5、卷积神经网络

5.1、卷积

5.1.1、理论部分

全连接层后，卷积层出现的意义？

一个足够充分的照片数据集，输入，全连接层参数，GPU成本，训练时间是巨大的。

（convolutional neural networks，CNN）是机器学习利用自然图像中一些已知结构的创造性方法，需要更少的参数，在处理图像和其他类型的结构化数据上各类成本，效果，可行性普遍优于全连接层。

卷积层做了什么？

将输入和核矩阵进行互相关运算，加上偏移后得到输出。

图片中找模式的原则

• 平移不变性
• 局部性

对全连接层使用如上原则得到卷积层。

（详细待补充）

二维卷积层

$$Y=X★W+b$$

• 输入$X$：$n_h\times n_w$

  图中，h：高、w：宽、输入大小 n = 3。

• 核$W$：$k_h\times k_w$

  图中，卷积核大小 k = 2，超参数。

• 偏差 b∈ R

• 输出 $Y$：$（n_h-k_h+1）\times （n_w-k_w+1）$

  图中 （3-2 +1）*（3-2 +1） = 4 ，计算的是 Y 的形状。

• ★：二维交叉操作子 | 外积

• W 和 b是可学习的参数

卷积效果举例

5.1.2、代码实现

（1）实现互相关运算

---

卷积运算 ≠ 互相关运算

卷积运算：在卷积运算中，核心（也称为滤波器）在进行滑动时，会被翻转（180度旋转）后与输入数据进行逐元素相乘，并将乘积求和作为输出。这意味着核心的权重是翻转的。在卷积运算中，处理核心的边界像素会被覆盖，所以输出的大小通常会小于输入的大小。

互相关运算：在互相关运算中，核心与输入数据进行逐元素相乘，并将乘积求和作为输出，但核心不进行翻转。互相关运算不会覆盖核心的边界像素，所以输出的大小与输入的大小通常是一致的。

在深度学习中，人们通常使用卷积运算的术语来描述这种操作，尽管实际实现可能使用了互相关运算。卷积运算和互相关运算在数学上的操作相似，但在处理核心边界像素时存在微小的差异。在实际深度学习应用中，这两个术语通常可以互换使用。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

def corr2d(X, K):  #@save
    """计算二维互相关运算"""
    h, w = K.shape
    Y = torch.zeros((X.shape[0] - h + 1, X.shape[1] - w + 1))
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            #点积求和
            Y[i, j] = (X[i:i + h, j:j + w] * K).sum()
    return Y

验证运算结果

X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
K = torch.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
corr2d(X, K)

result：

tensor([[19., 25.],
     [37., 43.]])

实现二维卷积层

class Conv2D(nn.Module):
    def __init__(self,kernel_size):
        super().__init__()
        self.weight =nn.Parameter(torch.rand(kernel_size))
        self.bias = nn.Parameter(torch.zeros(1))
        
    def forward(sekf, x):
        return 	corr2d(x,self.weight) + self.bias

（2）学习由X生成Y卷积核

---

#一个输入通道、一个输出通道，不使用偏置
conv2d = nn.Conv2d(1,1,kernel_size=(1,2),bias =False)

X = X.reshape((1,1,6,8))
Y = Y.reshape((1,1,6,7))

for i in range(10):
    Y_hat = conv2d(X)
    l = (Y_hat - Y) **2
    conv2d.zero_grad()
    l.sum().backward()
    conv2d.weight.data[:] -=3e-2 * conv2d.weight.grad
    if(i + 1)% 2 == 0:
        print(f'batch{i + 1}, loss {l.sum():.3f}')

所学卷积核权重

conv2d.weight.data.reshape((1,2))

tensor([[ 1.0084, -0.9816]])

5.1.3、边缘检测

利用卷积层检测 图像中的不同边缘

输入

X = torch.ones((6,8))
X[:, 2:6]  =0
X

tensor([[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
     [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
     [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
     [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
     [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
     [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.]])

核矩阵

K = torch.tensor([[1,-1]])

输出

Y  = corr2d(X,K)
Y

tensor([[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
     [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
     [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
     [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
     [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
     [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.]])

只能检测垂直边缘

Y  = corr2d(X.t(),K)
Y

tensor([[0., 0., 0., 0., 0.],
     [0., 0., 0., 0., 0.],
     [0., 0., 0., 0., 0.],
     [0., 0., 0., 0., 0.],
     [0., 0., 0., 0., 0.],
     [0., 0., 0., 0., 0.],
     [0., 0., 0., 0., 0.],
     [0., 0., 0., 0., 0.]])

将核矩阵一起转置

Y  = corr2d(X.t(),K.t())
Y

水平边缘检测可行。

tensor([[ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
     [ 1.,  1.,  1.,  1.,  1.,  1.],
     [ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
     [ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
     [ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
     [-1., -1., -1., -1., -1., -1.],
     [ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.]])

5.2、填充和步幅

5.2.1、理论部分

填充操作

更大的卷积核可以更快地减小输出大小。

如果不想结果太小，也可以通过填充实现输出更大尺寸的X，实现控制输出形状的减少量。

填充$p_h$行$p_w$列，输出形状：

$$（n_h-k_h+p_h+1）\times （n_w-k_w+p_w+1）$$

通常取 $p_h=k_h-1,p_w=k_w-1$

• $k_h$奇数：上下两侧填充 $p_h/2$
• $k_h$偶数：上侧填充 $\lceil p_h/2\rceil$下侧填充$\lfloor p_h/2\rfloor$

步幅

步幅指行/列滑动步长。

设置步幅的效果？

成倍减少输出形状。

下图为高3宽2步幅示意图：

（图片来自 《DIVE INTO DEEP LEARNING》）

给定步幅，高度$s_h$宽度$s_w$，输出形状：

$$\lfloor (n_h-k_h+p_h+s_h)/s_h\rfloor \times \lfloor (n_w-k_w+p_w+s_w)/s_w\rfloor$$

如果输入高度宽度可被步幅整除，形状为：

$$(n_h/s_h)\times (n_w/s_w)$$

5.2.2、代码实现

填充、步幅是卷积层超参数。

所有侧边填充一个像素

import torch
from torch import nn

def comp_conv2d(conv2d, X):
    X = X.reshape((1,1) + X.shape)
    Y =conv2d(X)
    return Y.reshape(Y.shape[2:])

conv2d = nn.Conv2d(1,1,kernel_size=3,padding=1)
X= torch.rand(size=(8,8))
comp_conv2d(conv2d,X).shape

填充相同高度宽度

import torch
from torch import nn

def comp_conv2d(conv2d, X):
    X = X.reshape((1,1) + X.shape)
    #执行一次卷积操作
    Y =conv2d(X)
    return Y.reshape(Y.shape[2:])
#padding=1 在输入数据的边界填充一行和一列的零值
conv2d = nn.Conv2d(1,1,kernel_size=3,padding=1)
X= torch.rand(size=(8,8))
comp_conv2d(conv2d,X).shape

torch.Size([8, 8])

不同高度宽度

conv2d = nn.Conv2d(1,1,kernel_size=(5,3),padding=(2,1))
comp_conv2d(conv2d,X).shape

torch.Size([8, 8])

增设步幅，其宽高为2

conv2d = nn.Conv2d(1,1,kernel_size=3,padding=1,stride =2)
comp_conv2d(conv2d,X).shape

torch.Size([4, 4])

成倍缩小。

5.3、多输入多输出通道

5.3.1、理论部分

彩色RGB图片，是三通道输入数据。

每个通道都有一个卷积核，结果为各通道卷积的和。

1×1卷积层

不识别空间，用途是融合通道。

二维卷积层（多通道）

$$Y=X★W+B$$

• 输入$X$：$c_i\times n_h\times n_w$

  $c_i$输入通道数、h高、w宽、输入大小 n。

• 核$W$：$c_o\times c_i\times k_h\times k_w$

  $c_o$输出通道数、卷积核大小 k。其中，$c_o$是卷积层的超参数。

• 偏差 $B$ ：$c_o\times c_i$

  一共有$c_o\times c_i$个卷积核 每个卷积核都有一个偏差

• 输出 $Y$：$c_o\times m_h\times m_w$

  $m_h{m}_w$大小与 填充p、核大小k有关。

• ★：二维交叉操作子 | 外积

怎么理解每个输出通道有独立的三维卷积核？

具有三个维度：高度、宽度和通道数。

5.3.2、代码实现

（1）实现多通道互相关运算

---

定义多通道输入

import torch
from d2l import torch as d2l
#先遍历“X”和“K”的第0个维度（通道维度），再把它们加在一起
def corr2d_multi_in(X,K):
    return sum(d2l.corr2d(x,k) for x,k in zip(X,K))

多通道第零维度的几何意义？



图中X第零维度有两组，几何上就是通道数。

X :

(tensor([[[0., 1., 2.],
          [3., 4., 5.],
          [6., 7., 8.]],

         [[1., 2., 3.],
          [4., 5., 6.],
          [7., 8., 9.]]]),

定义X，K

# X 2*3*3
X = torch.tensor([[[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]],
               [[1.0, 2.0, 3.0], [4.0, 5.0, 6.0], [7.0, 8.0, 9.0]]])
#K 2*2*2
K = torch.tensor([[[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]], [[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]]])

X,K,corr2d_multi_in(X, K)

(tensor([[[0., 1., 2.],
       [3., 4., 5.],
       [6., 7., 8.]],

      [[1., 2., 3.],
       [4., 5., 6.],
       [7., 8., 9.]]]),
tensor([[[0., 1.],
       [2., 3.]],

      [[1., 2.],
       [3., 4.]]]),
tensor([[ 56.,  72.],
      [104., 120.]]))

定义多通道输出

def corr2d_multi_in_out(X,K):
    # 使用 PyTorch 的 torch.stack 函数，它将一组张量沿着指定的维度（这里是维度0）进行堆叠，生成一个新的张量。
    return torch.stack([corr2d_multi_in(X,k) for k in K],0)
# K+1 K的每个值加一，K规模扩成了原来3倍。
K = torch.stack((K,K+1,K+2),0)
K,K.shape

(tensor([[[[0., 1.],
        [2., 3.]],

       [[1., 2.],
        [3., 4.]]],


      [[[1., 2.],
        [3., 4.]],

       [[2., 3.],
        [4., 5.]]],


      [[[2., 3.],
        [4., 5.]],

       [[3., 4.],
        [5., 6.]]]]),
torch.Size([3, 2, 2, 2]))

返回值那一行为什么用小k对应X，多通道输入那里不是用的大K对应X，然后第零维度展开，抽出x，k对应计算吗？

K扩了三倍，所以用小k规模和原来的K相当，因此X 对应扩充前的K，扩充后的小k。

corr2d_multi_in_out(X,K)

tensor([[[ 56.,  72.],
      [104., 120.]],

     [[ 76., 100.],
      [148., 172.]],

     [[ 96., 128.],
      [192., 224.]]])

（2）实现1*1卷积核

---

def corr2d_multi_in_out_1x1(X, K):
    c_i, h, w = X.shape
    c_o = K.shape[0]
    X = X.reshape((c_i, h * w))
    K = K.reshape((c_o, c_i))
    # 全连接层中的矩阵乘法
    Y = torch.matmul(K, X)
    return Y.reshape((c_o, h, w))

X = torch.normal(0, 1, (3, 3, 3))
K = torch.normal(0, 1, (2, 3, 1, 1))

Y1 = corr2d_multi_in_out_1x1(X, K)
Y2 = corr2d_multi_in_out(X, K)
# 进行断言，验证使用 1x1 卷积操作得到的输出 Y1 与多通道卷积操作得到的输出 Y2 是否非常接近，以确保两种方法的结果一致
assert float(torch.abs(Y1 - Y2).sum()) < 1e-6

5.4、池化层 | 汇聚层

5.4.1、理论部分

最大池化，每个窗口最强的模式信号，它针对卷积对空间位置敏感（边缘检测案例），允许输入有一定的偏移。

也有平均池化层。

特点

• 具有填充，步幅；
• 没有可学习的参数；
• 输出通道 = 输入通道，一一对应。

5.4.2、代码实现

池化层向前传播

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
    p_h, p_w = pool_size
    Y = torch.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w + 1))
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            if mode == 'max':
                Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].max()
            elif mode == 'avg':
                Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].mean()
    return Y

验证最大池化层

X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))

tensor([[4., 5.],
  [7., 8.]])

验证平均池化层

pool2d(X, (2,2), 'avg')

tensor([[2., 3.],
  [5., 6.]])

使用内置的最大池化层

X = torch.arange(16, dtype=torch.float32).reshape((1, 1, 4, 4))
X

tensor([[[[ 0.,  1.,  2.,  3.],
       [ 4.,  5.,  6.,  7.],
       [ 8.,  9., 10., 11.],
       [12., 13., 14., 15.]]]])

pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)#等价于nn.MaxPool2d((3,3), padding=(1,1), stride=(2,2))
pool2d(X)

tensor([[[[ 5.,  7.],
       [13., 15.]]]])

pool2d = nn.MaxPool2d((2, 3), stride=(2, 3), padding=(0, 1))
pool2d(X)

tensor([[[[ 5.,  7.],
       [13., 15.]]]])

验证多通道

汇聚层在每个输入通道上单独运算，输出通道数与输入通道数相同。

拼接上 torch.cat和torch.stack的区别

torch.cat 是在现有维度上进行拼接。

torch.stack 用于创建一个新的维度，并将多个张量沿该新维度进行堆叠。

# 将两个张量 X, X + 1 进行拼接
X = torch.cat((X, X + 1), 1)
X

tensor([[[[ 0.,  1.,  2.,  3.],
    [ 4.,  5.,  6.,  7.],
    [ 8.,  9., 10., 11.],
    [12., 13., 14., 15.]],

   [[ 1.,  2.,  3.,  4.],
    [ 5.,  6.,  7.,  8.],
    [ 9., 10., 11., 12.],
    [13., 14., 15., 16.]]]])

pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)

tensor([[[[ 5.,  7.],
       [13., 15.]],

      [[ 6.,  8.],
       [14., 16.]]]])