DP动态规划的基本手段及如何解决问题

1. 那带一个问题，只要解决几个对应的小一点规模的问题就能得到问题本身的解

2. 设计一张表格，每一个格子都是一个问题的解

3. 一步步完成这张表格，根据一个数据，往表格前面的数据查找

4. 获得问题本身的答案

B3635 硬币问题

题面

题目描述

今有面值为 1、5、11 元的硬币各无限枚。

想要凑出 n 元，问需要的最少硬币数量。

输入格式

仅一行，一个正整数 n。

输出格式

仅一行，一个正整数，表示需要的硬币个数。

输入输出样例

输入 #1

15

输出 #1

3

输入 #2

12

输出 #2

2

说明/提示

样例解释

对于样例数据 1，最佳方案是 15=5+5+5，使用到 3 枚硬币。

对于样例数据 2，最佳方案是 12=11+1，使用到 2 枚硬币。

题解

根据题目中的解释，使用贪心或者暴力的方法是肯定写不出正解的。因此模拟一下如果需要凑15枚硬币，那么如果第一次选择

面值为1枚的硬币：还需要凑14枚

面值为5枚的硬币：还需要凑10枚

面值为11枚的硬币：还需要凑4枚

可推算出递推公式，只要计算出当前i的三个面值选项中的min，需要的最小硬币树，继续递归，不断更新f[i]直到i递归到n。

递推公式：

需要注意的是当考虑面值为5或11是需要判断当前需要的硬币是否大于5或11，否则会越界并且不能使用对应面值的硬币。

这就是一个减小规模的过程，就成为动态规划，用一些小的问题解决一个大的问题

代码

#include<iostream>
using namespace std;
int f[10000010]; // 定义 f 数组 
int main() {
    int n;
    cin >> n;

    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        f[i] = f[i-1] + 1;  // i-1 元的方案数，外加一枚 1 元。

        if(i>=5) // 考察 i-5 元外加一枚 5 元是否更优
            f[i] = min(f[i], f[i-5]+1); 
        
        if(i>=11) // 考察 i-11 元外加一枚 11 元是否更优
            f[i] = min(f[i],f[i-11]+1);
    }

    cout << f[n] << endl; // 输出答案，n 元最少几枚

    return 0;
}

B3636 文字工作

题面

题目描述

机器猫要在电脑前打字。一共需要打 n 个字，但现在文档里只有一个字。

机器猫有两种操作可以做。假设现在已经有 x 个字，机器猫可以选择：

• 往文档最后加一个字。字数变成 x+1。
• 把文档复制粘贴一遍。字数变成 2x。

问机器猫至少需要多少次操作，才能得到恰好 n 个字。

输入格式

仅一行，一个正整数 n。

输出格式

仅一行，一个正整数，表示最少操作次数。

输入输出样例

输入 #1

16

输出 #1

4

输入 #2

5

输出 #2

3

说明/提示

样例解释

样例数据1，1→2→4→8→16，共 4 步。

样例数据2，1→2→4→5，共 3 步。

题解

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int f[1000005];

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    for(int i=2; i<=n; i++) {
        f[i] = f[i-1] + 1; // 方案 1

        if(i%2==0)  // 如果它可能是方案 2
            f[i] = min(f[i], f[i/2] + 1); // 方案 2
    }

    cout << f[n] << endl;

    return 0;
}