交叉熵（Cross Entropy）

是Shannon信息论中一个重要概念，

主要用于度量两个概率分布间的差异性信息。

语言模型的性能通常用交叉熵和复杂度（perplexity）来衡量。交叉熵的意义是用该模型对文本识别的难度，或者从压缩的角度来看，每个词平均要用几个位来编码。复杂度的意义是用该模型表示这一文本平均的分支数，其倒数可视为每个词的平均概率。

平滑是指对没观察到的N元组合赋予一个概率值，以保证词序列总能通过语言模型得到一个概率值。通常使用的平滑技术有图灵估计、删除插值平滑、Katz平滑和Kneser-Ney平滑。

将交叉熵引入计算语言学消岐领域，采用语句的真实语义作为交叉熵的训练集的先验信息，将机器翻译的语义作为测试集后验信息。计算两者的交叉熵，并以交叉熵指导对歧义的辨识和消除。实例表明，该方法简洁有效．易于计算机自适应实现。交叉熵不失为计算语言学消岐的一种较为有效的工具。

　　交叉熵可在神经网络(机器学习)中作为损失函数，p表示真实标记的分布，q则为训练后的模型的预测标记分布，交叉熵损失函数可以衡量p与q的相似性。交叉熵作为损失函数还有一个好处是使用sigmoid函数在梯度下降时能避免均方误差损失函数学习速率降低的问题，因为学习速率可以被输出的误差所控制。

【预备知识】

　　1、信息量；

　　2、信息熵；

　　3、相对熵。

【信息量】

　　所谓信息量是指从N个相等可能事件中选出一个事件所需要的信息度量或含量，也就是在辩识N个事件中特定的一个事件的过程中所需要提问"是或否"的最少次数。在数学上，所传输的消息是其出现概率的单调下降函数。如从64个数中选定某一个数，提问：“是否大于32?”，则不论回答是与否，都消去了半数的可能事件，如此下去，只要问6次这类问题，就可以从64个数中选定一个数。我们可以用二进制的6个位来记录这一过程，就可以得到这条信息。

　　假设X是一个离散型随机变量，其取值集合为X，概率分布函数为p(x)=Pr(X=x),x∈X，我们定义事件X=x0的信息量为： I(x0)=−log(p(x0))，可以理解为，一个事件发生的概率越大，则它所携带的信息量就越小，而当p(x0)=1时，熵将等于0，也就是说该事件的发生不会导致任何信息量的增加。举个例子，小明平时不爱学习，考试经常不及格，而小王是个勤奋学习的好学生，经常得满分，所以我们可以做如下假设：

　　事件A：小明考试及格，对应的概率P(xA)=0.1，信息量为I(xA)=−log(0.1)=3.3219

　　事件B：小王考试及格，对应的概率P(xB)=0.999，信息量为I(xB)=−log(0.999)=0.0014

　　可以看出，结果非常符合直观：小明及格的可能性很低(十次考试只有一次及格)，因此如果某次考试及格了（大家都会说：XXX竟然及格了！），必然会引入较大的信息量，对应的I值也较高。而对于小王而言，考试及格是大概率事件，在事件B发生前，大家普遍认为事件B的发生几乎是确定的，因此当某次考试小王及格这个事件发生时并不会引入太多的信息量，相应的I值也非常的低。

【信息熵】

　　信息理论的鼻祖之一Claude E. Shannon把信息（熵）定义为离散随机事件的出现概率。所谓信息熵，是一个数学上颇为抽象的概念，在这里不妨把信息熵理解成某种特定信息的出现概率。一般而言，当一种信息出现概率更高的时候，表明它被传播得更广泛，或者说，被引用的程度更高。我们可以认为，从信息传播的角度来看，信息熵可以表示信息的价值。为了求得信息的价值，我们通过求信息期望的方式，来求得信息熵。公式如下：H(x) = E[I(xi)] = E[ log(1/p(xi)) ] = -∑p(xi)log(p(xi)) 其中，x表示随机变量，与之相对应的是所有可能输出的集合，定义为符号集,随机变量的输出用x表示。P(x)表示输出概率函数。变量的不确定性越大，熵也就越大，把它搞清楚所需要的信息量也就越大。为了保证有效性，这里约定当p(x)→0时,有p(x)logp(x)→0 。

当X为0-1分布时，熵与概率p的关系如下图：

　　可以看出，当两种取值的可能性相等时，不确定度最大（此时没有任何先验知识），这个结论可以推广到多种取值的情况。在图中也可以看出，当p=0或1时，熵为0，即此时X完全确定。熵的单位随着公式中log运算的底数而变化，当底数为2时，单位为“比特”(bit)，底数为e时，单位为“奈特”。

【相对熵】

　　相对熵，又称KL散度( Kullback–Leibler divergence)，是描述两个概率分布P和Q差异的一种方法。它是非对称的，这意味着D(P||Q) ≠ D(Q||P)。特别的，在信息论中，D(P||Q)表示当用概率分布Q来拟合真实分布P时，产生的信息损耗，其中P表示真实分布，Q表示P的拟合分布。有人将KL散度称为KL距离，但事实上，KL散度并不满足距离的概念，因为：(1)KL散度不是对称的；(2)KL散度不满足三角不等式。

　　设P（X）和Q（X）是X取值的两个离散概率分布，则P对Q的的相对熵为：

　　显然，当p=q 时，两者之间的相对熵DKL(p||q)=0 。上式最后的Hp(q)表示在p分布下，使用q进行编码需要的bit数，而H(p)表示对真实分布p所需要的最小编码bit数。基于此，相对熵的意义就很明确了：DKL(p||q)表示在真实分布为p的前提下，使用q分布进行编码相对于使用真实分布p进行编码（即最优编码）所多出来的bit数。并且为了保证连续性，做如下约定：