弗洛伊德算法

介绍

1. 和 Dijkstra 算法一样，弗洛伊德（Floyd）算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。
2. 弗洛伊德算法计算图中各个顶点之间的最短路径。
3. 迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。
4. 弗洛伊德算法和迪杰斯特拉算法的区别：迪杰斯特拉算法通过选定的被访问点，求出从出发访问顶点到其它顶点的最短路径；弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点，所以需要将每一个顶点看做被访问顶点，求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径。

分析

1. 设置顶点 vi 到顶点 vk 的最短路径已知为 Lik，顶点 vk 到 vj 的最短路径已知为 Lkj，顶点 vi 到 vj 的路径为 Lij，则 vi 到 vj 的最短路径为：min((Lik + Lkj) , Lij)，vk 的取值为图中所有顶点，则可获得 vi 到 vj 的最短路径。
2. 至于 vi 到 vk 的最短路径 Lik 或者 vk 到 vj’ 的最短路径 Lkj，是以同样的方式获得。

弗洛伊德算法最佳应用 - 最短路径

1. 战争时期，胜利乡有 7 个村庄（A,B,C,D,E,F,G）
2. 各个村庄的距离用边线表示（权），比如 A - B 距离 5 公里
3. 问：如何计算出各村庄到其他各个村庄的最短距离？

代码演示

public class FloydAlgorithm {
    public static void main(String[] args) {
        char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        // 邻接矩阵
        int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
        final int N = 65535; // 表示不可连接
        matrix[0] = new int[]{0, 5, 7, N, N, N, 2};
        matrix[1] = new int[]{5, 0, N, 9, N, N, 3};
        matrix[2] = new int[]{7, N, 0, N, 8, N, N};
        matrix[3] = new int[]{N, 9, N, 0, N, 4, N};
        matrix[4] = new int[]{N, N, 8, N, 0, 5, 4};
        matrix[5] = new int[]{N, N, N, 4, 5, 0, 6};
        matrix[6] = new int[]{2, 3, N, N, 4, 6, 0};

        Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex);
        graph.floyd();
        graph.show();
    }
}

// 创建图
class Graph {
    private char[] vertex; // 存放顶点的数组
    private int[][] dis; // 保存从各个顶点出发到其他顶点的距离，最后的结果，也是保留在该数组
    private int[][] pre; // 保存到达目标顶点的前驱顶点

    /**
     * 构造器初始化
     *
     * @param length 大小
     * @param matrix 邻接矩阵
     * @param vertex 顶点数组
     */
    public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) {
        this.vertex = vertex;
        this.dis = matrix;
        this.pre = new int[length][length];
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            Arrays.fill(pre[i], i);
        }
    }

    /**
     * 显示 pre 数组和 dis 数组
     */
    public void show() {
        char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        for (int k = 0; k < dis.length; k++) {
            // 先将 pre 数组输出一行
            for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
                System.out.print(vertex[pre[k][i]] + " ");
            }
            // 输出 dis 数组的一行
            System.out.println();
            for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
                System.out.print("(" + vertex[k] + "到" + vertex[i] + "最短路径是：" + dis[k][i] + ") ");
            }
            System.out.println();
            System.out.println();
        }
    }

    /**
     * 弗洛伊德算法
     */
    public void floyd() {
        int len = 0; // 变量保存距离
        // 对中间顶点的遍历
        for (int k = 0; k < dis.length; k++) {
            // 从 i 顶点开始出发
            for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
                // 到 j 顶点结束
                for (int j = 0; j < dis.length; j++) {
                    len = dis[i][k] + dis[k][j]; // 从 i 顶点出发 经过 k 顶点 到达 j 顶点的距离
                    if (len < dis[i][j]) {
                        dis[i][j] = len; // 更新真实距离
                        pre[i][j] = pre[k][j]; // 更新前驱顶点
                    }
                }
            }
        }
    }
}