红黑树定义

红黑树是一种二叉搜索树，但在每个节点上增加一个存储位标识节点的颜色，RED或BLACK。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因而接近平衡。（可以看出红黑树的控制平衡的条件没有AVL树那么严格）

红黑树的性质

1.每个结点不是黑色就是红色
2.根节点是黑色的
3.如果一个结点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
4.对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
5.每个叶子节点都是黑色的（这里的叶子结点指的是空结点）

红黑树一些操作要点

定义方面

为了满足根节点是黑色，我们增加了一个头结点并变成黑色，这个头结点的左指向最小结点，右指向最大节点。

插入方面

红黑树是在二叉搜索树上加上了颜色限制，因此红黑树的插入可以分为两步：
1.按照二叉搜索树的方式插入
2.检测新节点插入后，红黑树的性质是否遭到了破坏。

由于新节点的默认颜色是红色，此时我们就可能双亲结点颜色，如果双亲结点是黑色，则满足红黑树性质；但如果双亲结点时红色时，就不满足性质三。

接下来我们来细看这三种情况
（cur是当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔结点）

情况一：cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

此时又可以分为，该树是一颗完整的树还是一棵子树
当它是一棵完整的子树时，g也就是根节点必须时黑色，不为黑要改成黑色
当它是一棵子树时，g不是根节点，g就必须有双亲结点，此时就有两个连续的红色结点，这是就必须向上调整

简述一下解决方案就是：将p ，u改为黑，g改成红，然后把g当成cur,继续向上调整

情况二：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑（外侧）

此时我们主要看u这两种情况：
1.如果u不存在，则cur一定是新插入结点，因为如果不是新插入结点，为了满足性质4，每条路径上的黑色节点个数相同，则cur和p一定有一个是黑色结点。
2.如果u存在，则其一定是黑色的，那么cur结点原来的颜色一定是黑色的，现在是红色的原因是，cur的子树在调整的过程中将cur结点的颜色由黑变红

现在看下子树旋转变色的过程
1.p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋
2.p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋
p,g变色----p变黑，g变红

情况三：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑（内侧）

1.p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋
2.p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋

红黑树的验证

红黑树的验证也分为两步：
1.验证是否满足二叉搜索数（中序遍历是否为有序序列）
2.检测是否满足红黑数的五种性质

代码实现

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
#include <algorithm>

using namespace std;

enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;

	pair<K, V> _kv;

	Colour _col;

	RBTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
	{}
};

template<class K, class V>
struct RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K,V> Node;
public:
	//按照二叉搜索树来插入新节点
	//如果不满足那五个条件就就进行旋转改色处理
	bool Insert(const pair<K,V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv < kv)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv > kv)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;

		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		cur->_parent = parent;

		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
			assert(grandfather);
			assert(grandfather->_col == BLACK);

			if (parent == grandfather->_left)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;
				//uncle存在且为红
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
					//继续向上处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					//情况二三，不存在或者存在且为黑
					//情况二：右单旋+变色
					//			g
					//		p		u
					//	c
					if (cur == parent->_left)
					{
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						//左右单旋+变色
						//			g
						//		p		u
						//			c
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
			else//(parent==grandfather->_right)
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;
				//情况一
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					//情况二：左单旋+变色
					//			g
					//		u		p
					//					c
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						//情况三：右左单旋+变色
						//			g
						//		u		p
						//			c
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
		}
		_root->_col = BLACK;
		return true;

	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	bool IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			return true;
		}

		if (_root->_col == RED)
		{
			cout << "根节点不是黑色" << endl;
			return false;
		}

		//看黑色结点数
		int bechmark = 0;
		return PrevCheck(_root, 0, bechmark);
	}
private:
	bool PrevCheck(Node* root, int blacknum, int& benchmark)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			if (benchmark == 0)
			{
				benchmark = blacknum;
				return true;
			}

			if (blacknum != benchmark)
			{
				cout << "某条黑色节点数不对" << endl;
				return false;
			}
			else
			{
				return true;
			}
		}

		if (root->_col == BLACK)
		{
			blacknum++;
		}

		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << "存在连续的红色结点" << endl;
			return false;
		}

		return PrevCheck(root->_left, blacknum, benchmark)
			&& PrevCheck(root->_right, blacknum, benchmark);
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			return;
		}

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right); 
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* ppNode = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (_root == parent)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			subR->_parent == ppNode;
		}
	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent == parent;
		}

		Node* ppNode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (_root == parent)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

红黑树和AVL数的比较

红黑树和AVL数都是高效平衡二叉树，增删查改的时间复杂度都是O(logn)，不存在什么，最坏的时间复杂度。
红黑树不追求绝对平衡，只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相较而言降低了插入和旋转的次数，因此增删效率会比AVL数高一点，实际上使用红黑树可能会更多一点。