定义

$素数（质数）：在大于 1 的自然数中，只有 1 和该数本身两个因数的数$

判断方法

方法1

$时间复杂度 O (n)$
$定义法$

bool isPrime(int n){
	if(n < 2) return false;
	for(int i = 2; i < n; i++) if(n % i == 0) reutrn false;
	return true;
}

方法2

$时间复杂度O(\sqrt{\frac{n}{2}})$

$性质：对于合数a，一定存在素数p_1≤\sqrt{a}≤p_2使得p_1$ $∣$ $a，p_2$ $∣$ $a （定性理解）$
$定量证明$
在这里插入图片描述

$原理：检验[1,\sqrt{n}]区间里的数是否有约数，检验区间从[1,n]缩小到[1,\sqrt{n}]$

bool isPrime(int n){
	if(n < 2) return false;
	for(int i = 2; i < sqrt(n); i++) if(n % i == 0) reutrn false;
	return true;
}

方法3

$在方法 2 的基础上，只筛奇数$
$因为除 2 以外的偶数都是合数，直接跳过，只关心奇数即可$

bool isPrime(int n){
	if(n < 2) return false;
	for(int i = 2; i < sqrt(n); i++) if(n % 2 == 0 || n % i == 0) reutrn false;
	return true;
}

方法4

$原理：所有大于 3 的素数都可以表示为 6 n \pm 1 的形式$

$证明： n \in N ， n 可以用 6 n - 1 (6 n - 1 <=> 6 n + 5) 、 6 n 、 6 n + 1 、 6 n + 2 、 6 n + 3 、 6 n + 4 表示$
$其中， 6 n 是 6 的倍数，不是素数$
$6 n + 2 是偶数，只有 n = 0 时， 6 n + 2 = 2 才是素数$
$6 n + 3 是 3 的倍数，只有 n = 0 时， 6 n + 3 = 3 才是是质数$
$6 n + 4 是偶数，且大于 2 ，不是质数$
$所以，当 n > 0 时， 6 n \pm 1 是质数$
$证毕 .$

bool isPrime(int n){
	if(n < 2) return false;
	if(n % 6 != 1 && n % 6 != 5) return false;
	for(int i = 5; i <= sqrt(n); i += 6) if(n % i == 0) return false;
	return true;
}

方法5

埃拉托斯特尼筛法
Eratosthenes筛选
在这里插入图片描述

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int n, p = 0;//p:素数的个数 
	cin >> n;
	bool is_prime[n + 5];//标记是否为素数 
	int prime[n + 5];//prime[p]:第p位素数 
	for(int i = 0; i <= n; i++) is_prime[i] = true;
	is_prime[0] = is_prime[1] = false;
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		if(is_prime[i] != 0){
			prime[p++] = i;
			for(int j = i + i; j <= n; j += i) is_prime[j] = false;
		}
	}
	return 0;
}

$优化 1$
$只筛奇数$
$把 2 的倍数筛掉，直接让 i 从 3 开始循环每次加 2$
$这样做内存需求减半，操作大约也减半$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int n, p = 1;//p:素数的个数 
	cin >> n;
	bool is_prime[n + 5];//标记是否为素数 
	int prime[n + 5];//prime[p]:第p位素数 
	for(int i = 0; i <= n; i++) is_prime[i] = true;
	is_prime[0] = is_prime[1] = false;
	prime[1] = 2;
	for(int i = 3; i <= n; i += 2){
		if(i % 2 != 0 && is_prime[i] != 0){
			prime[p++] = i;
			for(int j = i + i; j <= n; j += i) is_prime[j] = false;
		}
	}
	return 0;
}

$优化 2$
$假设存在x<i^2，不妨设x=a×b(a<b)$
$如果a,b>i，那么a×b>i^2，与假设x<i^2矛盾$
$因此，有 a \leq i$
$这意味着当我们循环 f or 到 i 之前，就早已经将这个数 x 筛过$
$所以我们优化从i^2开始标记$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int n, p = 1;//p:素数的个数 
	cin >> n;
	bool is_prime[n + 5];//标记是否为素数 
	int prime[n + 5];//prime[p]:第p位素数 
	for(int i = 0; i <= n; i++) is_prime[i] = true;
	is_prime[0] = is_prime[1] = false;
	prime[1] = 2;
	for(int i = 3; i <= n; i += 2){
		if(i % 2 != 0 && is_prime[i] != 0){
			prime[p++] = i;
			for(int j = i * i; j <= n; j += i) is_prime[j] = false;
		}
	}
	return 0;
}

$优化 3$
vector

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int n, p = 1;//p:素数的个数 
	cin >> n;
	vector<int> prime;//prime[p]:第p位素数
	vector<bool> is_prime(n + 5, true);//标记是否为素数 
	is_prime[0] = is_prime[1] = false;
	prime.push_back(2);
	for(int i = 3; i <= n; i += 2){
		if(i % 2 != 0 && is_prime[i] != 0){
			prime.push_back(i);
			for(int j = i * i; j <= n; j += i) is_prime[j] = false;
		}
	}
	return 0;
}

$优化 4$
bitset
$⚠$ $bi t se t 的大小得是确定的$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1000000;
int main(){
	int n, p = 1;//p:素数的个数 
	cin >> n;
	vector<int> prime;//prime[p]:第p位素数
	bitset<MAXN + 5> is_prime; //标记是否为素数
	is_prime.set();//都标记为true 
	is_prime[0] = is_prime[1] = false;
	prime.push_back(2);
	for(int i = 3; i <= n; i += 2){
		if(i % 2 != 0 && is_prime[i] != 0){
			prime.push_back(i);
			for(int j = i * i; j <= n; j += i) is_prime[j] = false;
		}
	}
	return 0;
}

方法6

分块筛选

方法7

线性筛法
Euler 筛法
欧拉筛法

参考
https://blog.csdn.net/way_back/article/details/122760006

#include <iostream>
#include <vector>
#include <fstream>
using namespace std;

int main(){
    vector<int> prime(10000, 1);
    for(int i=2; i<100; i++){
        if(prime[i]){
            for(int j=i; i*j<10000; j++)
                prime[i*j] = 0;
        }
    }
    ifstream in("prime.txt");
    for(int k; in>>k && k>1 && k<10000; )
        cout << k << " is " << (prime[k] ? "":"not ") << "a prime." << endl;
    return 0;
}

bool isPrime4(int n) {
 bool yes = false;
 int num[SIZE] = { 0 };
 for (int i = 2; i < SIZE; i++) {
  if (!num[i]) {
   for (int j = i + i; j < SIZE; j += i) {
    num[j] = 1;
   }
  }
 }
 if (!num[n]) {
  yes = true;
 }
 return yes;
}

bool isPrime5(int n) {
 bool yes = false;
 int num[SIZE] = { 0 };
 if (n == 2) {
  yes = true;
 }
 else {
  for (int i = 0; i < SIZE; i++) {
   if (!num[i]) {
    for (int j = (2 * i + 3) * (2 * i + 3); j < (2 * SIZE + 3); j += 2 * (2 * i + 3)) {
     num[(j - 3) / 2] = 1;
    }
   }
  }
 }
 if ((n - 3) % 2 == 0) {
  if (!num[(n - 3) / 2]) {
   yes = true;
  }
 }
 return yes;
}