写这篇文章的时候已经是2023年的8月份，GNN for molecule property prediction 这个小领域正在变得火热起来，各大榜单被不断刷新，颇有当年 CNN 刷榜 imagenet 的势头。

由于对力、维里等性质有着内禀优势，当下高居榜首的模型毫无疑问是NequIP, MACE这些等变模型。与此同时，传统不变模型的江山正在一点点被蚕食，逐渐走向没落。话虽如此，学习不变模型依然是有必要的，因为不变的3D-based模型成功打败了传统的2D模型，其对角度、二面角等几何信息的利用，消息传递机制的设计都非常值得我们学习。

本篇博客，我们将依次介绍首次纳入角度信息的DimeNet（2020 ICLR），受DimeNet启发的GemNet (NeurIPS 2021)，PAINN（2021 ICML）和SphereNet（2022 ICLR）以及做到局域完备性的ComENet（NeurIPS 2022）。

（放GNN Expressive的slide镇楼）

DimeNet

DimeNet 是划时代的一个网络架构。

之所以给这么高的评价，是因为在 DimeNet 之前，所有的网络结构最多只利用了几何信息中的距离信息，而 DimeNet 是第一个将角度信息引入 GNN 的模型，虽然引入的方式现在看十分的笨重。

其消息传递机制如下所示：

节点 i 有 Ni 个邻居，节点 j 是其中一个。节点 j 又有 Nj 个邻居，k1, k2, k3是其中三个。

节点 i 将收到来自 Ni 个邻居的 Ni 条信息，每一条信息的制作过程由 各个邻居负责。以邻居 j 为例，它将除了 i 意外的所有自己邻居的信息进行一个汇总，后再传给 i，这期间就包含了以 j 为核心的，角度 k1 j i 的信息。

如果你觉得上面这段话抽象，你可以设想节点 i 是一个国王，他将向子民收税。首先，国王向大臣（最近的一圈邻居）收税。大臣们收到命令后，向老百姓收税，大臣们汇集之后，再向国王缴税。当然这是一个简化的模型。

不过，可以很清晰的看到，这种消息传递的机制涉及 2-hop 的消息传递，这使得 DimeNet 的算力消耗大幅增加。

为了充分利用引入的角度信息，DimeNet 从 DFT 领域中引入了球极坐标系，以便适配 spherical harmonics 基组。

然而，DimeNet 部分模块设计非常不合理，其改进版本 DimeNet++ 很快发布，并在2020年底登上了 NeurIPS。现在 DIG 仓库中已经没有 DimeNet 了，默认的是 DimeNet++ 版本。

GemNet，PAINN和SphereNet

DimeNet 的发布引起了不小的轰动，多位研究小组加入战场。其中比较有代表性的分别是 GemNet 和 PAINN。SphereNet 入局较晚，但也收获了一篇ICLR。

GemNet 的思路比较好理解，既然 2-hop 的消息传递能够提升精度，3-hop 势必能更进一步。如果说， 2-hop 可以引入 三体 间的角度，那么 3-hop 则可以引入 四体 间的二面角。

我们顺延上一小节的例子就是，国王向大臣征税，大臣向乡绅征税，乡绅向老百姓征税，过三层。国王、大臣、乡绅和百姓构成的四体关系能够有效提炼出二面角信息。

然而，这样做的代价就是，虽然精度提高了，但计算量猛增。从 DimeNet 的 $O(n{k}^2)$ 增到 $O(n{k}^3)$
GemNet 在 qm9 上维持了相当长时间的 SOTA 记录，但从技术角度看，这并不是一个 smart 的技术路线。

PAINN 则指出，DimeNet 的角度引入方式可以进一步精简。

PAINN 创新性的引入了向量的概念，如上图所示。PAINN 对比了三个几何信息。距离信息仅需要 O(N) 的计算量，但无法反映键角的变化。键角信息的计算需要 $O(n^2)$ 的成本，然而方向信息可以进一步缩减至 $O(n)$ 。（两向量求和本身就包含了键角信息）

因此，PAINN 将消息传递分成了由标量几何信息（距离）承载的路线和由向量几何信息（方向）承载的路线。（并行的两条）

这种方式进一步可以将整个网络架构改造成等变网络，对力，导热性质等的预测精度大幅提升。我想，这大概是等变网络兴起的开端。（至少也是起了推动作用）

最后，发布 DimeNet 的 ShuiwangJi 小组在2021年也发布了能够嵌入二面角信息的网络 SphereNet，然而由于 GemNet 表现过于亮眼（虽然大部分是计算量换来的）SphereNet 未能在 2021 年见刊，最终拖延到了2022年年初发表在了 ICLR 上。

SphereNet 的思路和 GemNet 是类似的，也是在 距离、角度 后面缀上二面角。既然是二面角信息，就不可避免要设计到 四体。

在 GemNet 中，四体是国王，大臣，乡绅和老百姓。等级分明。所以是 3-hop 的消息传递机制。

在 SphereNet 中，四体设计为，国王，大臣，乡绅和乡绅。具体来说，国王和大臣构成了球极坐标的z轴，众乡绅向大臣进贡的同时需要遵循一个逆时针的顺序，即需要拿自己紧邻的，逆时针方向前，的乡绅当参考点，求出四体的二面角。

显然，这是一个 2-hop 的消息传递机制，计算量比 GemNet $O(n{k}^3)$ 小，与 DimeNet $O(n{k}^2)$ 相当。

但是，SphereNet 并不是一个 local 完备的模型。在 SphereNet 原文中，作者指出，SphereNet 可以有效区分 手性分子，但对于一些特别刁钻的情形，SphereNet 依然无法有效区分。

ComENet

把 ComENet 放在最后并单独成章，是因为 ComENet 的发布代表了不变网络最后的辉煌。

彼时已进入2022年下半年，各大数据集早已被等变网络霸榜。不变网络似乎迎来了英雄落幕。

ComENet 从数学角度严格证明了其 local 完备性，并大幅降低计算量至 1-hop 水平。这使得 ComENet 计算速度大幅提升，同时理论上拥有不输于 SphereNet 的 local 鉴别能力。但这并没有在部分数据集上取得精度的提升（QM9），部分原因可能是（笔者个人猜测） 2-hop 的模型可能比 1-hop 抓取信息的效率更高。

那 ComENet 是怎么进行消息传递的呢？
如下图所示：

ComENet 也定义了一个 四体（为了拿到二面角信息），只不过这个四体是以边为中心的。

我们还用国王收税举例：

1. 国王 i 最终是要从邻居（大臣 j ）那里一一收税的，这其实对应了消息传递的最后阶段。
2. 那么大臣 j 怎么收税呢？
   2.1 大臣 j 首先收角度的税。他找来了同样是大臣的，距离 i 最近的点 $$\begin{gathered} f_{i \\ j} \end{gathered}$$ 作为参考点，收一个角度税 $$\begin{gathered} f_{i \\ j} \end{gathered}$$, i, j
   2.2 大臣 j 收一个二面角的税。他找来了同样是大臣的，距离 i 最近的点 $$\begin{gathered} f_{i \\ j} \end{gathered}$$ 作为一个参考点，又找来了同样是大臣的，距离 i 第二近的点 $s_i$ 作为第二个参考点。平面 $$\begin{gathered} f_{i \\ j} \end{gathered}$$, i, j 和 平面 $$\begin{gathered} f_{i \\ j} \end{gathered}$$, i, $s_i$ 构成一个二面角。注意，$$\begin{gathered} f_{i \\ j} \end{gathered}$$, i, $s_i$ 平面与 j 无关，因此是一个参考平面。
   2.3 大臣 j 向自己最近的乡绅收一个二面角的税。为什么要收这个税？是因为，前面这些税，实际上已经可以将 i 的 local 固定住了。但 local i 的 completeness 并不能随着消息传递拓展至外边。对此，作者提出将 节点 j 的最近一个邻居作为参考点，只要固定住了 $$\begin{gathered} f_{i \\ j} \end{gathered}$$, i, j, $$\begin{gathered} f_{j \\ i} \end{gathered}$$ 四者构成的二面角，我们就可以在经过消息传递后收获全局的完备性。

ComENet 的伪代码如下：

其中的 Eq.1 如下：

大眼一看，ComENet 确实是一个 1-hop 的模型。但上面国王的例子中，我们可以看到，ComENet 又确实涉及到了乡绅阶层。这是一个相对模糊的事情：

1. ComENet 在进行点节点向量的迭代时，仅涉及了邻居节点的特征向量，从这个角度看是 1-hop 的。（ Eq.1 ）
2. ComENet 在计算所谓的 rotable bond 的时候，用到了邻居的邻居，（但也紧紧是计算了一个二面角作为输入），这里面确实有一些 2-hop 的几何信息泄露。
3. 从计算量角度看，ComENet 是一个 $O(nk)$ ，k 指 i 的邻居，n 指 i 的个数。这个是毋庸置疑的。

总体来说，这种 local -> global 的思路与 ClofNet 不谋而和，然而， ComENet 是基于球极坐标系的，这使其难以使用等变网络的算子。虽然 ComENet 在部分实验中，和不变网络相比取得了不错的表现（尤其是速度），但这些很难和等变网络进行对比。

与之相对的， ClofNet 继承了 local completeness 的设计优点，并进一步将其与等变算子结合形成了 leftnet。leftnet 在多个数据集上爆杀特杀，预计在很长一段时间内将保持 SOTA 优势。

小结

不变网络的发展历程总体来看是一个“不断纳入更多几何信息”的过程，发展至 ComENet ，我想几何信息的收集已经可以画上完美的句号。从更庞大的视角看，不变网络第一次完美击败了 2DGNN，让3DGNN登上舞台。同时，不变网络所衍生出的技术路线——以 PAINN 为代表的等变网络，则以更加猛烈的攻势抢占分子表征疆土。

谁会是这片领土最终的统治者，我们不得而知。但至少属于不变网络的辉煌已经落幕，本文间记之。