一、迭代法简介

迭代法（iteration）是现代计算机求解问题的一种基本形式。迭代法与其说是一种算法，更是一种思想，它不像传统数学解析方法那样一步到位得到精确解，而是步步为营，逐次推进，逐步接近。迭代法又称辗转法或逐次逼近法。

迭代法的核心是建立迭代关系式。迭代关系式指明了前进的方式，只有正确的迭代关系式才能取得正确解。

二、迭代法解决海藻问题

问题描述：

假设在空池塘中放入一颗水藻，该类水藻会每周长出三颗新的水藻，问十周后，池塘中有多少颗水藻？

第1周的水藻数量：1；

第2周的水藻数量：1+1×3；

第3周的水藻数量：1+1×3+(1+1×3)×3

可以归纳出从当前周水藻数量到下一周水藻数量的迭代关系式。设上周水藻数量为x，从上周到本周水藻将增加的数量为y，本周的水藻数量为x^′，那么在一次迭代中

y←3x

x^′←x+y

迭代开始时，水藻的数量为1，为迭代法的初始条件。

迭代次数为9（不包括第一周），为迭代过程的控制条件。

解决代码如下

x = 1 # 初始条件：第一周水藻数量
times = 1 # 迭代次数
while times < 10: # 迭代过程
    y = 3 * x
    x = x + y
    times += 1
    print("第%d周的水藻数量:%d" % (times, x))

 

 

三、迭代法解方程

迭代法是求解机器学习问题的基本方法，有着广泛的应用。

用迭代法求方程的解时，每次迭代都得到一个新的x值，将每次迭代得到的x值依序排列就可得到数列{x_k}。设x_0为初值。

在用迭代法求解方程时有个常用的迭代关系式建立方法：先将方程f(x)=0变换为x=φ(x)，然后建立起迭代关系式：

x_k+1=φ(x_k)

如果{x_k}收敛于x^∗，那么x^∗就是方程的根，因为：

x^∗=lim┬k→∞x_k+1=lim┬k→∞φ(x_k)=φ(lim┬k→∞x_k)=φ(x^∗)

即，当x=x^∗时，有f(x)=x−φ(x)=0。

用迭代法求下列方程的解：

迭代关系式为：

x^3+e/2^x+5x−6=0

迭代的结束条件是实际应用时需要考虑的问题，在该例中没有明确的结束条件。在无法预估时，可采用控制总的迭代次数的办法。

 代码如下

import math
x = 0
for i in range(100):
    x = (6 - x**3 - (math.e**x)/2.0)/5.0
    print(str(i)+":"+str(x))

也可以根据数列{x_k}的变化情况来判断，如将|x_k+1−x_k|的值小于某个阈值作为结束的标准。还可以将两种办法结合使用。

 

 

代码如下

x = 0 # 初始条件
delta = 0.00001 # 控制退出条件
times = 0 # 用来显示迭代次数
while True: # 条件为True，如果没有别的退出手段，while循环将会无限进行下去
    x_old = x
    x = (6 - x**3 - (math.e**x)/2.0)/5.0 
    print(str(times)+":"+str(x))
    times += 1
    if abs(x - x_old) < delta:
        break # 如果符合退出条件，则直接退出循环

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