直接调用：

### 1. 直接递归调用

直接递归调用是指一个函数直接调用自己。例如，计算阶乘的函数，可以使用递归方法：

int factorial(int n) {
    if (n <= 1) {
        return 1;
    }
    return n * factorial(n - 1);
}

在这个例子中，`factorial` 函数在其函数体内直接调用了自己，这就是直接递归。

间接调用：

 

2. 间接递归调用

间接递归调用是指函数A调用函数B，然后函数B再调用函数A。这也称为循环递归。

考虑以下的例子：

void funcA(int n);
void funcB(int n);

void funcA(int n) {
    if (n <= 0) return;
    printf("From funcA: %d\n", n);
    funcB(n-1);
}

void funcB(int n) {
    if (n <= 0) return;
    printf("From funcB: %d\n", n);
    funcA(n-2);
}

在这个例子中，`funcA` 调用 `funcB`，然后 `funcB` 又调用 `funcA`，形成了一个间接递归的调用链。

### 注意事项

- 无论是直接递归还是间接递归，都应确保有一个明确的退出条件（或称为基线条件）。否则，递归调用可能会无限制地继续，导致栈溢出。

- 递归（无论是直接还是间接）通常会增加额外的时间和空间开销，因为每次函数调用都需要在内存中分配空间来保存返回地址、局部变量等。因此，当非递归方法同样简洁且易于理解时，通常推荐使用非递归方法。

- 递归的优点在于其可读性和解决某些问题的直观性。当面对某些特定问题（如树和图的遍历）时，递归方法通常更加直观。

了解这些概念后，你可以更有效地使用递归，并了解其背后的逻辑和潜在的陷阱。

 

 

 

 

 

 

 

 总结：
 

### 重点：

1. **定义**：递归是一种编程技巧，函数在其定义中直接或间接地调用自身。

2. **基线条件**：为了避免无限递归，必须有一个或多个条件决定何时停止递归调用，这被称为基线条件或递归出口。

3. **子问题分解**：递归的核心思想是将问题分解为更小的、相似的子问题。子问题应该是原始问题的一个简化版本。

### 难点：

1. **思维模式**：递归需要一种不同的思维模式，即能够自然地将问题分解为子问题。这需要练习和经验来掌握。

2. **调试**：由于递归函数可能有多个执行实例同时存在（每次调用都会产生一个新实例），调试递归函数可能比非递归函数更复杂。

3. **效率问题**：递归函数在某些情况下可能效率较低，特别是当它重复计算相同的子问题时（例如，简单的斐波那契递归实现）。

### 易错点：

1. **缺少基线条件**：忘记为递归函数提供适当的基线条件会导致无限递归，最终可能导致栈溢出。

2. **不恰当的基线条件**：选择的基线条件不恰当或逻辑错误，可能导致函数不返回预期结果。

3. **不正确的递归逻辑**：子问题的递归调用逻辑错误会导致错误的输出或无法达到基线条件。

4. **栈溢出**：深度递归可能会导致栈空间耗尽，从而导致栈溢出错误。

5. **空间复杂度**：由于递归使用栈存储每次函数调用的信息，深层次的递归调用可能会导致大量的内存使用。

6. **重复计算**：在某些递归实现中，可能会多次计算相同的子问题，从而浪费计算资源。

了解这些重点、难点和易错点有助于更好地理解、设计和调试递归函数。递归是一个强大的工具，但使用时要小心。