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一、函数基础知识

1.1 基本初等函数和初等函数

关于什么是函数，什么是反函数，这里就不再赘述，这里列举一下基本初等函数

函数名称	函数
幂函数	xa
指数函数	ax（a > 0且a ≠ 1）
对数函数	logax（a > 0且a ≠ 1）
三角函数	sinx，cosx，tanx，cotx，secx，cscx
反三角函数	arcsinx，arccosx，arctantx，arccotx

三角函数的基本关系

三角函数重要公式


指数运算法则

对数运算法则

下面贴出基本初等函数的图形

1.2 函数的初等特性

初等特性	说明
有界性	y = f(x)，(x∈D)。若∃M > 0，对∀x∈D，总有|f(x)| ≤ M，称函数f(x)在D上有界
单调性	y = f(x)，x∈D。若对∃x1，x2∈D，且x1 < x2，总有f(x1) < f(x2)，称f(x)在D上单调递增。反之，单调递减
奇偶性	函数图形关于原点对称为奇函数，关于y轴对称为偶函数。用公式表达为f(-x) = -f(x)为奇函数；f(-x) = f(x)为偶函数。
周期性	y = f(x)，(x∈D)。若∃T > 0，对∀x∈D，x ± T ∈D，有f(x ± T) = f(x)，称f(x)是以T为周期的周期函数。

注：有界又可以分为有上界和有下界。函数f(x)有界的充要条件是，f(x)既有上界又有下界。

1.3 特殊函数

• 符号函数sgn x
• 狄利克雷函数D(x)。狄利克雷函数处处不连续，处处极限不存在，不可积分，是偶函数。
• 取整函数

关于取整函数有以下内容

• [x] ≤ x
• [x + y] = [x] + [y]不一定成立
• [x + m] = [x] + m一定成立，其中m为一个整数

二、函数题目类型

函数题目通常有求定义域，求反函数，证明有界性，单调性，奇偶性和周期性。

2.1 求定义域

求定义域比较简单，可能有的限制有

• 分母不为零
• 基本初等函数本身的限制
• 二次根号下数值大于等于零

2.2 求反函数

求反函数的思路就是将y = f(x)转换成x = f(y)。本题目的关键点在于知道下面的一个等式

2.3 判断奇偶性

本题目需要明确几个知识点

• 定积分交换上下限时对积分变量取负即可，也就是∫_a^xf(x)dx = ∫_-a^-xf(-x)d(-x)
• d(-x) = -d(x)
• 定积分的可加性，若a<c<b，则∫_a^bf(x)dx = ∫_a^cf(x)dx + ∫_c^bf(x)dx

三、极限基础知识

3.1 极限的定义

情形	定义
数列极限的定义(ε - N)	对∀ε > 0，∃N > 0，当n > N时，有|an - A| ≤ ε，称A为数列an的极限，记为${\lim }_{n\to \infty }$an = A
函数自变量趋于有限值的极限定义(ε - δ)	对∀ε > 0，∃δ > 0，当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - A| < ε，称A为f(x)当x$\to$a时的极限，记为${\lim }_{x\to }$af(x) = A
函数自变量趋于无穷大的极限定义(ε - X)	对∀ε > 0，∃X > 0，当|x| > X时，有|f(x) - A| < ε，称A为f(x)当$x\to \infty$时的极限，记为${\lim }_{x\to \infty }$f(x) = A
自变量趋于$-\infty$时的极限定义	对∀ε > 0，∃X > 0，当x < -X时，有|f(x) - A| < ε，称A为f(x)当$x\to -\infty$时的极限，记为${\lim }_{x\to -\infty }$f(x) = A
自变量趋于$+\infty$时的极限定义	对∀ε > 0，∃X > 0，当x > X时，有|f(x) - A| < ε，称A为f(x)当$x\to +\infty$时的极限，记为${\lim }_{x\to +\infty }$f(x) = A

1. 需要补充的是，我们要真正的理解定义，如果将自变量趋于有限值的极限定义中的|f(x) - A| < ε改为|f(x) - A| < 3ε，是否A还是函数f(x)趋于有限值的极限？答案是，定义依然成立。因为无论是ε还是3ε，都是任意的值，都是符合定义的。
2. 除了上面说的，对于函数自变量趋于有限值的极限，还分为左极限和右极限。函数在一个点极限存在的充要条件是，函数在该点左极限和右极限存在且相等。
3. 对于${\lim }_{x\to }$_a arctant$\frac{1}{x-a}$一定要分左右极限讨论。实际它的左右极限存在，但是不相等，一个为$\frac{\Pi }{2}$，一个为-$\frac{\Pi }{2}$。
4. 若${\lim }_{n\to \infty }$a_n存在，则${\lim }_{n\to \infty }$|a_n|存在；反之，不对。

3.2 极限的性质

3.2.1 极限的一般性质

性质	叙述
唯一性	若极限存在，则极限一定是唯一的
保号性	${\lim }_{x\to }$af(x) = A > 0，则存在δ > 0，当0 < |x - a| < δ时，有f(x) > 0。函数极限正，则去心邻域正；函数极限负，则去心邻域负。
数列极限的有界性	极限存在，数列必有界；反之，不对。
函数极限的局部有界性	函数在某点的极限存在，则函数在其去心邻域内一定有界。
数列极限于子列极限的关系	(1) 若数列极限存在，则该数列的任意子列存在相同的极限；(2) 若任意子列极限存在，则该数列极限不一定存在。

对于极限的保号性有两条推论

• 函数不负，极限不负；函数不正，极限不负。也就是f(x) ≥ 0（或f(x) ≤ 0），且lim f(x) = A，则A ≥ 0（或A ≤ 0）。
• 函数的大小次序与极限的大小次序一致。即f(x) ≥ g(x)，且lim f(x) = A，lim g(x) = B，则A ≥ B。

值得注意的是上面是≥和≤，如果改成>和<，则不一定正确。`

3.2.2 极限的运算性质

首先介绍一下极限的四则运算性质。设lim f(x) = A，lim g(x) = B。

1. lim[f(x) ± g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = A ±B
2. lim f(x)g(x) = AB
3. lim $\frac{f(x)}{g(x)}$ = $\frac{A}{B}$，其中B ≠ 0

需要注意的是，如果lim f(x)或者lim g(x)不存在，则上面的性质不成立。

复合函数极限运算性质

1. 设${\lim }_{u\to }$_af(u) = A，${\lim }_{x\to }$_x0 φ(x) = a，但是φ(x) ≠ a，则${\lim }_{x\to }$_x0 f[φ(x)] = A
2. 设${\lim }_{u\to }$_af(u) = f(a)，${\lim }_{x\to }$_x0 φ(x) = a，但是φ(x) ≠ a，则${\lim }_{x\to }$_x0 f[φ(x)] = f(a)

划重点

3.3 极限存在准则

3.3.1 夹逼定理

（数列型）设a_n ≤ b_n ≤ c_n，若${\lim }_{n\to \infty }$a_n = A，${\lim }_{n\to \infty }$c_n = A，则${\lim }_{n\to \infty }$b_n = A

（函数型）设f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，lim f(x) = lim h(x) = A，则lim g(x) = A

需要注意的是，夹逼定理中的lim f(x) = lim h(x) = A，不可以用lim [f(x) - h(x)] = 0代替。

3.3.2 单调有界的数列必有极限

3.4 无穷小

3.4.1 无穷小的概念与比较

若${\lim }_{x\to }$_aα(x) = 0，称α(x)当x$\to$a时为无穷小。

设α$\to$ 0，β$\to$ 0，若lim$\frac{\beta }{\alpha }$ = 0，称β为α的高阶无穷小，记为β = o(α)。
若lim$\frac{\alpha }{\beta }$ = k（k ≠ 0），称β为α的同阶无穷小，记为β = O(α)。
若lim$\frac{\alpha }{\beta }$ = 1，称β为α的等价无穷小，记为α ~ β。

3.4.2 无穷小的性质

无穷小的基本性质

1. 有限个无穷小的和、差、积仍为无穷小，常数与无穷小的积仍是无穷小。
2. 有界函数与无穷小的积仍为无穷小。
3. lim f(x) = A的充要条件是f(x) = A + α，其中α$\to$ 0。

等价无穷小的性质

1. α ~ β => β ~ α
2. α ~ β，β ~ γ => α ~ γ
3. 若α ~ α₁，β ~ β₁，且lim$\frac{\beta 1}{\alpha 1}$ = A，则lim$\frac{\beta }{\alpha }$ = A
4. α ~ β的充要条件是β = α + o(α)

x$\to 0$时，常用的一些等价无穷小

常用的等价无穷小
x ~ sinx ~ tanx ~ arcsinx ~ arctantx ~ ln(1 + x) ~ ex - 1
1 - cosx ~ $\frac{x^2}{2}$
1 - cosax ~ $\frac{a}{2}$x2
(1 + x)a - 1 ~ ax (a ≠ 0)
ax - 1 ~ xlna

3.5 两个重要的极限

${\lim }_{\Delta \to 0}\frac{sin\Delta }{\Delta }$ = 1
${\lim }_{\Delta \to 0}$(1 + Δ)^1/Δ = e

3.6 几个常用不等式

1. 当0 < α < $\frac{\Pi }{2}$时，sinα < α < tanα
2. 当x ≥ 0时，sinx ≤ x
3. 当x > 0时，ln(1 + x) < x
4. 当x ≠ 0时，e^x > 1 + x

四、极限题目类型

4.1 证明数列极限为某一个值

紧扣定义即可

4.2 利用保号性判断极值点

利用保号性判断极值点有两种方法

• 证明在其去心邻域内的值都小于或者大于该点函数值。
• 证明该点导数为0，且在该点两侧导数值异号。

本题需要明确以下内容

• 函数连续，则极限值等于函数值。
• 分母极限为0，整体极限存在，那么分子极限也为0。

本题需要明确以下知识点

• 原函数连续可导，其一阶导数一定连续。

4.3 求极限

求极限有常规的化简直接求，也有用到泰勒公式展开，二项式定理，或者用到夹逼定理，无穷小等价和两个重要极限来求。

本题需要明确以下知识点

• 二项式定理
  
• C_n^m = $\frac{n!}{m!(n-m)!}$

本题使用夹逼定理。

本题使用夹逼定理，关键点在于知道n! ≥ n(n - 1)(n - 2) (n ≥ 3)

本题利用夹逼定理求出函数f(x)的表达式，然后计算积分。

本题使用两个常用的极限来求解。

五、连续与间断基础知识

5.1 函数连续性概念

• 函数f(x)在点x = a处连续 —— 设函数f(x)在x = a的邻域内有定义，若${\lim }_{x\to a}$f(x) = f(a)或f(a - 0) = f(a + 0) = f(a)，称f(x)在x = a处连续。（极限值等于函数值）
• 若f(a - 0) = f(a)，称f(x)在x = a处做连续；若f(a + 0) = f(a)，称f(x)在x = a处右连续。

函数f(x)在[a,b]上连续 —— 设函数f(x)在[a,ba]上有定义，若满足

• f(x)在(a,b)内连续；
• f(a) = f(a + 0) = f(b - 0)

称函数f(x)在[a,b]上连续，记为f(x) ∈ [a,b]。

划重点

1. 函数f(x)在点x = a处连续的充要条件是左极限等于右极限等于函数值。
2. 若函数f(x)在点x = a处连续，则函数|f(x)|在点x = a处也连续。反之，不对。
3. 若函数f(x)在点x = a处连续，则f(x)在点x = a的去心邻域内不一定连续。

5.2 间断点及分类

若${\lim }_{x\to a}$f(x) ≠ f(a)，称f(x)在x = a处不连续，且x = a为f(x)的间断点。间断点的分类如下

间断点	描述
第一类间断点	若f(a - 0)，f(a + 0)都存在，称x = a为f(x)的第一类间断点，即左右极限都存在，但是不等于函数值
可去间断点	若f(a - 0) = f(a + 0) ≠ f(a)，称x = a为f(x)的可去间断点，即左右极限存在且相等，但是不等于函数值
跳跃间断点	若f(a - 0) ≠ f(a + 0)，称x = a为f(x)的跳跃间断点，即左极限不等于右极限
第二类间断点	若f(a - 0)，f(a + 0)至少有一个不存在，称x = a为f(x)的第二类间断点

5.3 闭区间上连续函数的性质

性质	描述
最值定理	若f(x) ∈ [a,b]，则f(x)在[a,b]上一定存在最大值和最小值
有界定理	若f(x) ∈ [a,b]，则f(x)在[a,b]上一定有界
零点定理	若f(x) ∈ [a,b]，且f(a)f(b) < 0，则存在ξ ∈ (a,b)，使得f(ξ) = 0
介值定理	若f(x) ∈ [a,b]，对任意的η ∈ [m,M]，则存在ξ ∈ [a,b]，使得f(ξ) = η

划重点

1. 设f(x) ∈ [a,b]，证明关于ξ ∈ (a,b)的命题时，一般使用零点定理。
2. 设f(x) ∈ [a,b]，证明关于ξ ∈ [a,b]的命题时，一般使用介值定理。
3. 设f(x) ∈ [a,b]，若出现函数值相加的条件，一般使用介值定理。

六、连续与间断题目类型

6.1 求间断点并分类

通常是看函数无定义的点，讨论左右极限，根据定义判断间断点类型。

6.2 利用闭区间上连续函数的性质证明命题

本题需要明确以下知识点

• 罗尔定理
  设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a) = f(b)，则存在ξ ∈ (a,b)，使得f(ξ) = 0。