昨天写的那道题是数组中除了一个元素外其余元素的乘积，这道题自然就想到了把一个数分成两个的和，然后积就是这两个数的积，而这两个数中的每个数又可以分成两个数，所以可以用动态规划的方法，dp[i] = dp[j]*dp[i-j]。但是这样的话就会有重复，就是j和i-j后面会交换，而且这样会少一个i*1也就是说dp[j]也会少一个j*1，所以可以用dp[i] = j * dp[i-j]，这样的话还漏了一种情况就是j*(i-j),因为dp[i-j]里面是没有（i-j）*1的，只有(i-j-1)*1，所以要把这种情况补上，也就是说当其中一个加数为j时的最大积是Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]),dp[i]的值是要把所有j都遍历完取其中的最大值。

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] =0;dp[1]=0;
        for(int i = 2;i<=n;i++){
            int max = 0;
            for(int j=1;j<i;j++){
                int tmp = Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]);
                max = Math.max(tmp,max);
            }
            dp[i] = max;
        }
        return dp[n];
    }
}

题解的动态的规划是把绳子全拆成2的段或者3的段，这样的乘积最大，而且是要更多的拆分出3，它的证明非常长，记结论就好了，我记的算法课上老师讲过的一个找出假币的题目，也是把所有币分成2堆或者3堆是能最快找出假币的，这是题解代码：

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if (n <= 3) {
            return n - 1;
        }
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = Math.max(Math.max(2 * (i - 2), 2 * dp[i - 2]), Math.max(3 * (i - 3), 3 * dp[i - 3]));
        }
        return dp[n];
    }
}

题解还有一种用高数解的，看完这个就知道为什么要分成2和3了。

 通过求极限的方法求到驻点是e，但是只能取整数，所以取和e相邻的2和3，然后又算到3更好，但是不是每个数都能全分成3的，所以有时候也要分成2。

什么时候取2，取多少个2呢？

 于是就有以下代码：

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if (n <= 3) {
            return n - 1;
        }
        int quotient = n / 3;
        int remainder = n % 3;
        if (remainder == 0) {
            return (int) Math.pow(3, quotient);
        } else if (remainder == 1) {
            return (int) Math.pow(3, quotient - 1) * 4;
        } else {
            return (int) Math.pow(3, quotient) * 2;
        }
    }
}