相似度矩阵S的构建，构建相似度的矩阵的过程中，可以使用欧氏距离、余弦相似度、高斯相似度等来计算数据点之间的相似度，选用哪个要根据你自己的实际情况来。不过在谱聚类中推荐使用的是高斯相似度，但是我在我的工程中使用的是余弦相似度。

2.相似度图G的构建，主要有一下三种方法：

• 近邻图：在这种图中，我们将距离小于某个阈值的点连接起来。

• K近邻图:在这种图中，以点i,j为例，如果i是j的k近邻之一，那么将i与j连起来。当然，这会造成相似度图G是一种有向图，因为i是j的k近邻之一，但是j不一定是i的k近邻之一。很像我们生活中：你是我的最好朋友，但是我不一定是你的最好朋友。有两种方法可以将此时的图化为无向图：（1）忽略边的方向性，即只要满足i是j的k近邻之一或者j是i的k近邻之一，那么我们就将与连起来。
  （2）只有满足i是j的k近邻之一而且j是i的k近邻之一，我们才将与连起来。依照（1）方法所得的图被称为k近邻图，依照（2）方法所得的图被称为互k近邻图。

• 全连接图：在这种图中，我们将所有的点都相互连接起来，同时所有的边的权重设置为相似度。这种图建立的关键在于相似度函数的确立，相似度函数能够较好地反映实际中的相邻关系，那么效果较好。一个相似度函数的例子为高斯相似度函数：,其中参数的选取是个难点。该方法中的参数的作用与近邻图中的的作用是相似的。

  通过构建上述的相似度图G我们可以重新得到一个邻接矩阵W.

3.拉普拉斯矩阵
它的定义很简单，拉普拉斯矩阵。是度矩阵，也就是相似度矩阵的每一行（或者每一列）加和得到的一个对角矩阵。W就是图的邻接矩阵。

4.无向图的切割（也就是求L的特征值和特征向量，之后对特征向量矩阵进行k-means聚类）

算法步骤：

输入：样本集D，相似矩阵的生成方式, 降维后的维度, 聚类方法，聚类后的维度

输出： 簇划分

(1) 根据输入的相似矩阵的生成方式构建样本的相似矩阵S
(2）根据相似矩阵S构建邻接矩阵W，构建度矩阵D
(3）计算出拉普拉斯矩阵L
(4）求L的最小的个特征值所各自对应的特征向量
(6) 将特征向量组成维的特征矩阵F
(7）对F中的每一行作为一个维的样本，共n个样本，用输入的聚类方法进行聚类，聚类维数为。
(8）得到簇划分

import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 

from sklearn import cluster, datasets
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

np.random.seed(0)

# 构建数据
n_samples = 1500
noisy_circles = datasets.make_circles(n_samples=n_samples, factor=0.5, noise=0.05)
noisy_moons = datasets.make_moons(n_samples=n_samples, noise=0.05)
blobs = datasets.make_blobs(n_samples=n_samples, random_state=8)

data_sets = [
    (
        noisy_circles,
        {
            "n_clusters": 2
        }
    ),
    (
        noisy_moons,
        {
            "n_clusters": 2
        }
    ), 
    (
        blobs, 
        {
            "n_clusters": 3
        }
    )
]
colors = ["#377eb8", "#ff7f00", "#4daf4a"]
affinity_list = ['rbf', 'nearest_neighbors']

plt.figure(figsize=(17, 10))

for i_dataset, (dataset, algo_params) in enumerate(data_sets):
    # 模型参数
    params = algo_params

    # 数据
    X, y = dataset
    X = StandardScaler().fit_transform(X)

    for i_affinity, affinity_strategy in enumerate(affinity_list):
        # 创建SpectralCluster
        spectral = cluster.SpectralClustering(
            n_clusters=params['n_clusters'],
            eigen_solver='arpack', 
            affinity=affinity_strategy
        )

        # 训练
        spectral.fit(X)

        # 预测
        y_pred = spectral.labels_.astype(int)

        y_pred_colors = []

        for i in y_pred:
            y_pred_colors.append(colors[i])
        
        plt.subplot(3, 4, 4*i_dataset+i_affinity+1)
        plt.title(affinity_strategy)
        plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], color=y_pred_colors)

plt.show()

3.小结

本文介绍的聚类方法有 K均值聚类方法，谱聚类方法。

K均值聚类属于基于划分的聚类方法；类别(簇)数$k$需要事先设定；距离度量或相似度:欧氏距离平方，以中心或样本的均值表示类别，以样本和其所属类的类中心的距离的总和作为可优化的目标函数。得到的类别是平坦的，分层次化的，算法属于迭代算法，不能保证得到全局最优

谱聚类只需要数据之间的邻接矩阵，因此对于处理稀疏数据的聚类很有效。这点传统聚类算法比如K-Means很难做到。由于使用了降维，因此在处理高维数据聚类时的复杂度比传统聚类算法好，如果最终聚类的维度非常高，则由于降维的幅度不够，谱聚类的运行速度和最后的聚类效果均不好
聚类效果依赖于邻接矩阵，不同的邻接矩阵得到的最终聚类效果可能很不同。

常用的聚类方法除了这些还有，层次化聚类方法，基于混合分布的方法，基于密度的方法。以上的方法是对于样本的聚类方法，除此之外还有对样本和属性同时聚类的方法，如Co-Clustering。

参考资料

《统计学习方法》李航