迪杰斯特拉算法
介绍
迪杰斯特拉（Dijkstra）算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。它的主要特点是以中心向外层层扩展（广度优先搜索思想），直到扩展到终点为止。
算法过程
设置出发顶点为 v，顶点集合 V{v1,v2,v3…vi}，v 到 V 中各顶点的距离构成距离集合 Dis，Dis{d1,d2,d3…di}，Dis 集合记录着 v 到图中各顶点的距离（到自身可以看做 0，v 到 vi 举例对应为 di）
- 从 Dis 中选择值最小的 di 并移出 Dis 集合，同时移出 V 集合中对应的顶点 vi，此时的 v 到 vi 即为最短路径
- 更新 Dis 集合，更新规则为：比较 v 到 V 结合中顶点的距离值，与 v 通过 vi 到 V 集合中顶点的距离值，保留值最小的一个（同时也应该更新顶点的前驱节点为 vi，表明是通过 vi 到达的）
- 重复执行两步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束
迪杰斯特拉算法最佳应用 - 最短路径
- 战争时期，胜利乡有 7 个村庄（A,B,C,D,E,F,G），现在有六个邮差，从 G 点出发，需要分别把邮件分别送到 A,B,C,D,E,F 六个村庄
- 各个村庄的距离用边线表示（权），比如 A - B 距离 5 公里
- 问：如何计算出 G 村庄到其他各个村庄的最短距离？
- 如果从其他点出发到各个点的最短距离又是多少？
代码实现
public class DijkstraAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
// 邻接矩阵
int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
final int N = 65535; // 表示不可连接
matrix[0] = new int[]{N, 5, 7, N, N, N, 2};
matrix[1] = new int[]{5, N, N, 9, N, N, 3};
matrix[2] = new int[]{7, N, N, N, 8, N, N};
matrix[3] = new int[]{N, 9, N, N, N, 4, N};
matrix[4] = new int[]{N, N, 8, N, N, 5, 4};
matrix[5] = new int[]{N, N, N, 4, 5, N, 6};
matrix[6] = new int[]{2, 3, N, N, 4, 6, N};
// 创建图
Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
graph.showGraph();
graph.dsj(6);
graph.showDijkstra();
}
}
class Graph {
private char[] vertex; // 顶点数组
private int[][] matrix; // 邻接矩阵
private VisitedVertex vv; // 已经访问的顶点的集合
public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {
this.vertex = vertex;
this.matrix = matrix;
}
/**
* 显示结果
*/
public void showDijkstra() {
vv.show();
}
/**
* 显示图
*/
public void showGraph() {
for (int[] link : matrix) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
/**
* 迪杰斯特拉算法
*
* @param index 表示出发顶点对应的下标
*/
public void dsj(int index) {
vv = new VisitedVertex(vertex.length, index);
update(index); // 更新 index 顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
for (int j = 1; j < vertex.length; j++) {
index = vv.updateArr(); // 选择并返回新的访问节点
update(index); // 更新 index 顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
}
}
/**
* 更新 index 下标顶点到周围顶点的距离和周围定额点的前驱顶点
*
* @param index
*/
private void update(int index) {
int len = 0;
// 根据遍历我们的邻接矩阵的 matrix[index] 行
for (int j = 0; j < matrix[index].length; j++) {
// len 含义是：出发顶点到 index 顶点的距离 + 从 index 顶点到 j 顶点的距离的和
len = vv.getDis(index) + matrix[index][j];
// 如果 j 顶点没有被访问过，并且 len 小于出发顶点到 j 顶点的距离，就需要更新
if (!vv.in(j) && len < vv.getDis(j)) {
vv.updatePre(j, index); // 更新 j 顶点的前驱为 index 顶点
vv.updateDis(j, len); // 更新出发顶点到 j 顶点的距离
}
}
}
}
// 已访问顶点集合
class VisitedVertex {
// 记录各个顶点是否访问过 1 表示访问过，0 表示未访问，会动态更新
private int[] already_arr;
// 每个下标对应的值为前一个顶点下标，会动态更新
private int[] pre_visited;
// 记录出发顶点到其他所有顶点的距离，比如 G 为出发顶点，就会记录 G 到其他顶点的距离，会动态更新，求的最短距离就会存放到 dis
private int[] dis;
/**
* 构造器初始化
*
* @param length 表示顶点的个数
* @param index 出发顶点对应的下标
*/
public VisitedVertex(int length, int index) {
this.already_arr = new int[length];
this.pre_visited = new int[length];
this.dis = new int[length];
// 初始化 dis
Arrays.fill(dis, 65535);
this.already_arr[index] = 1; // 设置出发顶点被访问过
this.dis[index] = 0; // 设置出发顶点的访问距离为 0
}
/**
* 判断 index 顶点是否被访问过
*
* @param index 顶点下标
* @return 如果访问过，就返回 true，否则 返回 false
*/
public boolean in(int index) {
return already_arr[index] == 1;
}
/**
* 更新出发顶点得到 index 顶点的距离
*
* @param index 顶点下标
* @param len 长度（距离）
*/
public void updateDis(int index, int len) {
dis[index] = len;
}
/**
* 更新 pre 顶点的前驱顶点为 index 顶点
*
* @param pre 要更新的顶点
* @param index 跟新顶点
*/
public void updatePre(int pre, int index) {
pre_visited[pre] = index;
}
/**
* 返回出发顶点到 index 顶点的距离
*
* @param index 顶点
*/
public int getDis(int index) {
return dis[index];
}
/**
* 继续选择并返回新的访问顶点
*
* @return
*/
public int updateArr() {
int min = 65535, index = 0;
for (int i = 0; i < already_arr.length; i++) {
if (already_arr[i] == 0 && dis[i] < min) {
min = dis[i];
index = i;
}
}
// 更新 index 顶点被访问过
already_arr[index] = 1;
return index;
}
/**
* 显示最后的结果
* 即将三个数组的情况输出
*/
public void show() {
System.out.println("=======================================");
// 输出 already_arr
for (int i : already_arr) {
System.out.print(i + " ");
}
System.out.println();
// 输出 pre_visited
for (int i : pre_visited) {
System.out.print(i + " ");
}
System.out.println();
// 输出 dis
for (int i : dis) {
System.out.print(i + " ");
}
System.out.println();
char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int count = 0;
for (int i : dis) {
if (i != 65535) {
System.out.print(vertex[count] + "(" + i + ") ");
} else {
System.out.println("N ");
}
count++;
}
}
}
