【高阶数据结构】AVL树 {概念及实现;节点的定义;插入并调整平衡因子;旋转操作:左单旋,右单旋,左右双旋,右左双旋;AVL树的验证及性能分析}

news2024/12/26 0:01:01

AVL树

一、AVL树的概念

  • 二叉搜索树虽可以缩短查找的效率,但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树,查找元素相当于在顺序表中搜索元素,效率低下。因此,两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法:

  • AVL树:又被称为高度平衡搜索二叉树,当向二叉搜索树中插入新结点后,如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整),即可降低树的高度,从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树,或者是具有以下性质的二叉搜索树:

  1. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
  2. 它的左右子树都是AVL树

在这里插入图片描述

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的,它就是AVL树。如果它有n个结点,其高度可保持在log_2 n,搜索时间复杂度O(log_2 n)


二、AVL树节点的定义

template <class K, class V>
struct AVLTreeNode{    
  AVLTreeNode<K,V> *_left; //指向左节点的指针       
  AVLTreeNode<K,V> *_right; //指向右节点的指针                    
  AVLTreeNode<K,V> *_parent; //指向父节点的指针                       
  pair<K,V> _kv; //存储元素键值对                   
  int _bf; //平衡因子balance factor            
  AVLTreeNode(const pair<K,V> &kv)    
    :_left(nullptr),    
    _right(nullptr),                                                                         
    _parent(nullptr),    
    _kv(kv),    
    _bf(0)                                                                        
  {}    
};                                                                                

三、AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子,因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为三步:

  1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  2. 调整节点的平衡因子
  3. 如果节点所在的二叉树不再平衡,通过旋转恢复平衡。

在这里插入图片描述

template <class K, class V>
bool AVLTree<K,V>::Insert(const pair<K,V> &kv)
{
  //1.按照二叉搜索树的方式插入新节点
  if(_root == nullptr)
  {
    _root = new Node(kv);
    return true;
  }

  Node *cur = _root;
  Node *parent = nullptr; //cur要向下一直遍历到null,所以要记录父节点的指针
  while(cur != nullptr)
  {
    if(kv.first > cur->_kv.first)                    
    {
      parent = cur;
      cur = cur->_right;
    }
    else if(kv.first < cur->_kv.first)
    {
      parent  = cur;
      cur = cur->_left;
    }
    else{
      return false;
    }
  }
  cur = new Node(kv);
  if(kv.first > parent->_kv.first)
  {                          
    parent->_right = cur;
  }
  else{
    parent->_left = cur;
  }
  cur->_parent = parent; //不要忘了修改父节点指针
    
  //2.调整节点的平衡因子
  while(parent!=nullptr) //只影响插入节点的所有祖先节点的平衡因子,parent不断向上一直遍历到根节点
  {
    //更新父节点的平衡因子
    //平衡因子=右树的高度-左树的高度
    if(cur == parent->_right)
    {
      ++parent->_bf; //插入右节点,bf++;      
    }
    else{
      --parent->_bf; //插入左节点,bf--;
    }
	//更新后检测双亲的平衡因子
    if(parent->_bf == 0)
    {
      //由1/-1更新为0,说明以父节点为根的二叉树高度不变,无需继续向上调整。 
      break; 
    }
    else if(abs(parent->_bf) == 1)
    {
      //由0更新为1/-1,说明以父节点为根的二叉树高度增加了一层,需要继续向上调整。 
      parent = parent->_parent;
      cur = cur->_parent;
    }
    else if(abs(parent->_bf) == 2)
    {
      //3.更新后为2/-2,说明parent所在的子树已经不平衡了,需要通过旋转恢复平衡。
      //......
      //下面的内容会有讲解↓↓↓
    }
    else{
      //除非代码有错,否则不可能有其他情况。
      assert(false);
    }
  }
  return true;
}

四、AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点,可能造成不平衡,此时必须调整树的结构,使之平衡化。根据节点插入位置的不同,AVL树的旋转分为四种:

4.1 左单旋

新节点插入较高右子树的右侧—右右:左单旋

在这里插入图片描述

解释:

  1. 上图在插入前,AVL树是平衡的。a,b,c是高度为h的AVL子树(h>=0)。新节点插入到60的右子树c使c树增加了一层,最终导致以30为根的二叉树不平衡。
  2. 要让30平衡,就需要将30向左旋转,将60提上去。让30的左子树增加一层,右子树减少一层。也就是让30做60的左子树。
  3. 如果60有左子树b,b树的根一定大于30小于60,刚好做30的右子树。旋转完成后,更新节点的平衡因子即可。
  4. 在旋转过程中,有以下几种情况需要考虑:
    1. 60节点的左子树b可能存在,也可能为空。
    2. 30可能是根节点,也可能是子树
    • 如果是根节点,旋转完成后,要更新根节点指针_root。
    • 如果是子树,可能是某个节点的左子树,也可能是右子树。要更新父节点的指针。
template <class K, class V>
void AVLTree<K,V>::RotateL(Node *parent){ //parent对应30
  Node *subR = parent->_right; //subR对应60
  Node *subRL = subR->_left; //subRL对应b树的根
  Node *ppNode = parent->_parent; //记录30的父节点,便于旋转后进行连接。
  //30和b树进行连接
  parent->_right = subRL;         
  if(subRL != nullptr) //b树可能为空
  {
    subRL->_parent = parent;
  }
    
  //30和60重新连接
  subR->_left = parent;
  parent->_parent = subR;
  
  //60和30的父节点进行连接
  //如果30是根节点,更新根节点指针_root指向60
  //if(_root == parent)
  if(ppNode == nullptr)
  {
    _root = subR;
  }
  else{
    //60和30的父节点进行连接,先要确定30是父节点的左子树还是右子树
    if(ppNode->_left == parent)
    {
      ppNode->_left = subR;
    }
    else{                  
      ppNode->_right = subR;
    }
  }
  subR->_parent = ppNode;
  //更新平衡因子,进过旋转60和30的平衡因子变为0
  subR->_bf = parent->_bf = 0;
}

4.2 右单旋

新节点插入较高左子树的左侧—左左:右单旋

在这里插入图片描述

详细解释参考左单旋。

template <class K, class V>
void AVLTree<K,V>::RotateR(Node *parent){
  Node *subL = parent->_left;
  Node *subLR = subL->_right;
  Node *ppNode = parent->_parent;

  parent->_parent = subL;
  subL->_right = parent;                                                                                                         
  parent->_left = subLR;
  if(subLR != nullptr)
  subLR->_parent = parent;

  //if(_root == parent)
  if(ppNode == nullptr)
  {
    _root = subL;
  }
  else{
    if(ppNode->_left == parent)
    {
      ppNode->_left = subL;
    }
    else{
      ppNode->_right = subL;
    }
  }
  subL->_parent = ppNode;
    
  subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

旋转的作用:1. 平衡二叉树 2. 降低二叉树高度(恢复到插入之前的高度h+2)


4.3 左右双旋

新节点插入较高左子树的右侧—左右:先左单旋再右单旋

在这里插入图片描述

将双旋变成单旋后再旋转,即:先对30进行左单旋,然后再对90进行右单旋,旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

左右双旋又能细分为3种情况:

  1. a,b,c,d是空树60是新增,引发双旋。
  2. 在b树插入新增,引发双旋。
  3. 在c树插入新增,引发双旋。

三种情况的双旋过程不变,只是平衡因子的更新需要分别处理:

在这里插入图片描述

双旋的关键在于更新平衡因子,30,60,90三个节点的平衡因子都在两次单旋过程中被错误的置为0(因为并没要满足单旋的条件)。要根据以上三种不同的情况重新调整三个节点的平衡因子。如何区分三种不同的情况?根据旋转之前60的平衡因子确认。

template <class K, class V>
void AVLTree<K,V>::RotateLR(Node *parent){ //parent对应90
  Node *subL = parent->_left; //subL对应30
  Node *subLR = subL->_right; //subLR对应60
  int bf = subLR->_bf; //记录旋转之前60的平衡因子
  RotateL(subL); //30左单旋
  RotateR(parent); //90右单旋
    
  //更新平衡因子
  subLR->_bf = 0; //60的平衡因子一定为0     
  switch(bf) //根据旋转之前60的平衡因子确认属于那种情况
  {
    case 1:
      subL->_bf = -1;
      parent->_bf = 0;
      break;
    case -1:
      subL->_bf = 0;
      parent->_bf = 1;
      break;
    case 0:
      subL->_bf = 0;
      parent->_bf = 0;
      break;
    default:
      //除非代码有错,否则不可能有其他情况。
      assert(false);
      break;
  }
}

双旋最终的结果是将60作为二叉树的根,60的左右子树分别作了30和90的右左子树。30和90作了60的左右子树。


4.4 右左双旋

新节点插入较高右子树的左侧—右左:先右单旋再左单旋

在这里插入图片描述

详细解释参考左右双旋。

template <class K, class V>
void AVLTree<K,V>::RotateRL(Node *parent){
  Node *subR = parent->_right;
  Node *subRL = subR->_left;
  int bf = subRL->_bf;
  RotateR(subR);
  RotateL(parent);  
  //更新平衡因子                  
  subRL->_bf = 0;
  switch(bf)
  {
    case 1:
      subR->_bf = 0;
      parent->_bf = -1;
      break;
    case -1:
      subR->_bf = 1;
      parent->_bf = 0;
      break;
    case 0:
      subR->_bf = 0;
      parent->_bf = 0;
      break;
    default:
      //除非代码有错,否则不可能有其他情况。
      assert(false);
      break;
  }
}

双旋最终的结果是将60作为二叉树的根,60的左右子树分别作了30和90的右左子树。30和90作了60的左右子树。


4.5 分情况旋转

    else if(abs(parent->_bf) == 2)
    { 
	  //3.更新后为2/-2,说明parent所在的子树已经不平衡了,需要通过旋转恢复平衡。
      if(parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) //右右,左单旋
      {
        RotateL(parent);
      }
	  else if(parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) //右左,右左双旋
      {
        RotateRL(parent);
      }
      else if(parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) //左左,右单旋
      {
        RotateR(parent);                              
      }
      else if(parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) //左右,左右双旋
      {
        RotateLR(parent);
      }
      else
      {
        //除非代码有错,否则不可能有其他情况。
        assert(false);
      }
      break; //注意:旋转完成后,原parent为根的子树个高度降低,已经平衡,不需要再向上更新。
    }

总结:
假如以parent为根的子树不平衡,即parent的平衡因子为2或者-2,分以下情况考虑:

  1. parent的平衡因子为2,说明parent的右子树高,设parent的右子树的根为subR

    • 当subR的平衡因子为1时(右右),执行左单旋

    • 当subR的平衡因子为-1时(右左),执行右左双旋

  2. parent的平衡因子为-2,说明parent的左子树高,设parent的左子树的根为subL

    • 当subL的平衡因子为-1是(左左),执行右单旋

    • 当subL的平衡因子为1时(左右),执行左右双旋

经过旋转后可以直接break;因为经过旋转,插入元素前后子树的高度未发生变化都是h+2,不需要再调整上层节点的平衡因子。一次插入最多一次旋转。

所以,AVL树插入元素的时间复杂度:找插入位置O(log_2N) + 更新平衡因子O(log_2N) + 旋转O(1) = O(log_2N)。


五、AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制,因此要验证AVL树,可以分两步:

  1. 验证其为二叉搜索树
    如果中序遍历可得到一个有序的序列,就说明为二叉搜索树

  2. 验证其为平衡树

  • 每个节点子树高度差的绝对值不超过1

  • 节点的平衡因子是否计算正确

    template <class K, class V>
    bool AVLTree<K,V>::_Isbalance(Node *root){
      if(root == nullptr) return true; //注意,空树也是AVL树
      int lh = _Height(root->_left); //_Height返回二叉树的高度
      int rh = _Height(root->_right);
      int diff = rh-lh; //计算得到平衡因子                                                                                                              
      if(diff != root->_bf)
      {
        cout << "Key: " << root->_kv.first << "bf: " << root->_bf << " 平衡因子异常" << endl;
        return false;
      }
      return abs(diff) < 2 && _Isbalance(root->_left) && _Isbalance(root->_right);
    }
    
  1. 测试用例

    //插入一两组序列测试
    void Test1(){
      //int arr[] = {16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15};
      int arr[] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
      AVLTree<int, int> avl;
      for(auto e : arr)
      {
        avl.Insert(make_pair(e, e));          
      }
      avl.Inorder();
      cout << "Isbalance: " << avl.Isbalance() << endl;
    }
    
    //插入10000个随机值测试
    void Test2(){
      srand(time(NULL));
      AVLTree<int, int> avl;
      const int N = 10000;
      for(int i = 0; i<N; ++i)
      {
        int x = rand();
        avl.Insert(make_pair(x, i));
      }
      cout << "Isbalance: " << avl.Isbalance() << endl;
    }
    

六、AVL树的删除(了解)

AVL树节点的删除步骤如下:

  1. 在AVL树中找到要删除的节点。
  2. 如果要删除的节点是叶子节点,直接删除即可。
  3. 如果要删除的节点只有一个子节点,先使前驱节点指向该节点的子节点,然后删除该节点。
  4. 如果要删除的节点有两个子节点,需要找到该节点的替换节点(即该节点右子树中最小的节点或左子树中最大的节点),然后交换与替换节点的值,最后删除替换节点。
  5. 在删除节点后,需要更新从该节点到根节点路径上所有节点的平衡因子,并进行平衡调整,使得整棵树重新满足AVL树的性质。

删除操作的平衡调整方法和AVL树的插入操作相似,但在实现时需要注意一些细节上的差异。需要注意的是,删除操作可能会导致多个节点的平衡因子发生变化,因此需要一直向上循环更新和平衡调整,直到根节点。具体实现大家可以参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。


七、AVL树的性能

  • AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树,其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1,这样可以保证查询时高效的时间复杂度,即log_2 (N)

  • 但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作,性能非常低下,比如:插入时要维护其绝对平衡,旋转的次数比较多;更差的是在删除时,有可能一直要让旋转持续到根的位置。

  • 因此,如果需要一种查询高效且有序的数据结构,而且数据的个数为静态的(即不会改变),可以考虑AVL树。但一个结构经常修改,就不太适合。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.coloradmin.cn/o/954151.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

相关文章

定位与轨迹-百度鹰眼轨迹开放平台-学习笔记

1. 百度鹰眼轨迹的主要功能接口 百度的鹰眼轨迹平台&#xff0c;根据使用场景不同&#xff0c;提供了web端、安卓端等各种类型的API与SDK&#xff0c;本文章以web端API为例&#xff0c;介绍鹰眼轨迹的使用。 2. API使用前的准备 使用鹰眼轨迹API&#xff0c;需要两把钥匙&…

真香!Jenkins 主从模式解决问题So Easy~

01、Jenkins 能干什么 Jenkins 是一个开源软件项目&#xff0c;是基于 Java 开发的一种持续集成工具&#xff0c;用于监控持续重复的工作&#xff0c;旨在提供一个开放易用的软件平台&#xff0c;使软件项目可以进行持续集成。 中文官网&#xff1a;https://jenkins.io/zh/ …

OpenCV(十一):图像仿射变换

目录 1.图像仿射变换介绍 仿射变换&#xff1a; 仿射变换矩阵&#xff1a; 仿射变换公式&#xff1a; 2.仿射变换函数 仿射变换函数&#xff1a;warpAffine() 图像旋转&#xff1a;getRotationMatrix2D() 计算仿射变换矩阵&#xff1a;getAffineTransform() 3.demo 1.…

并发(CAS ABA问题)07

CAS public class Hsss {public static void main(String[] args) {AtomicInteger atomicIntegernew AtomicInteger(201);//CAS compareAndSet 比较并交换//如果我期望的值达到了&#xff0c;那么就更新&#xff0c;否则&#xff0c;就不更新atomicInteger.compareAndSet(201,2…

Java版电子招投标管理系统源码-电子招投标认证服务平台-权威认证

项目说明 随着公司的快速发展&#xff0c;企业人员和经营规模不断壮大&#xff0c;公司对内部招采管理的提升提出了更高的要求。在企业里建立一个公平、公开、公正的采购环境&#xff0c;最大限度控制采购成本至关重要。符合国家电子招投标法律法规及相关规范&#xff0c;以及…

TL6478(TI TMS320C6748 DPS)EVM开发板技术讲座 第一讲:串口终端ZOC软件的安装

串口终端ZOC软件的安装 1. 软件获得2. 安装软件3. 软件设置1. 软件获得 zoc602串口工具下载地址: https://download.csdn.net/download/Windgs_YF/88279060 2. 安装软件 1、将zoc602.zip文件解压,双击解压目录中的zoc602.exe安装文件,弹出如下安装界面: 2、点击 Next,…

Python+turtle实现一个图片播放器

我们可以利用Pythonturtle实现一个简易的图片播放器&#xff0c;我们先看一下效果图 完整版代码&#xff1a; [D:\照片\\ i for i in os.listdir(D:\照片)]&#xff1a;os.listdir(‘这里写上你图片的保存路径’) Screen().bgpic(pic_list[num])&#xff0c;加载图片至turtle的…

手敲视觉slam14讲 ch7 / pose_estimation_3d2d.cpp (1)

首先理清我们需要实现什么功能&#xff0c;怎么实现&#xff0c;提供一份整体逻辑&#xff1a;包括主函数和功能函数 主函数逻辑&#xff1a; 1. 读图,两张rgb&#xff08;cv::imread&#xff09; 2. 找到两张rgb图中的特征点匹配对 2.1定义所需要的参数&#xff1a;keypoints…

BOM对MES管理系统的影响与作用

在建设MES管理系统中&#xff0c;BOM&#xff08;物料清单&#xff09;具有至关重要的作用。它提供了产品的组成部分和结构信息&#xff0c;支持生产过程的监控、协调和管理。本文将详细探讨BOM在MES管理系统中的影响和作用。 一、生产过程指导 BOM为MES系统提供了产品的组成部…

MP中的字段还可以利用函数来查询拼接sql

//根据value查询GetMapping("getTest")public List<HashMap> getTest() {QueryWrapper<TTest> queryWrapper new QueryWrapper<>();queryWrapper.eq("substr(name,1,2)","99999");List<TTest> list1 testService.list…

电脑使用快捷键的各种方法

电脑使用快捷键可以帮助我们提高日常操作效率&#xff0c;例如&#xff1a; CTRLC&#xff1a;复制选中内容。 CTRLV&#xff1a;粘贴复制的内容。 CTRLX&#xff1a;剪切选中内容。 CTRLA&#xff1a;全选当前页面内容。 SHIFTDELETE&#xff1a;永久删除选中内容。 CTRL…

银河麒麟V10安装libmcrypt

本次安装是在华为云上执行。cpu是鲲鹏&#xff0c;操作系统是银河麒麟V10. 先下载安装包&#xff1a; wget http://downloads.sourceforge.net/mcrypt/libmcrypt-2.5.8.tar.gz 解包&#xff0c;进入目录中。 执行如下命令&#xff1a; ./configure make make install 执…

GarageSale for Mac:Mac上最好的eBay在线拍卖客户端

GarageSale for Mac是一款适用于Mac操作系统的应用&#xff0c;它可以帮助用户在苹果电脑上创建、管理和组织自己的个人销售活动。如果你希望在Mac上进行有效的推广&#xff0c;以下是一些可能有帮助的建议&#xff1a; 确定目标受众&#xff1a;在推广之前&#xff0c;了解你…

Leetcode415 字符串相加

思路&#xff1a; 从末尾开始相加&#xff0c;进位可以最后统一处理&#xff0c;因为再怎么进也是最多只进一位 class Solution:def addStrings(self, num1: str, num2: str) -> str:# 确保1里是更长的字符串if len(num1) < len(num2):num1_list list(num2)num2_list …

持续加码,科士达重仓储能!

储能的热度&#xff0c;如温度计一样真实展现在各种数据榜单上&#xff1a;新注册企业的数量&#xff0c;转型跨界的企业&#xff0c;尤其IPO募资扩产规模&#xff0c;更是成为了储能企业竞赛的新标准。 日前&#xff0c;科士达一则新的定向募资预案&#xff0c;吸引了业内广泛…

腾讯音乐如何基于大模型 + OLAP 构建智能数据服务平台

本文导读&#xff1a; 当前&#xff0c;大语言模型的应用正在全球范围内引发新一轮的技术革命与商业浪潮。腾讯音乐作为中国领先在线音乐娱乐平台&#xff0c;利用庞大用户群与多元场景的优势&#xff0c;持续探索大模型赛道的多元应用。本文将详细介绍腾讯音乐如何基于 Apach…

【算法篇】动态规划(一)

文章目录 拆分字符串三角形最小路径和不同路径最小路径和背包问题 class Solution { public:int fib(int n) {// if(n0)// {// return 0;// }// if(n1||n2)// {// return 1;// }// return fib(n-1)fib(n-2);//上面的方法会发现时间复杂度太大&#xff0c;超出时间限制O…

今天使用python进行开发

前言&#xff1a;相信看到这篇文章的小伙伴都或多或少有一些编程基础&#xff0c;懂得一些linux的基本命令了吧&#xff0c;本篇文章将带领大家服务器如何部署一个使用django框架开发的一个网站进行云服务器端的部署。 文章使用到的的工具 Python&#xff1a;一种编程语言&…

EOCR-SE2/EOCRSE2在数控技术行业的应用

EOCR-SE2电动机保护器是施耐德EOCR系列中一款以低成本、高性能著称的产品&#xff0c;其广泛应用于各种机床设备中。 EOCRSE2-05RS品牌&#xff1a;施耐德&#xff0c;产地&#xff1a;韩国益山工厂&#xff0c;型号&#xff1a;EOCR-SE2,电流范围&#xff1a;3-30A&#xff0…

如果应对2023年国赛

国赛倒计时一周&#xff0c;大家多看看优秀论文&#xff0c;赛前多思考&#xff0c;使大脑在活跃状态&#xff0c;更好的应对题目。 需要历年游戏论文的小伙伴可私信我&#xff0c;或关注微信公众号私信我