前言

        二叉树是一种特殊的树，它最大的度为2，每个节点至多只有两个子树。它是一种基础的数据结构，后面很多重要的数据结构都是依靠它来进行实现的。了解并且掌握它是很重要的。

目录

1.二叉树的介绍

        1.1概念

        1.2现实中的二叉树

        1.3特殊的二叉树

        1.4二叉树的性

        1.5二叉树的存储结构 

2.二叉树链式结构的实现 

        2.1创建一颗伪二叉树

        2.2二叉树的遍历

                2.2.1前序，中序和后序遍历

                2.2.2层序遍历 

        2.3二叉树的节点个数及高度等

        2.4二叉树的创建及销毁 

        2.5全部代码

---

 

1.二叉树的介绍

        1.1概念

        一颗二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

        1.或者为空

        2.由根节点外加两颗别称为左子树和右子树的二叉树组成

        1.2现实中的二叉树

        1.3特殊的二叉树

        满二叉树：一个二叉树，如果每一层的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且节点的总数是二的K次方-1，则它就是满二叉树。

        完全二叉树 ： 完全二叉树是一种效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有N个节点的二叉树，当且仅当每个节点都与深度为K的满二叉树中编号从1到N的节点一一对应时，称为完全二叉树。

        1.4二叉树的性

         1.若规定根节点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层最多有2的i-1次方个节点。

         2.若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树最大的节点数为2的h次方减1。

         3.对于任意一颗二叉树，如果度为零其叶子结点的个数为n0，度为2的分支节点个数为n2，则有n0 = n2 + 1；

        4.若规定根节点的层数为1，其n个节点的满二叉树的深度，h = log2（n+1）.(log2(n + 1)是以2为底，n+1为对数)；

        5.对于具有n个节点的完全二叉树，如果按照从上至下，从左至右的数组顺序对所有的节点从0开始编号，则对于序号为i的节点有：

        1.若i大于0，i位置双亲节点的序号：（i - 1）/2; i = 0,i为根节点编号，无双亲节点

        2.若2i+1<n,左孩子的序号：2i+1；2i+1>=n，则无左孩子。

        3.若2i+2<n,右孩子序号：2i+2,2i+2>=n,则无右孩子。

        1.5二叉树的存储结构 

        二叉树一般有两种结构的存储方式，一种是顺序结构，一种是链式结构。

        1.顺序存储

        顺序存储使用的数组，一般数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费，而现实中只有堆 才使用数组来存储。二叉树的顺序存储在物理上是数组，在逻辑上是一颗二叉树。

         2.链式存储

        二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一颗二叉树，即用链表来指示元素之间的逻辑关系。通常的方法是每个节点由左，右指针域和数据域组成。左，右指针分别用来给出该节点左孩子和右孩子所在节点的地址。链式存储结构又分为二叉链和三叉链。现在我们使用的是二叉链。

         

2.二叉树链式结构的实现 

        2.1创建一颗伪二叉树

        这里需要快速创建一颗二叉树，为了降低理解的难度，先创建一颗伪二叉树来进行学习，便于理解。

        //BTree.h

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
typedef char BTDataType;
typedef struct BTreeNode
{
	BTDataType _data;
	struct BTreeNode* _left;
	struct BTreeNode* _right;
}BTreeNode;
BTreeNode* BuyBTreeNode(BTreeNode* node, BTDataType c);//申请一棵树的节点

BTreeNode* CreatBinaryTree(BTreeNode* root);//创建一棵树

        //BTree.c

BTreeNode* BuyBTreeNode(BTreeNode* node,BTDataType c)
{
	BTreeNode*cur = (BTreeNode*)malloc(sizeof(BTreeNode));
	cur->_data = c;
	cur->_left = cur->_right = NULL;
}
BTreeNode* CreatBinaryTree(BTreeNode* root)//创建一棵树
{
	root = BuyBTreeNode(root, 'A');
	BTreeNode* B = BuyBTreeNode(root, 'B');
	BTreeNode* C = BuyBTreeNode(root, 'C');
	BTreeNode* D = BuyBTreeNode(root, 'D');
	BTreeNode* E = BuyBTreeNode(root, 'E');
	BTreeNode* F = BuyBTreeNode(root, 'F');

	root->_left = B;
	root->_right = C;
	B->_left = D;
	C->_left = E;
	C->_right = F;
	return root;
}

        2.2二叉树的遍历

                2.2.1前序，中序和后序遍历

        学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树的遍历就是按照某种特定的规则，依次对二叉树的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问节点的操作依赖于具体的问题，遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树进行其他运算的基础。

        按照规则二叉树的遍历有：前序，中序和后序的递归结构遍历：

        1.前序遍历(Preorder Traversal ），亦称为先序遍历，访问根节点的操作发生在访问左右子树之前。

        2.中序遍历（Inorder Traversal)--访问根节点的操作发生在访问左右子树之间。

        3.后序遍历（Post Traversal）--访问根节点的操作发生在左右子树之后。

        由于被访问的节点必是某树的根，所以N（Node） ，L（Left subtree）和R（Right subtree）又可以解释为，根节点，根的左子树和根的右子树。NLR,LNR,LRN分别称为先根遍历，中根遍历和后根遍历。

        

        前序遍历的代码：

// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ",root->_data);
	PreOrder(root->_left);//左子树
	PreOrder(root->_right);//右子树
}

        前序遍历的递归图解： 

 

        中序遍历和后序遍历的代码： 

        

// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PreOrder(root->_left);//左子树
	printf("%c ", root->_data);//根
	PreOrder(root->_right);//右子树
}
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PreOrder(root->_left);//左子树
	PreOrder(root->_right);//右子树
	printf("%c ", root->_data);//根

}

         中序和后序遍历的展开图解和前序遍历的类似，有兴趣的友友可以自己画画看。

                2.2.2层序遍历 

        二叉树的层序遍历是通过借助队列来实现的，将一颗树的根入队，出队时，如果根的左，右节点不为空就将根的左右节点依次入队，当队列为空时结束循环，这样就完成了二叉树的层序遍历。  

void LevelOrder(BTreeNode* root)//层序遍历
{
	//创建队列
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))//队列不为空，出队头的元素，同时取节点判断左右子树是否为空
	{
		BTreeNode* cur = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		printf("%c ", cur->_data);
		if (cur->_left)//左子树存在
		{
			QueuePush(&q, cur->_left);//将当前节点的左子树入队
		}
		if (cur->_right)//右子树存在
		{
			QueuePush(&q, cur->_right);//将当前节点的右子树入队
		}
		
	}
}

        2.3二叉树的节点个数及高度等

        递归求二叉树的高度是在当前节点求出左，右子树的高度，再将左，右子树中高度大的那个加一就是当前树的高度。

int BinarTreelen(BTreeNode* root)//求树的高度
{

	if (root == NULL)
		return 0;
	int leftsize = BinarTreelen(root->_left);
	int rightsize = BinarTreelen(root->_right);
	return leftsize > rightsize ? leftsize + 1 : rightsize + 1;//高度等于下一层左右节点高的那个加1
}

        二叉树叶子结点的个数，通过递归求解，首先叶子节点肯定满足左右子树都为空，所以如果左右子树都为空的话，就直接返回1，说明当前节点就是叶子节点，否则继续递归去找叶子节点。

int BinaryTreeLeafSize(BTreeNode* root)
{
	if (root == NULL)//节点为空直接返回
		return 0;
	if (root->_left == NULL && root->_right == NULL)//左右节点都为空
		return 1;//说明当前节点为叶子节点
	return BinaryTreeLeafSize(root->_left) + BinaryTreeLeafSize(root->_right);//递归去求左右子树
}

        求二叉树的节点个数，如果当前节点不为空，就+1，然后递归求左，右子树中的节点数。如果当前节点为NULL则返回0.

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTreeNode* root)
{
	if (root == NULL)//当前节点为NULL
		return 0;
	return 1 + BinaryTreeSize(root->_left) + BinaryTreeSize(root->_right);//前序遍历的方式求树的节点个数
}

         二叉树查找值为x的节点，通过前序遍历二叉树，如果二叉树当前节点的值等于x就返回当前节点。

BTreeNode* BinaryTreeFind(BTreeNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)//如果节点为NULL
		return NULL;//返回NULL
	if (root->_data == x)
		return root;//找到值为x的节点，返回
	BTreeNode*cur = BinaryTreeFind(root->_left, x);
	if (cur)//找到了就返回节点的地址
		return cur;
	cur = BinaryTreeFind(root->_right, x);
	if (cur)//找到了就返回节点的地址
		return cur;
	return NULL;//如果这棵树没有找到就返回NULL
}

        求二叉树的第K层的节点个数，采用分治的思想：一颗树第K层的节点等于左子树K-1层的节点+右子树K-1层的节点。  结束条件是，如果当K等于1时，返回1，当当前节点为NULL时返回0。

// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTreeNode* root, int _k)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	if (_k == 1 && root)//如果K等于1直接返回
		return 1;
	return BinaryTreeLevelKSize(root->_left, _k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->_right, _k - 1);//递归到左，右子树K-1层中去找节点数
}

        判断一颗二叉树是不是完全二叉树，借助 队列，采用层序遍历的方式，但是这里不判断当前树的左右子树是否为空，取队头的数据时，直接将该节点的左，右子树入队。当取到的队头的数据为空时，结束循环。如果是完全二叉树，那么剩余在队列中的所有的NULL应该是连续的。再将队列中所有的元素都出队，如果全部为空就满足完全二叉树，如果不是就不满足完全二叉树。 

bool BinaryTreeComplete(BTreeNode* root)//判断一棵树是不是完全二叉树
{
	if (root == NULL)
		return true;
	//创建队列
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))//队列不为空，出队头的元素，同时判断取出来的节点是否为空
	{
		BTreeNode* cur = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (cur == NULL)
			break;//当前节点为空直接结束循环
		QueuePush(&q, cur->_left);
		QueuePush(&q, cur->_right);
	}
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		//判断队列中剩下的元素是否有不为空的
		BTreeNode* cur = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (cur)
			return false;
	}
	//如果走到这里还没有返回说明是完全二叉树
	return true;
}

        2.4二叉树的创建及销毁 

         通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树。

        思路：通过递归去构建二叉树，因为给出的是前序遍历的数组，而数组中的#表示NULL，因此需要参数来记录数组的位置，也需要将字符数组传递给构建函数，如果遇到#就返回NULL，如果不是就申请空间初始化data域，并且将申请的空间进行返回，然后去递归构建左右子树。

#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef struct BTreeNode
{

	char _data;

	struct BTNode* _left;

	struct BTNode* _right;

}BTreeNode;

void InOrder(BTreeNode* root)

{
	if (root == NULL)
		return;
	//左子树
	InOrder(root->_left);
	//根
	printf("%c ", root->_data);
	//右子树
	InOrder(root->_right);
}

BTreeNode* BinaryTreeCreate(char* a, int* pi)
{
	if (a[*pi] == '#')
	{
		++(*pi);
		return NULL;
	}
	BTreeNode* node = (BTreeNode*)malloc(sizeof(BTreeNode));//申请节点
	node->_data = a[*pi];
	(*pi)++;
	//递归构建左右子树
	node->_left = BinaryTreeCreate(a, pi);
	node->_right = BinaryTreeCreate(a, pi);
	return node;
}
int main() 
{
	char s[50] = { 0 };
	scanf("%s", s);
	int i = 0;
	//使用前序遍历构建树
	BTreeNode* root = BinaryTreeCreate(s, &i);
	//使用中序遍历打印树的节点的值
	InOrder(root);
	return 0;
}

        二叉树的销毁，如果采用前序遍历的方式进行销毁，就需要保存当前节点，所以建议采用后序遍历的方式进行销毁。 

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTreeNode* root)//这里为了保持接口的一致性采用一级指针
{
	if (root == NULL)
		return;
	BinaryTreeDestory(root->_left);
	BinaryTreeDestory(root->_right);
	free(root);
}

        2.5全部代码

        //BTree.h

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<stdbool.h>
typedef char BTDataType;
typedef struct BTreeNode
{
	BTDataType _data;
	struct BTreeNode* _left;
	struct BTreeNode* _right;
}BTreeNode;
BTreeNode* BuyBTreeNode(BTreeNode* node, BTDataType c);//申请一棵树的节点

BTreeNode* CreatBinaryTree(BTreeNode* root);//创建一棵树

// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTreeNode* root);
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTreeNode* root);
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTreeNode* root);

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTreeNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTreeNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTreeNode* root, int _k);

int BinarTreelen(BTreeNode* root);//求树的高度
// 二叉树查找值为x的节点
BTreeNode* BinaryTreeFind(BTreeNode* root, BTDataType x);

void LevelOrder(BTreeNode* root);//层序遍历

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTreeNode* root);
bool BinaryTreeComplete(BTreeNode* root);//判断一棵树是不是完全二叉树

         //BTree.c

#include"BTree.h"
#include"Queue.h"
BTreeNode* BuyBTreeNode(BTreeNode* node,BTDataType c)
{
	BTreeNode*cur = (BTreeNode*)malloc(sizeof(BTreeNode));
	cur->_data = c;
	cur->_left = cur->_right = NULL;
	return cur;
}
BTreeNode* CreatBinaryTree(BTreeNode* root)//创建一棵树
{
	root = BuyBTreeNode(root, 'A');
	BTreeNode* B = BuyBTreeNode(root, 'B');
	BTreeNode* C = BuyBTreeNode(root, 'C');
	BTreeNode* D = BuyBTreeNode(root, 'D');
	BTreeNode* E = BuyBTreeNode(root, 'E');
	BTreeNode* F = BuyBTreeNode(root, 'F');

	root->_left = B;
	root->_right = C;
	B->_left = D;
	C->_left = E;
	C->_right = F;
	return root;
}
// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTreeNode* root){
	if (root == NULL)
	{ return;}
	printf("%c ",root->_data);
	PreOrder(root->_left);//左子树
	PreOrder(root->_right);//右子树
}
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PreOrder(root->_left);//左子树
	printf("%c ", root->_data);//根
	PreOrder(root->_right);//右子树
}
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PreOrder(root->_left);//左子树
	PreOrder(root->_right);//右子树
	printf("%c ", root->_data);//根

}

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTreeNode* root)
{
	if (root == NULL)//当前节点为NULL
		return 0;
	return 1 + BinaryTreeSize(root->_left) + BinaryTreeSize(root->_right);//前序遍历的方式求树的节点个数
}
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTreeNode* root)
{
	if (root == NULL)//节点为空直接返回
		return 0;
	if (root->_left == NULL && root->_right == NULL)//左右节点都为空
		return 1;//说明当前节点为叶子节点
	return BinaryTreeLeafSize(root->_left) + BinaryTreeLeafSize(root->_right);//递归去求左右子树
}
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTreeNode* root, int _k)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	if (_k == 1 && root)//如果K等于1直接返回
		return 1;
	return BinaryTreeLevelKSize(root->_left, _k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->_right, _k - 1);//递归到左，右子树K-1层中去找节点数
}
int BinarTreelen(BTreeNode* root)//求树的高度
{

	if (root == NULL)
		return 0;
	int leftsize = BinarTreelen(root->_left);
	int rightsize = BinarTreelen(root->_right);
	return leftsize > rightsize ? leftsize + 1 : rightsize + 1;//高度等于下一层左右节点高的那个加1
}
// 二叉树查找值为x的节点

BTreeNode* BinaryTreeFind(BTreeNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)//如果节点为NULL
		return NULL;//返回NULL
	if (root->_data == x)
		return root;//找到值为x的节点，返回
	BTreeNode*cur = BinaryTreeFind(root->_left, x);
	if (cur)//找到了就返回节点的地址
		return cur;
	cur = BinaryTreeFind(root->_right, x);
	if (cur)//找到了就返回节点的地址
		return cur;
	return NULL;//如果这棵树没有找到就返回NULL
}

void LevelOrder(BTreeNode* root)//层序遍历
{
	//创建队列
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))//队列不为空，出队头的元素，同时取节点判断左右子树是否为空
	{
		BTreeNode* cur = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		printf("%c ", cur->_data);
		if (cur->_left)//左子树存在
		{
			QueuePush(&q, cur->_left);
		}
		if (cur->_right)//右子树存在
		{
			QueuePush(&q, cur->_right);
		}
		
	}
}

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTreeNode* root)//这里为了保持接口的一致性采用一级指针
{
	if (root == NULL)
		return;
	BinaryTreeDestory(root->_left);
	BinaryTreeDestory(root->_right);
	free(root);
}
bool BinaryTreeComplete(BTreeNode* root)//判断一棵树是不是完全二叉树
{
	if (root == NULL)
		return true;
	//创建队列
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))//队列不为空，出队头的元素，同时判断取出来的节点是否为空
	{
		BTreeNode* cur = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (cur == NULL)
			break;//当前节点为空直接结束循环
		QueuePush(&q, cur->_left);
		QueuePush(&q, cur->_right);
	}
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		//判断队列中剩下的元素是否有不为空的
		BTreeNode* cur = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (cur)
			return false;
	}
	//如果走到这里还没有返回说明是完全二叉树
	return true;
}

#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef struct BTreeNode
{

	char _data;

	struct BTNode* _left;

	struct BTNode* _right;

}BTreeNode;

void InOrder(BTreeNode* root)

{
	if (root == NULL)
		return;
	//左子树
	InOrder(root->_left);
	//根
	printf("%c ", root->_data);
	//右子树
	InOrder(root->_right);
}

BTreeNode* BinaryTreeCreate(char* a, int* pi)
{
	if (a[*pi] == '#')
	{
		++(*pi);
		return NULL;
	}
	BTreeNode* node = (BTreeNode*)malloc(sizeof(BTreeNode));//申请节点
	node->_data = a[*pi];
	(*pi)++;
	//递归构建左右子树
	node->_left = BinaryTreeCreate(a, pi);
	node->_right = BinaryTreeCreate(a, pi);
	return node;
}

//Queue.h

#pragma once
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdio.h>
#include<stdbool.h>
typedef struct BTreeNode BTreeNode;
typedef  BTreeNode* QDataType;//树节点的声明

typedef struct QueueNode
{
	struct QueueNode* _next;
	QDataType _data;
}QueueNode;
typedef struct  Queue//队列的结构
{
	QueueNode* _head;//头指针
	QueueNode* _tail;//尾指针
}Queue;

void QueueInit(Queue* qu);//初始化栈

void QueueDestory(Queue* qu);//摧毁栈

void QueuePush(Queue* qu,QDataType data);//入队

void QueuePop(Queue* qu);//出队

QDataType QueueFront(Queue* qu);//返回队头元素
QDataType QueueBack(Queue* qu);//返回队尾元素

size_t QueueSize(Queue* qu);//队列长度

bool QueueEmpty(Queue* qu);//判断队列是否为空

        //Queue.c

#include"Queue.h"
void QueueInit(Queue* qu)//初始化栈
{
	qu->_head = qu->_tail = NULL;
}
void QueueDestory(Queue* qu)//摧毁栈
{
	//确保指针有效
	assert(qu);
	QueueNode* cur = qu->_head;
	while (cur)
	{
		QueueNode* next = cur->_next;
		free(cur);
	}
}
void QueuePush(Queue* qu,QDataType data)//入队
{
	if (qu->_head == NULL)
	{
		qu->_head = (QueueNode*)malloc(sizeof(QueueNode));
		qu->_tail = qu->_head;
		qu->_head->_next = NULL;
		qu->_head->_data = data;
	}
	else
	{
		//尾部入数据
		QueueNode* cur = qu->_tail;
		QueueNode* newNode = (QueueNode*)malloc(sizeof(QueueNode));
		cur->_next = newNode;
		newNode->_next = NULL;
		qu->_tail = newNode;
		newNode->_data = data;
	}
}
void QueuePop(Queue* qu)//出队
{
	//队头出数据
	QueueNode* head = qu->_head;
	qu->_head = head->_next;
	free(head);
}
QDataType QueueFront(Queue* qu)//返回队头元素
{
	return qu->_head->_data;
}
QDataType QueueBack(Queue* qu)//返回队尾元素
{
	return qu->_tail->_data;
}
size_t QueueSize(Queue* qu)//队列长度
{
	assert(qu);//确保指针存在
	QueueNode* cur = qu->_head;
	size_t size = 0;
	while (cur)
	{
		++size;
		cur = cur->_next;
	}
	return size;
}
bool QueueEmpty(Queue* qu)//判断队列是否为空
{
	return !qu->_head;
}

        //Test.c

#include"BTree.h"
void TestBTreeNode()
{
	BTreeNode* root = NULL;
	root = CreatBinaryTree(root);
	/*PreOrder(root);
	printf("\n");
	InOrder(root);
	printf("\n");

	PostOrder(root);*/
	
	//printf("%d\n", BinaryTreeSize(root));
	printf("%d\n", BinaryTreeLeafSize(root));
	printf("%d\n", BinarTreelen(root));
	//LevelOrder(root);
	printf("%d\n", BinaryTreeComplete(root));
	printf("%d\n", BinaryTreeLevelKSize(root, 3));
	BinaryTreeDestory(root);
	root = NULL;//根节点置空，防止野指针的问题
}
int main()
{
	TestBTreeNode();
	
}