角度——⛲️

一、考点讲解

1. 分类计数原理（加法原理）
   (1）定义
   如果完成一件事有n类办法，只要选择其中一类办法中的任何一种方法，就可以完成这件事。若第一类办法中有$m_1$种不同的方法，第二类办法中有$m_2$种不同的方法…第n类办法中有$m_n$种不同的办法，那么完成这件事共用$N=m_1+m_2+...+m_n$种不同的方法。
   (2）理解
   运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。

2. 分步计数原理（乘法原理）
   （1）定义
   如果完成一件事，必须依次连续地完成n个步骤，这件事才能完成。若完成第一个步骤有$m_1$种不同的方法，完成第二个步骤有$m_2$种不同的方法……完成第n个步骤有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N=m_1\ast m_2\ast ......\ast m_n$种不同的方法。
   （2）理解
   运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作,必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。

3. 两个原理的区别及联系
   （1）抓住两个基本原理的区别，不要用混，不同类的方法（其中每一种方法都能把事情从头至尾做完）数之间做加法，不同步的方法（其中每一种方法都只能完成这件事的一部分）数之间做乘法。
   （2）在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则。
   如：从若干件产品中抽出几件产品来检验，把抽出的产品中至多有2件次品的抽法分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有一件次品，这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况。
   又如：把能被2、被3或被6整除的数分为三类：第一类是能被⒉整除的数，第二类是能被3整除的数，第三类是能被6整除的数，其中第一类、第二类都和第三类有重复，这样的分类是不正确的。
   （3）在运用乘法原理时要注意，每个步骤都做完，这件事也必须完成。

二、考试解读

1. 两个基本原理看似简单，容易理解，但是实际应用中很难区分，所以要掌握其本质。
2. 难点在于分类，如何分类和怎样分类是考生的薄弱点，要加强训练。
3. 当两个原理在一个题目中同时出现时，要能够清晰分类和分步。
4. 考试频率级别：中。

三、命题方向

1. 加法原理
   思路：遇到分类求解时，采用加法原理。
2. 乘法原理
   思路：遇到分步求解时，采用乘法原理。
3. 加法乘法并存
   思路：当分类与分步同时出现，一定要先宏观分类，再微观分步。