一般星座点的先验分布

我们考虑通信系统中常用的QAM信号，比如BPSK、QPSK、16QAM等。定义星座点集合为$\mathcal{S}$，那么，我们考虑一个一般的先验分布
$$p(x)=(1-\gamma )\delta (x)+\gamma \sum _i{p}_{s_i}(s_i)\delta (x-s_i)$$

• 其中$\gamma \in [0,1]$表示稀疏度，当$\gamma <1$时，有效星座点为 { 0 } ∪ S \{0\} \cup \mathcal S {0}∪S，为$\gamma =1$时，为$\mathcal{S}$。
• ${\sum }_i{p}_{s_i}(s_i)=1$，没有其他信息时，认为$p_{s_i}(s_i)=\frac{1}{|\mathcal{S}|}$。

AWGN信道模型（或者其他可以提供星座点软信息的模型，例如AMP类算法）

给定AWGN信道模型
$$r=x+w$$

其中$x\sim p(x)$，$w\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(w;0,{\nu }^r)$。我们知道关于$x$的

• 似然信息：$p(r|x)=\mathcal{C}\mathcal{N}(x;r,{\nu }^r)$
• 先验信息：$p(x)=(1-\gamma )\delta (x)+\gamma {\sum }_i{p}_{s_i}(s_i)\delta (x-s_i)$

因此，根据贝叶斯准则，可以得到后验分布为：
$$\begin{array}{rl}p(x|r)& =\frac{p(r|x)p(x)}{\int p(r|x)p(x)dx}\\ & =\frac{(1-\gamma )\mathcal{C}\mathcal{N}(x;r,{\nu }^r)\delta (x)+\gamma {\sum }_i{p}_{s_i}(s_i)\mathcal{C}\mathcal{N}(x;r,{\nu }^r)\delta (x-s_i)}{\int \left((1-\gamma )\mathcal{C}\mathcal{N}(x;r,{\nu }^r)\delta (x)+\gamma {\sum }_i{p}_{s_i}(s_i)\mathcal{C}\mathcal{N}(x;r,{\nu }^r)\delta (x-s_i)\right)dx}\\ & =\frac{(1-\gamma )\mathcal{C}\mathcal{N}(x;r,{\nu }^r)\delta (x)+\gamma {\sum }_i{p}_{s_i}(s_i)\mathcal{C}\mathcal{N}(s_i;r,{\nu }^r)\delta (x-s_i)}{(1-\gamma )\mathcal{C}\mathcal{N}(0;r,{\nu }^r)+\gamma {\sum }_i{p}_{s_i}(s_i)\mathcal{C}\mathcal{N}(s_i;r,{\nu }^r)}\end{array}$$

后验分布的均值（一阶矩）为
$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[x|r\right]& =\int xp(x|r)dx\\ & =\int x\frac{(1-\gamma )\mathcal{C}\mathcal{N}(x;r,{\nu }^r)\delta (x)+\gamma {\sum }_i{p}_{s_i}(s_i)\mathcal{C}\mathcal{N}(s_i;r,{\nu }^r)\delta (x-s_i)}{(1-\gamma )\mathcal{C}\mathcal{N}(0;r,{\nu }^r)++\gamma {\sum }_i{p}_{s_i}(s_i)\mathcal{C}\mathcal{N}(s_i;r,{\nu }^r)}dx\\ & =\frac{\gamma {\sum }_i{p}_{s_i}(s_i)\mathcal{C}\mathcal{N}(s_i;r,{\nu }^r)\cdot s_i}{(1-\gamma )\mathcal{C}\mathcal{N}(0;r,{\nu }^r)+\gamma {\sum }_i{p}_{s_i}(s_i)\mathcal{C}\mathcal{N}(s_i;r,{\nu }^r)}\end{array}$$

后验分布的二阶矩为
$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[|x{|}^2|r\right]& =\int |x{|}^{2}p(x|r)dx\\ & =\frac{\gamma {\sum }_i{p}_{s_i}(s_i)\mathcal{C}\mathcal{N}(s_i;r,{\nu }^r)\cdot |s_i{|}^2}{(1-\gamma )\mathcal{C}\mathcal{N}(0;r,{\nu }^r)+\gamma {\sum }_i{p}_{s_i}(s_i)\mathcal{C}\mathcal{N}(s_i;r,{\nu }^r)}\end{array}$$

后验分布的方差为
$$\text{var}[x|r]=\mathbb{E}\left[|x{|}^2|r\right]-{\left|\mathbb{E}\left[x|r\right]\right|}^2$$

根绝AWGN后验均值与方差的关系，可以进一步得到
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial r^{\ast }}\mathbb{E}\left[x|r\right]& =\frac{1}{{\nu }^r}\text{var}[x|r]\end{array}$$

退化到$\gamma =1$时的统计量（非稀疏）

（1）均值
$$\mathbb{E}\left[x|r\right]=\frac{{\sum }_i{p}_{s_i}(s_i)\mathcal{C}\mathcal{N}(s_i;r,{\nu }^r)\cdot s_i}{{\sum }_i{p}_{s_i}(s_i)\mathcal{C}\mathcal{N}(s_i;r,{\nu }^r)}$$

当$p_{s_i}(s_i)=\frac{1}{|\mathcal{S}|}$时，
$$\mathbb{E}\left[x|r\right]=\frac{{\sum }_i\mathcal{C}\mathcal{N}(s_i;r,{\nu }^r)\cdot s_i}{{\sum }_i\mathcal{C}\mathcal{N}(s_i;r,{\nu }^r)}$$

（2）二阶矩
$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[|x{|}^2|r\right]& =\frac{{\sum }_i{p}_{s_i}(s_i)\mathcal{C}\mathcal{N}(s_i;r,{\nu }^r)\cdot |s_i{|}^2}{{\sum }_i{p}_{s_i}(s_i)\mathcal{C}\mathcal{N}(s_i;r,{\nu }^r)}\end{array}$$

当$p_{s_i}(s_i)=\frac{1}{|\mathcal{S}|}$时，
$$\mathbb{E}\left[x|r\right]=\frac{{\sum }_i\mathcal{C}\mathcal{N}(s_i;r,{\nu }^r)\cdot |s_i{|}^2}{{\sum }_i\mathcal{C}\mathcal{N}(s_i;r,{\nu }^r)}$$

（3）方差和后验均值的一阶导（不变）
方差：
$$\text{var}[x|r]=\mathbb{E}\left[|x{|}^2|r\right]-{\left|\mathbb{E}\left[x|r\right]\right|}^2$$

后验均值的一阶导：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial r^{\ast }}\mathbb{E}\left[x|r\right]& =\frac{1}{{\nu }^r}\text{var}[x|r]\end{array}$$

星座点检测与译码的联合迭代

我们关注下面的模块迭代，重点关注LLR Exchange模块

假设Detector可以提供星座点的软信息（似然信息$p(r|x)$）：$p(r|x)=\mathcal{C}\mathcal{N}(x;r,{\nu }^r)$，根据似然准则，我们可以计算
$$p(r|x=s_i)=\mathcal{C}\mathcal{N}(x=s_i;r,{\nu }^r),,s_i\in \mathcal{S},\forall i$$

我们考虑$2^J$-QAM信号，则每个星座点符号$s_i$包含$J$个比特，那么
（1）LLR Exchange： Left to Right
第$j$个比特的LLR为
$$\begin{array}{rl}LL{R}_j& =\ln \frac{p(r|b_j=0)}{p(r|b_j=1)}\\ & =\ln \frac{{\sum }_{s\in {\mathcal{S}}_j^{-}}p(r|x=s)}{{\sum }_{s\in {\mathcal{S}}_j^{+}}p(r|x=s)}\\ & =\ln \frac{{\sum }_{s\in {\mathcal{S}}_j^{-}}\mathcal{C}\mathcal{N}(x=s;r,{\nu }^r)}{{\sum }_{s\in {\mathcal{S}}_j^{+}}\mathcal{C}\mathcal{N}(x=s;r,{\nu }^r)}\end{array}$$

其中$S_j^{-}$和$S_j^{+}$分别表征对应第$j$个比特为0和1的星座点子集。

（1）LLR Exchange：Right to Left
先把LLR信息转换为bit信息，即
$$\begin{array}{rl}p(b_j=0)& =\frac{e^{LL{R}_j}}{1+e^{LL{R}_j}}\\ p(b_j=1)& =\frac{1}{1+e^{LL{R}_j}}\end{array}$$

然后对应到星座点的软信息为：
$$p_e(x=s)\propto \prod _{j}p(b_j=q_j^s),\forall s\in \mathcal{S}$$

其中 q s ∈ { 0 , 1 } J \boldsymbol q^s \in \{0,1\}^J qs∈{0,1}J表示星座点$s$解调对应到比特序列。最后归一化即可（实际中为了防止出现数值精度问题，可以先取log，再exp）。

最终$p_e(x=s)$可以对应到星座点的有效先验分布$p_{s_i}(s_i)$，如上所述，不断迭代即可。