文章目录
- 前言
- 三、广义积分
- 3.1 敛散性概念
- （一）积分区间为无限的广义积分
- （二）积分区间有限但存在无穷间断点
- 3.2 敛散性判别法
- 四、定积分应用
- 写在最后
前言
承接前文，梳理完定积分的定义及性质后，我们进入广义积分的学习。
通过可积的概念我们可以清楚，连续函数是可积的，同时，有有限个第一类间断点的函数也是可积的。这类积分积分区间是有限的，称为正常积分。而如果出现 积分区间无限（如上限为无穷等）或被积函数在积分区间内有无穷间断点，称这类积分为广义积分或反常积分。
三、广义积分
3.1 敛散性概念
（一）积分区间为无限的广义积分
实际进行判断时，我们一般直接写成原函数相减的形式。如：
∫
1
∞
x
1
+
x
4
d
x
=
1
2
a
r
c
t
a
n
x
∣
1
∞
=
1
2
(
π
2
−
π
4
)
=
π
8
\int_1^{\infty}\frac{x}{1+x^4}dx=\frac{1}{2}arctanx \big| _1^{\infty}=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{8}
∫1∞1+x4xdx=21arctanx
1∞=21(2π−4π)=8π
这里补充一个 Γ \Gamma Γ 函数，其定义为： Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ x α − 1 e − x d x （ α > 0 ） \Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty}x^{\alpha -1}e^{-x}dx （\alpha>0） Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx（α>0） 主要有如下性质： Γ ( α + 1 ) = α Γ ( α ) , Γ ( n + 1 ) = n ! , Γ ( 1 2 ) = π . \Gamma(\alpha+1)=\alpha \Gamma(\alpha),\Gamma(n+1)=n!, \Gamma(\frac{1}{2})= \sqrt{\pi}. Γ(α+1)=αΓ(α),Γ(n+1)=n!,Γ(21)=π.
定义 2 是当下限为无穷时的广义积分，和第一种情况类似。
当上下限均为无穷时，需要将区间分为两部分，分别进行收敛性判断，且最后的积分为两部分积分之和。
（二）积分区间有限但存在无穷间断点
定义 4 —— 设
f
(
x
)
∈
C
(
a
,
b
]
f(x) \in C(a,b]
f(x)∈C(a,b] 且
f
(
a
+
0
)
=
∞
f(a+0)=\infty
f(a+0)=∞ ，对
∀
ϵ
>
0
\forall \epsilon>0
∀ϵ>0 ，记
∫
a
+
ϵ
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
+
ϵ
)
;
\int_{a+\epsilon}^bf(x)dx=F(b)-F(a+\epsilon);
∫a+ϵbf(x)dx=F(b)−F(a+ϵ); 若上述极限存在，则广义积分
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\int_a^bf(x)dx
∫abf(x)dx 收敛，且等于该极限值。
若上述极限不存在，则广义积分
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\int_a^bf(x)dx
∫abf(x)dx 发散。
同样，当在 b 处无穷间断或区间中其他点无穷间断时，分别有如下定义。
3.2 敛散性判别法
针对各种类型的广义积分，分别有不同的判别法，但彼此之间的形式较为相似。
除此以外，广义积分还有判别定理，有点儿级数收敛的意思了。
四、定积分应用
定积分在几何上的应用有求面积，包括旋转曲面的面积和一些曲线所围的面积等。还有求体积，如绕某条坐标轴旋转一周的体积。求曲线长度，如各种坐标系下曲线的长度。
定积分在物理上的应用主要为求做功和受力。
在具体求解时，关键是掌握好微元法的思想，先找到一个小微元 [ x , x + d x ] [x,x+dx] [x,x+dx] 。求面积则把面积的表达式写出来，如 d A = x d x dA=xdx dA=xdx 。求体积则把体积表示出来，如 d V = π x 2 d x dV=\pi x^2dx dV=πx2dx 。求压力，则把压力表示出来，如 d F = e g h ⋅ d S dF=egh\cdot dS dF=egh⋅dS 。
写出来后根据积分区间进行定积分求解即可，如 V = ∫ d V = ∫ π x 2 d x V=\int dV=\int \pi x^2dx V=∫dV=∫πx2dx 。
写在最后
定积分的内容多啊，任重道远，后面还有重积分、曲线、曲面积分等等。不过只要坚持把这块啃下来，后面的进度就会好一些。
